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Jharkhand Academic Council
Class XII
Mathematics
अध्याय 12: रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)

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झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा XII • Mathematics • अध्याय 12

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)

रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming / LPP) अनुप्रयुक्त गणित, संचालन अनुसंधान (Operations Research), प्रबंधन विज्ञान तथा औद्योगिक अर्थशास्त्र की एक अत्यंत महत्वपूर्ण एवं क्रांतिकारी शाखा है। व्यावहारिक जीवन में प्रत्येक उद्योगपति, वित्तीय प्रबंधक एवं नीति-निर्माता के समक्ष सीमित संसाधनों (जैसे सीमित पूंजी, सीमित कच्चा माल, सीमित श्रम-घंटे, अथवा मशीन-समय) के अंतर्गत अपने कुल लाभ को अधिकतम (Maximize) करने अथवा कुल उत्पादन लागत को न्यूनतम (Minimize) करने की चुनौती होती है। रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) इस प्रकार की जटिल अनुकूलन (Optimization) समस्याओं का एक सुव्यवस्थित, आलेखीय तथा बीजगणितीय समाधान प्रस्तुत करती है। प्रस्तुत अध्याय में LPP की आधारभूत शब्दावली—उद्देश्य फलन (Objective Function: $Z = ax + by$), निर्णय चर (Decision Variables: $x, y$), रैखिक व्यवरोध (Linear Constraints), तथा ऋणेतर व्यवरोध (Non-negative Constraints: $x \ge 0, y \ge 0$) का सूक्ष्म विवेचन किया गया है। अध्याय में आलेखीय विधि द्वारा व्यवरोधों की असमिकाओं को द्विविमीय तल में खींचकर सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) ज्ञात करने, तथा दो मौलिक प्रमेयों के आधार पर कोणीय बिंदु विधि (Corner Point Method) द्वारा परिबद्ध (Bounded) एवं अपरिबद्ध (Unbounded) क्षेत्रों में इष्टतम हल (Optimal Solution) प्राप्त करने की संपूर्ण चरणबद्ध कार्यप्रणाली और बोर्ड परीक्षा उपयोगी प्रश्नों का व्यापक संकलन प्रस्तुत किया गया है।

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अमेज़न का वेयरहाउस मैनेजमेंट और एयरलाइंस की टिकट कीमतें: सीमित संसाधनों में अधिकतम मुनाफा!

दुनिया की सबसे बड़ी ई-कॉमर्स कंपनी अमेज़न हर सेकंड लाखों पार्सल कैसे डिलीवर करती है कि डिलीवरी ट्रक में जगह भी पूरी भर जाए, पेट्रोल भी सबसे कम जले और समय भी न्यूनतम लगे? वे इसका निर्णय किसी तुक्के से नहीं, बल्कि हजारों चरों वाले रैखिक प्रोग्रामन मॉडल (LPP) द्वारा करते हैं! इतना ही नहीं, द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान मित्र देशों की सेना ने जहाजों के काफिले और हथियारों के सटीक आवंटन के लिए जॉर्ज डेंटजिग (George Dantzig) के सिंपलेक्स एल्गोरिदम का उपयोग किया था। आज डाइट प्लानिंग में न्यूनतम खर्च में अधिकतम पोषक तत्व प्राप्त करने से लेकर कारखानों में न्यूनतम धातु से अधिकतम कारें बनाने तक—रैखिक प्रोग्रामन गणित का सबसे बड़ा धन-दायक औजार है!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

JAC तथा CBSE 12वीं गणित बोर्ड परीक्षा में यह अध्याय 5 से 6 अंकों का शत-प्रतिशत निश्चित प्रश्न वहन करता है: 1. 5-अंकीय गारंटीड दीर्घ उत्तरीय आलेखीय प्रश्न: प्रश्नपत्र के सेक्शन D में एक आलेखीय LPP प्रश्न (उदा. $Z = 3x + 4y$ का अधिकतमीकरण/न्यूनतमीकरण) अनिवार्य रूप से पूछा जाता है। 2. फुल मार्क्स स्कोरिंग: चरणबद्ध आलेख, कोणीय बिंदु तालिका और स्पष्ट निष्कर्ष लिखने पर इसमें 100% पूरे 5 अंक प्राप्त होते हैं। 3. प्रतियोगी परीक्षाएं (JEE Main / CUET): सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं और अपरिबद्ध क्षेत्र के हल के अस्तित्व पर वस्तुनिष्ठ प्रश्न पूछे जाते हैं।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 11वीं की रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities in Two Variables)।
द्विविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सरल रेखाओं के आलेख ($ax + by = c$) खींचना।
मूलबिंदु $(0, 0)$ परीक्षण द्वारा असमिका के छायांकित अर्ध-तल (Half-Plane) का निर्धारण।

