Differential Equations

1.1 अवकल समीकरण की परिभाषा

एक ऐसा समीकरण जिसमें एक स्वतंत्र चर (उदा. $x$), एक आश्रित चर (उदा. $y$) तथा स्वतंत्र चर के सापेक्ष आश्रित चर के अवकलज ($\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \dots, \frac{d^n y}{dx^n}$) उपस्थित हों, अवकल समीकरण कहलाता है।

1.2 कोटि (Order)

किसी अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज (Highest Order Derivative) की कोटि को उस अवकल समीकरण की कोटि कहते हैं।

• समीकरण $\frac{dy}{dx} + 5y = e^x$ की कोटि $1$ है।
• समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + 3\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + y = 0$ की कोटि $2$ है।

1.3 घात (Degree)

जब किसी अवकल समीकरण को उसके अवकलजों के संदर्भ में बहुपद समीकरण (Polynomial Equation in Derivatives) के रूप में व्यक्त किया जा सके, तो उसमें उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात (धनात्मक पूर्णांक घातांक) को उस समीकरण की घात कहते हैं।

उदाहरण: $\frac{d^2y}{dx^2} + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ की कोटि $= 2$, परंतु घात = अपरिभाषित।

2.1 व्यापक हल (General Solution / Complete Primitive)

किसी अवकल समीकरण का वह हल जिसमें उपस्थित स्वेच्छ अचरों (Arbitrary Constants) की संख्या उस अवकल समीकरण की कोटि के ठीक बराबर हो, उस समीकरण का व्यापक हल कहलाता है।

महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ नियम: $n$-कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में सदैव ठीक $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं। (उदा. 4-कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में 4 स्वेच्छ अचर होंगे)।

2.2 विशिष्ट हल (Particular Solution)

व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान (प्रारंभिक या सीमांत शर्तों $y(x_0) = y_0$ द्वारा) देकर प्राप्त होने वाले हल को विशिष्ट हल कहते हैं।

महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ नियम: किसी भी कोटि के अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या शून्य (0) होती है!

3.1 कार्यविधि

यदि प्रथम कोटि एवं प्रथम घात का अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $x$ और $y$ के पद गुणनफल के रूप में पृथक हो सकते हों, तो:

1. $y$ के पदों को $dy$ के साथ तथा $x$ के पदों को $dx$ के साथ एकत्रित करें:
$$\frac{dy}{g(y)} = f(x) \, dx$$
2. दोनों पक्षों का सीधे अनिश्चित समाकलन करें:
$$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx + C$$
3. समाकलन हल कर $y$ और $x$ में अभीष्ट संबंध प्राप्त करें।

3.2 चरों के पृथक्करण में परिवर्तनीय रूप

यदि समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)$ के रूप में हो, तो नया चर $u = ax + by + c$ मानकर $\frac{du}{dx} = a + b\frac{dy}{dx}$ द्वारा उसे पृथक्करणीय चर रूप में बदला जाता है।

4.1 समघातीय फलन की पहचान

फलन $F(x, y)$ शून्य घात का समघातीय फलन कहलाता है यदि प्रत्येक अशून्य $\lambda$ के लिए:

4.2 रूप 1: $\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right)$ का हल

1. प्रतिस्थापन करें: $y = v x$
2. $x$ के सापेक्ष अवकलन: $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
3. मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = g(v) \implies x \frac{dv}{dx} = g(v) - v$
4. चरों का पृथक्करण: $\frac{dv}{g(v) - v} = \frac{dx}{x}$
5. दोनों पक्षों का समाकलन करें तथा अंत में $v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करें।

4.3 रूप 2: $\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ का हल

यदि समीकरण $\frac{dx}{dy}$ के रूप में अधिक सरल हो, तो $x = v y$ मानकर $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ लागू किया जाता है।

5.1 मानक रूप 1: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$

जहाँ $P$ और $Q$ केवल $x$ के फलन हैं अथवा अचर हैं।

हल के चरण:

1. समाकलन गुणक (Integrating Factor - I.F.) ज्ञात करना:
$$\text{I.F.} = e^{\int P \, dx}$$
2. व्यापक हल का सीधा सूत्र:
$$y \cdot (\text{I.F.}) = \int [Q \cdot (\text{I.F.})] \, dx + C$$

5.2 मानक रूप 2: $\frac{dx}{dy} + P(y) x = Q(y)$

जहाँ $P$ और $Q$ केवल $y$ के फलन हैं अथवा अचर हैं।

1. समाकलन गुणक: $\text{I.F.} = e^{\int P \, dy}$
2. व्यापक हल: $x \cdot (\text{I.F.}) = \int [Q \cdot (\text{I.F.})] \, dy + C$

परीक्षा युक्ति: $e^{\ln f(x)} = f(x)$ होता है, अतः यदि समाकलन गुणक $e^{\ln(\sec x)}$ आए, तो सीधे $\sec x$ लिखें!