Integrals

1.1 अनिश्चित समाकलन की परिभाषा एवं समाकलन अचर

यदि किसी फलन $F(x)$ का अवकलज $f(x)$ हो, अर्थात $\frac{d}{dx}[F(x)] = f(x)$, तो $F(x)$ को $f(x)$ का प्रति-अवकलज (Anti-derivative) या पूर्वग (Primitive) कहते हैं।

चूँकि किसी भी अचर $C$ का अवकलज शून्य होता है:

अतः $f(x)$ के व्यापक प्रति-अवकलज को अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integral) कहते हैं, जिसे प्रतीक $\int f(x) dx$ से दर्शाया जाता है:

यहाँ $f(x)$ को समाकल्य (Integrand), $x$ को समाकलन चर, तथा $C$ को समाकलन अचर (Constant of Integration) कहा जाता है।

1.2 मानक समाकलन सूत्र

• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C, \quad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
• $\int \sin x dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x dx = \sin x + C$
• $\int \sec^2 x dx = \tan x + C, \quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
• $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

1.3 प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Method of Substitution)

जब समाकल्य $\int f(g(x)) g'(x) dx$ के रूप में हो, तो एक नया चर $u = g(x)$ मान लिया जाता है।

अवकलन करने पर: $du = g'(x) dx$।

अतः समाकलन रूपांतरित होकर अत्यंत सरल हो जाता है:

चार महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन परिणाम:

• $\int \tan x dx = \ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C$
• $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$
• $\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
• $\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

2.1 विशिष्ट फलनों के 9 मानक सूत्र (Nine Golden Formulas)

ये 9 सूत्र सीधे बोर्ड परीक्षा में पूछे जाते हैं तथा प्रश्नों को त्वरित गति से हल करने में प्रयुक्त होते हैं:

1. $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$
2. $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a + x}{a - x}\right| + C$
3. $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$
4. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$
5. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$
6. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$
7. $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$
8. $\int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$
9. $\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$

2.2 आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions)

यदि कोई परिमेय फलन $\frac{P(x)}{Q(x)}$ हो जहाँ अंश की घात हर की घात से कम हो (उचित परिमेय फलन), तो उसे आंशिक भिन्नों में वियोजित किया जाता है:

• अपुनरावृत्त रैखिक गुणनखंड: $\frac{px + q}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
• पुनरावृत्त रैखिक गुणनखंड: $\frac{px^2 + qx + r}{(x-a)^2(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{x-b}$
• द्विघात गुणनखंड (जिसका गुणनखंड न हो सके): $\frac{px^2 + qx + r}{(x-a)(x^2 + bx + c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

सावधानी: यदि अंश की घात $\ge$ हर की घात हो, तो पहले बहुपद का भाग देकर उसे $Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$ रूप में बदलना अनिवार्य है।

3.1 खंडशः समाकलन का सूत्र (Integration by Parts)

दो फलनों के गुणनफल के अवकलन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का समाकलन करने पर खंडशः समाकलन का सूत्र प्राप्त होता है:

शाब्दिक नियम:
प्रथम फलन $\times$ द्वितीय का समाकल $-$ $\int$[ (प्रथम का अवकलज) $\times$ (द्वितीय का समाकल) ] $dx$

3.2 प्रथम फलन चुनने का ILATE नियम

गुणनफल में किस फलन को 'प्रथम फलन' ($u$) माना जाए, इसका निर्धारण ILATE के प्राथमिकता क्रम से किया जाता है:

1. I - Inverse Trigonometric: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (उदा. $\sin^{-1} x, \tan^{-1} x$)
2. L - Logarithmic: लघुगणकीय फलन (उदा. $\ln x, \log_{10} x$)
3. A - Algebraic: बीजीय फलन (उदा. $x, x^2, 3x+5$)
4. T - Trigonometric: त्रिकोणमितीय फलन (उदा. $\sin x, \cos x, \sec^2 x$)
5. E - Exponential: चरघातांकी फलन (उदा. $e^x, 2^x$)

विशेष युक्ति: यदि फलन में केवल एक ही पद हो जिसका समाकलन सीधे ज्ञात न हो (जैसे $\int \ln x dx$ अथवा $\int \sin^{-1} x dx$), तो अदृश्य गुणक $1$ को द्वितीय फलन ($v = 1$) मानकर हल किया जाता है!

3.3 अति महत्वपूर्ण समाकलन रूप: $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx$

बोर्ड परीक्षाओं में 1 या 2 अंकों का बहुविकल्पीय अथवा अति-लघु उत्तरीय प्रश्न सीधे इस प्रमेय पर आधारित होता है:

उपपत्ति: $\int e^x f(x) dx + \int e^x f'(x) dx$ में प्रथम पद में खंडशः समाकलन लगाने पर $\int e^x f'(x) dx$ कट जाता है और केवल $e^x f(x) + C$ शेष बचता है।

4.1 निश्चित समाकलन की परिभाषा

यदि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है, तो निश्चित समाकलन को प्रतीक $\int_a^b f(x) dx$ से दर्शाया जाता है, जहाँ $a$ को निम्न सीमा (Lower Limit) तथा $b$ को उच्च सीमा (Upper Limit) कहते हैं।

अनिश्चित समाकलन के विपरीत, निश्चित समाकलन का मान एक अद्वितीय, निश्चित वास्तविक संख्या होता है (इसमें समाकलन अचर $C$ नहीं आता)।

4.2 कलन का मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Calculus)

• प्रथम मूलभूत प्रमेय (FTC-1): यदि $f$ संवृत अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और क्षेत्रफल फलन $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ है, तो प्रत्येक $x \in [a, b]$ के लिए $A'(x) = f(x)$ होता है।
• द्वितीय मूलभूत प्रमेय (FTC-2): यदि $F(x)$, फलन $f(x)$ का कोई प्रति-अवकलज है (अर्थात $F'(x) = f(x)$), तो:$$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$

5.1 निश्चित समाकलन के 8 मौलिक गुणधर्म

बोर्ड परीक्षा के दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों (6 अंक) को हल करने में निम्नलिखित गुणधर्म संजीवनी की भांति कार्य करते हैं:

1. $P_0$ (चर परिवर्तन): $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt$
2. $P_1$ (सीमाओं का विलोमन): $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$ तथा $\int_a^a f(x) dx = 0$
3. $P_2$ (अंतराल का विभाजन): $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ (मापांक फलनों $|x-c|$ के लिए अत्यंत उपयोगी)
4. $P_3$ (व्यापक सीमा रूपांतरण): $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a + b - x) dx$
5. $P_4$ (किंग प्रॉपर्टी - King's Rule, सर्वाधिक महत्वपूर्ण):
   $$\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a - x) dx$$
6. $P_5$: $\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a - x) dx$
7. $P_6$: $\int_0^{2a} f(x) dx = \begin{cases} 2\int_0^a f(x) dx, & \text{यदि } f(2a - x) = f(x) \\[6pt] 0, & \text{यदि } f(2a - x) = -f(x) \end{cases}$
8. $P_7$ (सम एवं विषम फलन):
   $$\int_{-a}^a f(x) dx = \begin{cases} 2\int_0^a f(x) dx, & \text{यदि } f(-x) = f(x) \text{ (सम फलन / Even)} \\[6pt] 0, & \text{यदि } f(-x) = -f(x) \text{ (विषम फलन / Odd)} \end{cases}$$