इस अध्याय के लक्ष्य

दिए गए व्यावहारिक विवरण से उद्देश्य फलन, व्यवरोध एवं ऋणेतर प्रतिबंधों को पहचानकर LPP का गणितीय निरूपण करना।
सभी रैखिक असमिकाओं के संगत सरल रेखाओं को ग्राफ पर खींचकर उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) को छायांकित करना।
सुसंगत क्षेत्र के सभी कोणीय बिंदुओं (Corner Points) के निर्देशांक ज्ञात करना।
कोणीय बिंदु विधि द्वारा उद्देश्य फलन $Z$ का अधिकतम एवं न्यूनतम मान परिकलित करना।
अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र में विवृत अर्ध-तल $ax + by > M$ अथवा $< m$ का परीक्षण कर इष्टतम हल के अस्तित्व का निर्णय लेना।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. रैखिक प्रोग्रामन की शब्दावली एवं...

2 2. सुसंगत क्षेत्र एवं हल के प्रकार...

3 3. कोणीय बिंदु विधि एवं मौलिक प्रमे...

4 4. अपरिबद्ध क्षेत्र में चरम मान का...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. रैखिक प्रोग्रामन की शब्दावली एवं गणितीय निरूपण (LPP Terminology & Formulation)

1.1 LPP की आधारभूत शब्दावली

उद्देश्य फलन (Objective Function): वह रैखिक फलन $Z = ax + by$ जिसका किसी दिए गए व्यवरोधों के समूह के अधीन अधिकतमीकरण (Maximization) अथवा न्यूनतमीकरण (Minimization) करना होता है।
निर्णय चर (Decision Variables): चर $x$ और $y$ जिनका मान हमें ज्ञात करना होता है (उदा. निर्मित कुर्सियों व मेजों की संख्या)।
व्यवरोध (Constraints): निर्णय चरों पर लगाई गई रैखिक असमिकाएं अथवा समीकरण (उदा. $x + y \le 50$), जो संसाधनों की सीमाओं को दर्शाती हैं।
ऋणेतर व्यवरोध (Non-negative Constraints): भौतिक रूप से निर्णय चरों का मान कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता (कुर्सियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती), अतः सदैव $x \ge 0, y \ge 0$ होता है। यह सुसंगत क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant) में सीमित कर देता है।
इष्टतम मान (Optimal Value): उद्देश्य फलन का वह अधिकतम अथवा न्यूनतम मान जो सुसंगत क्षेत्र के किसी बिंदु पर प्राप्त होता है।

2. सुसंगत क्षेत्र एवं हल के प्रकार (Feasible Region & Types of Solutions)

2.1 सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region)

LPP के सभी व्यवरोधों (ऋणेतर व्यवरोधों $x \ge 0, y \ge 0$ सहित) को एक साथ संतुष्ट करने वाले सभी बिंदुओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र (Common Region) को सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) अथवा संभाव्य क्षेत्र कहते हैं।

परिबद्ध क्षेत्र (Bounded Region): यदि सुसंगत क्षेत्र चारों ओर से रेखाओं से घिरा हो (अर्थात उसे किसी वृत्त के भीतर पूर्णतः समाहित किया जा सके), तो उसे परिबद्ध कहते हैं।
अपरिबद्ध क्षेत्र (Unbounded Region): यदि सुसंगत क्षेत्र किसी दिशा में अनंत तक विस्तृत हो, तो उसे अपरिबद्ध कहते हैं।

2.2 सुसंगत एवं असुसंगत हल

सुसंगत हल (Feasible Solution): सुसंगत क्षेत्र के भीतर अथवा उसकी सीमाओं पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ एक सुसंगत हल कहलाता है।
असुसंगत हल (Infeasible Solution): सुसंगत क्षेत्र के बाहर का कोई भी बिंदु असुसंगत होता है।
इष्टतम हल (Optimal Solution): सुसंगत क्षेत्र का वह बिंदु जहाँ उद्देश्य फलन $Z$ का अभीष्ट अधिकतम अथवा न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

