Application of Derivatives

1.1 परिवर्तन की दर की गणितीय व्याख्या

यदि कोई राशि $y$, किसी अन्य राशि $x$ के फलन के रूप में परिवर्तित होती है, अर्थात् $y = f(x)$, तो $x$ में अल्प परिवर्तन $\Delta x$ के कारण $y$ में संगत परिवर्तन $\Delta y$ होता है। $x$ के सापेक्ष $y$ के परिवर्तन की औसत दर $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ होती है।

जब $\Delta x \to 0$, तो इस सीमा को $x$ के सापेक्ष $y$ के परिवर्तन की तात्कालिक दर (Instantaneous Rate of Change) कहते हैं:

1.2 समय ($t$) के सापेक्ष संबंधित दरें (Related Rates)

व्यावहारिक भौतिक समस्याओं में दो या अधिक चर प्रायः समय $t$ के साथ परिवर्तित होते हैं। श्रृंखला नियम के अनुसार, यदि $y = f(x)$ हो, तो समय $t$ के सापेक्ष $y$ के परिवर्तन की दर:

प्रश्नों को हल करने की चरणबद्ध कार्यविधि:

1. दी गई ज्यामितीय स्थिति का एक स्पष्ट रेखाचित्र बनाएं तथा परिवर्तनीय राशियों को उपयुक्त चरों ($r, h, x, V, S$) से निरूपित करें।
2. प्रश्न में दी गई दरों (जैसे $\frac{dr}{dt}, \frac{dV}{dt}$) को उचित धनात्मक (वृद्धि हेतु) या ऋणात्मक (कमी हेतु) चिह्नों के साथ पहचानें।
3. राशियों के मध्य एक ज्यामितीय संबंध सूत्र स्थापित करें (उदा. बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$, गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$)।
4. समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करें तथा दी गई तात्कालिक सीमाओं का मान रखकर अभीष्ट दर ज्ञात करें।

2.1 परिभाषा

मान लीजिए $I$ विवृत अंतराल है जो फलन $f$ के प्रांत में समाहित है।

• निरंतर वर्धमान (Strictly Increasing): फलन $f$ अंतराल $I$ में निरंतर वर्धमान कहलाता है यदि अंतराल के किन्हीं भी दो बिंदुओं $x_1, x_2$ के लिए:
  $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$
• वर्धमान (Increasing / Non-decreasing): यदि $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$ हो।
• निरंतर ह्रासमान (Strictly Decreasing): फलन $f$ अंतराल $I$ में निरंतर ह्रासमान कहलाता है यदि:
  $$x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$$
• ह्रासमान (Decreasing / Non-increasing): यदि $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)$ हो।

2.2 प्रथम अवकलज कसौटी (First Derivative Test for Monotonicity)

मान लीजिए $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत तथा विवृत अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है। तब:

1. यदि प्रत्येक $x \in (a, b)$ के लिए $f'(x) > 0$ है, तो $f$, अंतराल $[a, b]$ में निरंतर वर्धमान होता है।
2. यदि प्रत्येक $x \in (a, b)$ के लिए $f'(x) < 0$ है, तो $f$, अंतराल $[a, b]$ में निरंतर ह्रासमान होता है।
3. यदि प्रत्येक $x \in (a, b)$ के लिए $f'(x) = 0$ है, तो $f$, अंतराल $[a, b]$ में एक अचर फलन (Constant Function) होता है।

अंतराल ज्ञात करने की विधि:

1. फलन का अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
2. $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु (Critical Points) ज्ञात करें।
3. इन क्रांतिक बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित कर संपूर्ण वास्तविक रेखा को असंयुक्त अंतरालों में विभाजित करें।
4. प्रत्येक उप-अंतराल में से कोई परीक्षण बिंदु चुनकर $f'(x)$ के चिह्न ($+$ अथवा $-$) का परीक्षण करें।

3.1 स्पर्श रेखा की प्रवणता एवं समीकरण

वक्र $y = f(x)$ के किसी बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा (Tangent) की प्रवणता (Slope) $m$, उस बिंदु पर फलन के अवकलज के बराबर होती है:

अतः बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा का रैखिक समीकरण (बिंदु-ढाल रूप):

3.2 अभिलंब की प्रवणता एवं समीकरण

अभिलंब (Normal) स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर खींची गई लंबवत रेखा होती है। दो परस्पर लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल $m_1 \cdot m_2 = -1$ होता है। अतः अभिलंब की प्रवणता:

अतः बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर अभिलंब का समीकरण:

3.3 विशेष स्थितियाँ एवं लंबकोणीय वक्र

• क्षैतिज स्पर्श रेखा (Horizontal Tangent): यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर हो, तो $\frac{dy}{dx} = 0$, अतः समीकरण $y = y_0$ होगा।
• ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा (Vertical Tangent): यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष पर लंब ($y$-अक्ष के समांतर) हो, तो $\frac{dx}{dy} = 0$ (अर्थात ढाल अपरिभाषित), अतः समीकरण $x = x_0$ होगा।
• लंबकोणीय वक्र (Orthogonal Curves): दो वक्र एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं यदि उनके प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों की स्पर्श रेखाओं की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ हो: $m_1 \cdot m_2 = -1$।

4.1 स्थानीय उच्चिष्ठ एवं स्थानीय निम्निष्ठ (Local Maxima and Local Minima)

