1. भिन्नों के मूल प्रकार
भिन्न किसी संपूर्ण (Whole) वस्तु या समूह के एक भाग को प्रदर्शित करती है। भिन्न को $\frac{a}{b}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $a$ अंश (Numerator) तथा $b$ हर (Denominator, $b \neq 0$) कहलाता है:
| भिन्न का प्रकार | परिभाषा एवं शर्त | उदाहरण | विशेषता / मान |
|---|---|---|---|
| उचित भिन्न (Proper Fraction) | अंश हर से छोटा होता है ($a < b$) | $\frac{2}{3}, \frac{5}{8}, \frac{7}{12}$ | मान हमेशा 1 से कम ($< 1$) होता है। |
| विषम भिन्न (Improper Fraction) | अंश हर से बड़ा या बराबर होता है ($a \ge b$) | $\frac{7}{4}, \frac{11}{5}, \frac{9}{2}$ | मान हमेशा 1 या 1 से अधिक ($\ge 1$) होता है। |
| मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction) | एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का संयुक्त रूप | $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}, 2\frac{1}{5} = \frac{11}{5}$ | विषम भिन्न को भागफल और शेषफल के रूप में लिखना। |
2. भिन्नों के गुणन का स्वर्णिम नियम
जब दो भिन्नों का गुणा किया जाता है, तो अंशों का आपस में और हरों का आपस में गुणा किया जाता है:
सूत्र: $$\text{भिन्नों का गुणनफल} = \frac{\text{अंशों का गुणनफल}}{\text{हरों का गुणनफल}} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
विशेष ध्यान देने योग्य नियम:
- दो उचित भिन्नों का गुणनफल: दोनों मूल भिन्नों से हमेशा छोटा होता है। जैसे $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ (जहाँ $\frac{1}{6} < \frac{1}{2}$ और $\frac{1}{6} < \frac{1}{3}$)।
- दो विषम भिन्नों का गुणनफल: दोनों मूल भिन्नों से हमेशा बड़ा होता है। जैसे $\frac{3}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$।
- ‘का’ (Of) का अर्थ: गणित में ‘का’ संक्रिया गुणन को निरूपित करती है। जैसे 20 का $\frac{1}{4} = 20 \times \frac{1}{4} = 5$।