3. कोणीय बिंदु विधि एवं मौलिक प्रमेय (Corner Point Method & Theorems)

3.1 मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorems)

प्रमेय 1: मान लीजिए $R$ एक LPP का सुसंगत क्षेत्र (उत्तल बहुभुज / Convex Polygon) है तथा $Z = ax + by$ उद्देश्य फलन है। यदि $Z$ का कोई इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) अस्तित्व में है, तो वह अनिवार्य रूप से सुसंगत क्षेत्र के किसी कोणीय बिंदु (Corner Point / Vertex) पर ही प्राप्त होगा।

प्रमेय 2: यदि सुसंगत क्षेत्र $R$ परिबद्ध (Bounded) है, तो उद्देश्य फलन $Z$ का $R$ पर अधिकतम तथा न्यूनतम दोनों मान निश्चित रूप से अस्तित्व में होते हैं और वे $R$ के कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होते हैं।

3.2 कोणीय बिंदु विधि के चरण (Corner Point Method)

सभी असमिकाओं के संगत सरल रेखाओं $ax + by = c$ के समीकरण लिखें और उनके $x$-अक्ष व $y$-अक्ष पर अंतःखंड निकालकर ग्राफ पर रेखाएं खींचें।
मूलबिंदु $(0, 0)$ रखकर प्रत्येक असमिका का सही छायांकित क्षेत्र पहचानें और उभयनिष्ठ सुसंगत क्षेत्र $R$ को स्पष्ट छायांकित करें।
सुसंगत क्षेत्र के सभी कोणीय बिंदुओं (शीर्षों) $A, B, C, \dots$ के निर्देशांक रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदुओं को हल कर ज्ञात करें।
एक सुव्यवस्थित सारणी (Table) बनाएं और प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ का मान परिकलित करें।
सारणी में सबसे बड़े मान को 'अधिकतम' तथा सबसे छोटे मान को 'न्यूनतम' के रूप में पहचानें।

4. अपरिबद्ध क्षेत्र में चरम मान का विशेष परीक्षण (Unbounded Region Test)

4.1 जब सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (Unbounded) हो

यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध हो, तो कोणीय बिंदु विधि से प्राप्त सबसे बड़ा मान $M$ या सबसे छोटा मान $m$ उद्देश्य फलन का वास्तविक चरम मान हो भी सकता है और नहीं भी!

परीक्षण की विधि:

अधिकतम मान ($M$) हेतु: असमिका $ax + by > M$ का खुला अर्ध-तल (Open Half-Plane) खींचें।
यदि इस विवृत अर्ध-तल और सुसंगत क्षेत्र में कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु न हो, तो $M$ ही उद्देश्य फलन का वास्तविक अधिकतम मान होगा। यदि कोई उभयनिष्ठ बिंदु आ जाए, तो $Z$ का कोई अधिकतम मान अस्तित्व में नहीं होगा।
न्यूनतम मान ($m$) हेतु: असमिका $ax + by < m$ का खुला अर्ध-तल खींचें।
यदि इस विवृत अर्ध-तल और सुसंगत क्षेत्र में कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु न हो, तो $m$ ही उद्देश्य फलन का वास्तविक न्यूनतम मान होगा। अन्यथा $Z$ का कोई न्यूनतम मान अस्तित्व में नहीं होगा।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

उद्देश्य फलन (Objective Function)

Z = ax + by

अधिकतम अथवा न्यूनतम करने हेतु रैखिक फलन।

ऋणेतर व्यवरोध (Non-negative Constraints)

$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$

निर्णय चरों का अऋणात्मक होना जो क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में रखता है।

कोणीय बिंदु मान (Corner Point Evaluation)

$$Z_i = a x_i + b y_i$$

सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष (xᵢ, yᵢ) पर फलन का मान।

अपरिबद्ध अधिकतम शर्त

$$ax + by > M \cap \text{Feasible Region} = \phi$$

उभयनिष्ठ बिंदु न होने पर M अधिकतम मान होता है।

अपरिबद्ध न्यूनतम शर्त

$$ax + by < m \cap \text{Feasible Region} = \phi$$

उभयनिष्ठ बिंदु न होने पर m न्यूनतम मान होता है।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

