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CBSE • कक्षा 6 • Mathematics • अध्याय 14

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

Practical Geometry

सीबीएसई कक्षा 6 गणित में, "प्रैक्टिकल ज्योमेट्री" सटीक रूलर और कम्पास ज्यामितीय निर्माणों पर केंद्रित है: दिए गए त्रिज्या के वृत्त खींचना, रेखा खंडों की प्रतिलिपि बनाना, लंबवत द्विभाजक, एक रेखा पर/बाहर बिंदुओं से लंबवत निर्माण, कोण द्विभाजक, और विशेष कोण (60°, 120°, 90°, 45°, 30°) बिना चांदे के।

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प्राचीन यूनानी वास्तुकारों ने केवल एक अचिह्नित सीधे किनारे और परकार की एक जोड़ी के साथ एक आदर्श 90° समकोण या द्विभाजित कोण का निर्माण कैसे किया?

कम्पास निर्माण शुद्ध ज्यामितीय तर्क हैं! गणितीय रूप से दोषरहित निर्माण करने के लिए यूक्लिडियन उपकरणों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कम्पास और रूलर का उपयोग करना
त्रिज्या और कोणों की अवधारणा

इस अध्याय के लक्ष्य

कम्पास का उपयोग करके दिए गए त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं।
किसी दिए गए रेखा खंड की एक प्रति बनाएं।
एक रेखा के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें खंड.
किसी दिए गए कोण के समद्विभाजक का निर्माण करें.
रूलर और कम्पास का उपयोग करके विशेष कोण ($60^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 30^\circ$) का निर्माण करें.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. वृत्तों और रेखा खंडों का निर्माण

2 2. लंबवत द्विभाजक और कोण द्विभाजक

3 3. 60°, 120°, 90°, 45° और 30° कोणों...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. वृत्तों और रेखा खंडों का निर्माण

वृत्त: रूलर पर कंपास स्पैन को त्रिज्या $r$ पर सेट करें, केंद्र $O$ पर धातु सूचक को ठीक करें, और पेंसिल $360^\circ$ को घुमाएं।
रेखा खंड की प्रतिलिपि बनाना: कभी भी रूलर से मापें नहीं सीधे तौर पर; $\overline{AB}$ के अंतिम बिंदुओं से मिलान करने के लिए कंपास स्पैन खोलें, एक लाइन पर नए बिंदु $C$ पर पॉइंटर रखें, और $D$ पर एक आर्क कटिंग बनाएं। फिर $\overline{CD} = \overline{AB}$.

2. लंबवत द्विभाजक और कोण द्विभाजक

$\overline{AB}$ का लंबवत द्विभाजक:

केंद्र $A$ और त्रिज्या के साथ $AB$ के आधे से अधिक, ऊपर और नीचे चाप बनाएं खंड.
समान त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ, चाप बनाएं जो पहले वाले चापों को $P$ और $Q$ पर काटते हैं।
जुड़ें $PQ$। $PQ$, $AB$ पर लंबवत है और इसे दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है।

कोण द्विभाजक: $P$ और $Q$ पर भुजाओं को काटने वाला एक चाप बनाएं। केंद्र $P$ और $Q$ और समान त्रिज्या के साथ, $R$ पर कोण के अंदर प्रतिच्छेदी चाप बनाएं। किरण $OR$ कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

3. 60°, 120°, 90°, 45° और 30° कोणों का निर्माण

$60^\circ$ कोण: एक किरण बनाएं $OA$. केंद्र $O$ और किसी भी त्रिज्या के साथ, $OA$ को $B$ पर काटते हुए एक चाप बनाएं। केंद्र $B$ और समान त्रिज्या के साथ, एक चाप बनाएं जो पहले चाप को $C$ पर काटता है। $OC$ से जुड़ें. $\angle AOC = 60^\circ$.
$120^\circ$ कोण: $C$ से समान त्रिज्या के साथ, $D$ पर एक और चाप काटें। $OD$ से जुड़ें. $\angle AOD = 120^\circ$.
$90^\circ$ कोण: $C$ और $D$ ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) के बीच $60^\circ$ चाप को समद्विभाजित करें.
$30^\circ$ कोण: चाप को समद्विभाजित करें $60^\circ$ कोण.
$45^\circ$ कोण: $90^\circ$ कोण को समद्विभाजित करें.

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

कोण समद्विभाजक नियम

\कोण AOC = \कोण BOC = {1}{2}\कोण AOB

रूलर-कम्पास समद्विभाजक गुण।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

लंबवत समद्विभाजक बनाते समय कम्पास की त्रिज्या AB के आधे से अधिक क्यों होनी चाहिए?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

यदि त्रिज्या $AB$ के आधे से कम या उसके बराबर है, तो $A$ और $B$ से खींचे गए चाप या तो कभी भी स्पर्श नहीं करेंगे या केवल एक मध्य बिंदु पर स्पर्श करेंगे, बनाने में विफल रहेंगे। एक रेखा निर्धारित करने के लिए दो प्रतिच्छेदी संदर्भ बिंदुओं ($P$ और $Q$) की आवश्यकता होती है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

60° कोण के लिए पहली और दूसरी चाप खींचते समय कम्पास की चौड़ाई बदलना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

60° को परिभाषित करने वाले समबाहु त्रिभुज संबंध बनाने के लिए कम्पास त्रिज्या को समान रहना चाहिए।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

Ruler-Compass Angle Hierarchy

Constructions from Base 60° Arc

60°

First arc on base.

120°

Second arc on base.

90°

Bisect 60° and 120°.

45°

Bisect 90°.

30°

Bisect 60°.

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

कम्पास वृत्त खींचता है और खंडों की प्रतिकृति बनाता है।

मुख्य बिंदु 2

लंबवत समद्विभाजक त्रिज्या > आधी लंबाई का उपयोग करके एक खंड को 90° पर आधे में विभाजित करता है।

मुख्य बिंदु 3

विशेष कोण (60°, 120°, 90°, 45°, 30°) का निर्माण आर्क और द्विभाजक का उपयोग करके प्रोट्रैक्टर के बिना किया जाता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

आप रूलर और कम्पास का उपयोग करके 15° का कोण कैसे बना सकते हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: एक 60° का कोण बनाएं, इसे 30° प्राप्त करने के लिए समद्विभाजित करें, फिर प्राप्त करने के लिए 30° कोण को समद्विभाजित करें 15°.
30 डिग्री का आधा।

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