JCERT · कक्षा 7 · अध्याय 13 · रेखा और कोण। आधिकारिक अध्याय के अनुरूप विषय नोट्स; यह सभी पुस्तक प्रश्नों की हल-पुस्तिका नहीं है।
🛤️ रेलवे की दोनों पटरियाँ मीलों दूर तक एक-दूसरे से हमेशा समान दूरी पर क्यों रहती हैं और कभी आपस में क्यों नहीं टकरातीं?
🌉 हावड़ा ब्रिज या किसी बड़े रेलवे पुल के लोहे के गर्डर हमेशा त्रिभुजाकार और परस्पर प्रतिच्छेदी रेखाओं के जाल के रूप में ही क्यों डिज़ाइन किए जाते हैं?
✂️ जब कैंची खुलती है, तो आगे के दोनों फलकों (Blades) के बीच का कोण और पीछे के दोनों हत्थों (Handles) के बीच का कोण बिल्कुल बराबर क्यों होता है?
इन सभी वास्तुशिल्पीय, भौतिक और ज्यामितीय चमत्कारों का रहस्य रेखा एवं कोण (Lines and Angles) के सिद्धांतों में निहित है। इस अध्याय को समझकर आप ब्रह्मांड की आकृतियों को गणितीय दृष्टि से देखना और मापना सीख जाएँगे।
स्थापत्य कला (Architecture), सिविल इंजीनियरिंग, रोबोटिक्स, 3D एनीमेशन और यहाँ तक कि बढ़ई द्वारा मेज-कुर्सी बनाने में रेखाओं और कोणों के नियमों का सीधा प्रयोग होता है। यदि दो दीवारों के बीच ठीक $90^\circ$ का कोण (लंबवत) न हो, तो मकान कभी मजबूत नहीं बन सकता। खगोलीय दूरबीन को किसी तारे की ओर मोड़ने के लिए भी कोणों की अत्यधिक सटीक माप की आवश्यकता होती है।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 7 · अध्याय 13 — रेखा और कोण
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 166–186. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (22 अध्याय) · अलग सहायक संदर्भ पुस्तक.
विषय नोट्स और उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; इन्हें पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल न मानें। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम के हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
पूरक कोणों का योग 90° और संपूरक कोणों का 180° है। शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। केवल आसन्न होने से कोणों का योग 180° नहीं होता; रैखिक युग्म होने की शर्त चाहिए। समांतर रेखाओं पर तिर्यक रेखा से बने संगत और एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं।
संपूरक योग 180° है; 90° पूरक कोणों के लिए है।
जब दो कोणों के मापों का योग $90^\circ$ होता है, तो ये कोण एक-दूसरे के पूरक कोण कहलाते हैं।
जब दो कोणों के मापों का योग $180^\circ$ होता है, तो ये कोण एक-दूसरे के संपूरक कोण कहलाते हैं।
दो कोण आसन्न कोण कहलाते हैं यदि उनमें निम्नलिखित 3 शर्तें पूरी हों:
ऐसे आसन्न कोण जिनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ परस्पर विपरीत किरणें (एक सीधी रेखा) बनाती हों, रैखिक युग्म कहलाते हैं।
जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को किसी बिंदु पर काटती (प्रतिच्छेद करती) हैं, तो आमने-सामने बनने वाले कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं।
वह रेखा जो दो या दो से अधिक रेखाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तिर्यक छेदी रेखा कहलाती है। जब एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को काटती है, तो कुल 8 कोण बनते हैं:
| कोणों का प्रकार | पहचानने की ज्यामितीय आकृति | स्थान / स्थिति |
|---|---|---|
| अंतः कोण (Interior Angles) | दोनों रेखाओं के अंदरूनी भाग में | दोनों रेखाओं के बीच स्थित 4 कोण (जैसे $\angle 3, \angle 4, \angle 5, \angle 6$) |
| बाह्य कोण (Exterior Angles) | दोनों रेखाओं के बाहरी भाग में | ऊपर व नीचे स्थित 4 कोण (जैसे $\angle 1, \angle 2, \angle 7, \angle 8$) |
| संगत कोण (Corresponding Angles) | ‘F’ आकृति जैसी स्थिति | तिर्यक रेखा के एक ही ओर, एक अंतः व एक बाह्य कोण का युग्म |
| एकांतर अंतः कोण (Alternate Interior) | ‘Z’ आकृति जैसी स्थिति | दोनों रेखाओं के अंदर, तिर्यक रेखा के विपरीत ओर स्थित कोण |
| एक ही ओर के अंतः कोण (Co-interior) | ‘C’ या ‘U’ आकृति | दोनों रेखाओं के अंदर, तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित कोण |
180° − 65° = 115°
संपूरक योग 180° है; 90° पूरक कोणों के लिए है।
मान लीजिए $\angle 1 = 70^\circ$
1. शीर्षाभिमुख कोण: $\angle 3 = \angle 1 = 70^\circ$
2. रैखिक युग्म: $\angle 2 = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
3. शीर्षाभिमुख कोण: $\angle 4 = \angle 2 = 110^\circ$
4. संगत कोण नियम ($l \parallel m$):
$\angle 5 = \angle 1 = 70^\circ$
$\angle 6 = \angle 2 = 110^\circ$
$\angle 7 = \angle 3 = 70^\circ$
$\angle 8 = \angle 4 = 110^\circ$
निष्कर्ष: सभी 8 कोणों में से 4 कोण $70^\circ$ के हैं तथा 4 कोण $110^\circ$ के हैं।
उत्तर: कोणों के मान $70^\circ$ और $110^\circ$ हैं।
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