आलेखीय विधि द्वारा निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए: [JAC 2018, 2021, 2024 - 5 अंक]
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z = 3x + 4y$ का अधिकतमीकरण (Maximize) कीजिए:
$$x + y \le 4, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0$$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: व्यवरोधों के संगत रेखाओं के समीकरण:
असमिका $x + y \le 4$ के संगत समीकरण: $x + y = 4$
जब $x = 0 \implies y = 4$, बिंदु $A(0, 4)$
जब $y = 0 \implies x = 4$, बिंदु $B(4, 0)$
ऋणेतर व्यवरोध $x \ge 0, y \ge 0$ यह दर्शाते हैं कि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।

चरण 2: मूलबिंदु $(0, 0)$ परीक्षण:
असमिका $x + y \le 4$ में $(0, 0)$ रखने पर: $0 + 0 = 0 \le 4$ (सत्य है)।
अतः छायांकित क्षेत्र रेखा $x + y = 4$ के मूलबिंदु की ओर होगा।

चरण 3: सुसंगत क्षेत्र एवं कोणीय बिंदु:
सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज $OAB$ है जो एक परिबद्ध (Bounded) क्षेत्र है।
इसके कोणीय बिंदु हैं: $O(0, 0), \; A(0, 4), \; B(4, 0)$।

चरण 4: कोणीय बिंदुओं पर $Z = 3x + 4y$ का मान:

कोणीय बिंदु $(x, y)$	$Z = 3x + 4y$ का मान	टिप्पणी
$O(0, 0)$	$3(0) + 4(0) = 0$	न्यूनतम
$B(4, 0)$	$3(4) + 4(0) = 12$
$A(0, 4)$	$3(0) + 4(4) = 16$	अधिकतम

निष्कर्ष: बिंदु $A(0, 4)$ पर उद्देश्य फलन $Z$ का अधिकतम मान $16$ है।

अंक योजना (Marking Scheme): 1 अंक: रेखा x+y=4 के बिंदु निकालना; 2 अंक: सही ग्राफ व सुसंगत क्षेत्र छायांकित करना; 1 अंक: कोणीय बिंदु सारणी बनाना; 1 अंक: Z_max = 16 बिंदु (0,4) पर अंतिम निष्कर्ष। कुल: 5 अंक।

उदाहरण 2

आलेखीय विधि से निम्न व्यवरोधों के अधीन $Z = 200x + 500y$ का न्यूनतमीकरण (Minimize) कीजिए: [JAC 2019, 2023]
$$x + 2y \ge 10, \quad 3x + 4y \le 24, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0$$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: असमिकाओं के संगत रेखाएं:
रेखा 1: $x + 2y = 10$
बिंदु: $(0, 5)$ तथा $(10, 0)$। असमिका $x + 2y \ge 10$ में $(0, 0)$ रखने पर $0 \ge 10$ (असत्य), अतः छायांकन मूलबिंदु से दूर।

रेखा 2: $3x + 4y = 24$
बिंदु: $(0, 6)$ तथा $(8, 0)$। असमिका $3x + 4y \le 24$ में $(0, 0)$ रखने पर $0 \le 24$ (सत्य), अतः छायांकन मूलबिंदु की ओर।

चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु $B$ ज्ञात करना:
समीकरण 1 को 3 से गुणा कर समीकरण 2 में से घटाने पर:
$$3x + 6y = 30$$
$$3x + 4y = 24$$
घटाने पर: $2y = 6 \implies y = 3$।
अतः $x + 2(3) = 10 \implies x = 4$।
अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु $B(4, 3)$ है।

चरण 3: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु:
सुसंगत क्षेत्र चतुर्भुज के रूप में परिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु हैं:
$A(0, 5), \quad B(4, 3), \quad C(0, 6)$ (नोट: $y$-अक्ष पर $y=5$ से $y=6$ तक)।
परंतु $x$-अक्ष पर रेखाएं $x=8$ तथा $x=10$ पर हैं, जहाँ $3x+4y \le 24$ के कारण $x \le 8$ है, अतः बिंदु $D$ नहीं आता।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु: $A(0, 5), \; B(4, 3), \; C(0, 6)$।

चरण 4: कोणीय बिंदु सारणी:

कोणीय बिंदु	$Z = 200x + 500y$	निष्कर्ष
$A(0, 5)$	$200(0) + 500(5) = 2500$
$B(4, 3)$	$200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300$	न्यूनतम
$C(0, 6)$	$200(0) + 500(6) = 3000$