मान लीजिए $f$ एक वास्तविक फलन है और $c$ उसके प्रांत में एक बिंदु है।

• स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु: यदि $c$ के एक विवृत प्रतिवेश (Neighborhood) $(c - h, c + h)$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(c) \ge f(x)$ हो, तो $c$ को स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु तथा $f(c)$ को फलन का स्थानीय उच्चतम मान कहते हैं।
• स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु: यदि $(c - h, c + h)$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(c) \le f(x)$ हो, तो $c$ को स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु तथा $f(c)$ को स्थानीय न्यूनतम मान कहते हैं।

क्रांतिक बिंदु (Critical Points): वे बिंदु जहाँ या तो $f'(x) = 0$ हो अथवा $f'(x)$ अस्तित्व में न हो। स्थानीय चरम मान सदैव केवल क्रांतिक बिंदुओं पर ही प्राप्त हो सकते हैं।

4.2 प्रथम अवकलज परीक्षण (First Derivative Test)

मान लीजिए $c$ एक क्रांतिक बिंदु है ($f'(c) = 0$):

• यदि बिंदु $c$ से बाईं ओर से दाईं ओर गुजरने पर $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक ($+$) से ऋणात्मक ($-$) में परिवर्तित होता है, तो $c$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
• यदि $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक ($-$) से धनात्मक ($+$) में परिवर्तित होता है, तो $c$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।
• यदि $c$ से गुजरने पर $f'(x)$ का चिह्न परिवर्तित नहीं होता (जैसे दोनों ओर धनात्मक रहे), तो $c$ न तो उच्चिष्ठ है और न ही निम्निष्ठ; ऐसे बिंदु को नति-परिवर्तन बिंदु (Point of Inflection) कहते हैं (उदा. $f(x) = x^3$ पर $x=0$)।

4.3 द्वितीय अवकलज परीक्षण (Second Derivative Test)

यह बोर्ड परीक्षा एवं प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रश्नों को हल करने की सर्वाधिक लोकप्रिय व तीव्र विधि है:

1. फलन $f(x)$ का अवकलन कर $f'(x)$ ज्ञात करें और $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु $x = c$ प्राप्त करें।
2. द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें तथा उसमें $x = c$ प्रतिस्थापित करें:
• यदि $f''(c) < 0$ (ऋणात्मक) हो, तो $x = c$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है और $f(c)$ स्थानीय उच्चतम मान है।
• यदि $f''(c) > 0$ (धनात्मक) हो, तो $x = c$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है और $f(c)$ स्थानीय न्यूनतम मान है।
• यदि $f''(c) = 0$ हो, तो यह परीक्षण विफल (Inconclusive) हो जाता है। ऐसी स्थिति में पुनः प्रथम अवकलज परीक्षण का सहारा लिया जाता है।

4.4 संवृत अंतराल में निरपेक्ष उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ (Absolute Maxima and Minima)

संवृत अंतराल $[a, b]$ पर किसी सतत फलन के निरपेक्ष (Global) चरम मान ज्ञात करने हेतु:

1. विवृत अंतराल $(a, b)$ में वे सभी क्रांतिक बिंदु $c_1, c_2, \dots$ ज्ञात करें जहाँ $f'(x) = 0$ हो।
2. फलन का मान क्रांतिक बिंदुओं $f(c_1), f(c_2)$ तथा अंतराल के अंतिम सिरों $f(a)$ एवं $f(b)$ पर परिकलित करें।
3. इन सभी मानों में जो सबसे बड़ा होगा वह निरपेक्ष उच्चतम मान तथा जो सबसे छोटा होगा वह निरपेक्ष न्यूनतम मान कहलाता है।

5.1 5-अंकीय बोर्ड परीक्षा प्रश्नों की रूपरेखा

JAC बोर्ड परीक्षा में अनुप्रयुक्त कलन (Applied Calculus) का एक 5-अंकीय प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछा जाता है। इनमें ज्यामितीय आकृतियों के आयतन या पृष्ठीय क्षेत्रफल को चरम (Maximize/Minimize) करना होता है।

सटीक कार्यप्रणाली (Standard Blueprint):

1. चरों की पहचान: स्वतंत्र चर (जैसे त्रिज्या $r$, ऊंचाई $h$) तथा दी गई अचर राशि (जैसे स्थिर आयतन $V$ या स्थिर पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$) को स्पष्टतः लिखें।
2. समीकरण संबंध: दी गई स्थिर शर्त से एक चर को दूसरे चर के पदों में व्यक्त करें (उदा. $S = 2\pi rh + 2\pi r^2 \implies h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r}$)।
3. उद्देश्य फलन (Objective Function): जिस राशि को महत्तम या न्यूनतम करना है, उसे केवल एक ही चर के फलन के रूप में सूत्रबद्ध करें (उदा. $V(r) = \pi r^2 h(r)$)।
4. अवकलन एवं क्रांतिक बिंदु: उद्देश्य फलन का अवकलन कर $\frac{dV}{dr} = 0$ रखें तथा क्रांतिक मान निकालें।
5. द्वितीय अवकलज की जांच: $\frac{d^2V}{dr^2}$ ज्ञात करें और सिद्ध करें कि वह ऋणात्मक (उच्चिष्ठ हेतु) या धनात्मक (निम्निष्ठ हेतु) है। यह चरण बोर्ड मार्किंग स्कीम में अनिवार्य 1 अंक वहन करता है!
6. अंतिम निष्कर्ष: अभीष्ट संबंध (जैसे $h = 2r$ या $V = \frac{8}{27} V_{\text{sphere}}$) स्थापित करें।