निष्कर्ष: बिंदु $B(4, 3)$ पर $Z$ का न्यूनतम मान $2300$ है।

अंक योजना (Marking Scheme): 2 अंक: रेखाओं के आलेख व प्रतिच्छेद बिंदु (4, 3) निकालना; 1 अंक: सुसंगत क्षेत्र छायांकित करना; 1 अंक: कोणीय बिंदु तालिका; 1 अंक: Z_min = 2300 बिंदु (4, 3) पर। कुल: 5 अंक।

उदाहरण 3

व्यवरोधों $x + y \le 8, \; 3x + 5y \le 15, \; x \ge 0, \; y \ge 0$ के अधीन $Z = 5x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। [NCERT / JAC 2020]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: रेखाओं का आलेखन:
$L_1: x + y = 8 \implies (0, 8), (8, 0)$
$L_2: 3x + 5y = 15 \implies (0, 3), (5, 0)$
चूँकि दोनों में $\le$ है, छायांकन मूलबिंदु की ओर होगा।
रेखा $3x + 5y = 15$ रेखा $x + y = 8$ के पूर्णतः नीचे स्थित है।
अतः सुसंगत क्षेत्र $L_2$ द्वारा सीमित होता है जिसके शीर्ष हैं:
$O(0, 0), \; A(5, 0), \; B(0, 3)$।

चरण 2: कोणीय बिंदुओं पर $Z = 5x + 3y$:

$O(0, 0) \implies Z = 0$
$A(5, 0) \implies Z = 5(5) + 3(0) = 25$ (अधिकतम)
$B(0, 3) \implies Z = 5(0) + 3(3) = 9$

उत्तर: $x = 5, y = 0$ पर $Z$ का अधिकतम मान $25$ है।

अंक योजना (Marking Scheme): 2 अंक: दोनों रेखाओं का आलेख; 1 अंक: सुसंगत क्षेत्र OAB की पहचान; 1 अंक: कोणीय मान; 1 अंक: Z = 25 (5, 0) पर उत्तर। कुल: 5 अंक।

उदाहरण 4

यदि किसी LPP का सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (Unbounded) हो, तो $Z = ax + by$ के अधिकतम अथवा न्यूनतम मान के अस्तित्व का निर्धारण कैसे किया जाता है? समझाइए। [JAC 2017, 2022]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

उत्तर:
जब सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध होता है, तो कोणीय बिंदु विधि से प्राप्त मान वास्तविक चरम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इसके लिए निम्नलिखित परीक्षण किया जाता है:

1. न्यूनतम मान ($m$) के लिए परीक्षण:
माना कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का न्यूनतम मान $m$ प्राप्त हुआ।
हम असमिका $ax + by < m$ का आलेख खींचते हैं।
यदि विवृत अर्ध-तल $ax + by < m$ तथा सुसंगत क्षेत्र के मध्य कोई भी उभयनिष्ठ बिंदु (Common Point) नहीं होता, तो $m$ ही फलन का वास्तविक न्यूनतम मान होता है।
यदि कम से कम एक भी बिंदु उभयनिष्ठ हो, तो फलन का कोई न्यूनतम मान अस्तित्व में नहीं होता।

2. अधिकतम मान ($M$) के लिए परीक्षण:
माना कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का अधिकतम मान $M$ प्राप्त हुआ।
हम असमिका $ax + by > M$ का आलेख खींचते हैं।
यदि विवृत अर्ध-तल $ax + by > M$ तथा सुसंगत क्षेत्र के मध्य कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता, तो $M$ ही अधिकतम मान होता है; अन्यथा अधिकतम मान का अस्तित्व नहीं होता।

अंक योजना (Marking Scheme): 2 अंक: न्यूनतम मान हेतु ax+by < m व कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने की शर्त; 2 अंक: अधिकतम मान हेतु ax+by > M व उभयनिष्ठ बिंदु का विश्लेषण। कुल: 4 अंक।

उदाहरण 5

यदि किसी LPP में उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ का अधिकतम मान सुसंगत क्षेत्र के दो क्रमागत कोणीय बिंदुओं पर समान प्राप्त होता है, तो इष्टतम हलों की संख्या क्या होगी? [JAC 2019, 2024]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

उत्तर:
प्रमेय के अनुसार, यदि उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ का अधिकतम (अथवा न्यूनतम) मान सुसंगत क्षेत्र के किन्हीं दो कोणीय बिंदुओं (मान लीजिए $P$ और $Q$) पर समान प्राप्त होता है, तो इन दोनों कोणीय बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड $PQ$ पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर $Z$ का वही चरम मान प्राप्त होगा!
चूँकि किसी रेखाखंड पर अपरिमित रूप से अनेक बिंदु होते हैं, अतः इस स्थिति में LPP के अनंत इष्टतम हल (Infinitely Many Optimal Solutions) होंगे।

अंक योजना (Marking Scheme): 1 अंक: रेखाखंड PQ के प्रत्येक बिंदु पर समान मान होना; 1 अंक: अनंत इष्टतम हलों का सही निष्कर्ष। कुल: 2 अंक।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

ऋणेतर व्यवरोधों x ≥ 0, y ≥ 0 को छोड़ देना या उनका आलेख न बनाना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

x ≥ 0, y ≥ 0 दर्शाते हैं कि सुसंगत क्षेत्र केवल प्रथम चतुर्थांश में रहेगा। अक्षों से परे ग्राफ को कभी छायांकित न करें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

असमिका के छायांकित क्षेत्र का निर्धारण किए बिना केवल रेखाओं के बीच के क्षेत्र को सुसंगत मान लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

सदैव मूलबिंदु (0, 0) रखकर असमिका की सत्यता जांचें। यदि सत्य हो तो मूलबिंदु की ओर छायांकन करें, अन्यथा मूलबिंदु के विपरीत।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र में बिना विवृत अर्ध-तल (ax + by < m) की जांच किए कोणीय मान को सीधे न्यूनतम मान घोषित कर देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

अपरिबद्ध क्षेत्र में विवृत अर्ध-तल का परीक्षण अनिवार्य है। यदि कोई उभयनिष्ठ बिंदु निकलता है, तो न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं होगा।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

कोणीय बिंदु तालिका में गणना की त्रुटि करना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

Z = ax + by में x और y का मान अत्यंत सावधानी से प्रतिस्थापित कर गुणनफल व योग की पुनः जांच करें।

रैखिक प्रोग्रामन: परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) एवं कोणीय बिंदु

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

रैखिक प्रोग्रामन सीमित संसाधनों में लाभ को अधिकतम या लागत को न्यूनतम करने की गणितीय तकनीक है।

मुख्य बिंदु 2

उद्देश्य फलन Z = ax + by वह रैखिक फलन है जिसका चरम मान ज्ञात किया जाता है।

मुख्य बिंदु 3

ऋणेतर व्यवरोध x ≥ 0, y ≥ 0 सुसंगत क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करते हैं।

मुख्य बिंदु 4

सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करने वाले उभयनिष्ठ क्षेत्र को सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region) कहते हैं।

मुख्य बिंदु 5

प्रमेय 1: यदि Z का इष्टतम मान अस्तित्व में है, तो वह सुसंगत क्षेत्र के किसी कोणीय बिंदु पर ही होगा।

मुख्य बिंदु 6

प्रमेय 2: परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र में अधिकतम एवं न्यूनतम दोनों मान निश्चित रूप से प्राप्त होते हैं।

मुख्य बिंदु 7

कोणीय बिंदु विधि में प्रत्येक शीर्ष पर Z का मान सारणीबद्ध कर चरम मान चुना जाता है।

मुख्य बिंदु 8

यदि दो कोणीय बिंदुओं पर Z का समान अधिकतम मान प्राप्त हो, तो रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर वही मान होगा (अनंत हल)।

मुख्य बिंदु 9

अपरिबद्ध क्षेत्र में विवृत अर्ध-तल ax + by > M अथवा < m का उभयनिष्ठ बिंदु परीक्षण आवश्यक है।

मुख्य बिंदु 10

बोर्ड परीक्षा में ग्राफ, कोणीय बिंदु तालिका तथा अंतिम निष्कर्ष लिखने पर पूरे 5 अंक मिलते हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

LPP में सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (Corner Points) (0, 2), (3, 0), (6, 0), (6, 8) तथा (0, 5) हैं। Z = 4x + 6y का न्यूनतम मान क्या होगा?

(A) 12

(B) 18

(C) 24

(D) 30

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: A
Z(0, 2) = 4(0) + 6(2) = 12। Z(3, 0) = 12। Z(6, 0) = 24। Z(6, 8) = 72। Z(0, 5) = 30। न्यूनतम मान 12 है (जो (0, 2) और (3, 0) दोनों पर है)।

किसी LPP में उद्देश्य फलन Z = ax + by क्या होता है?

(A) एक असमिका

(B) एक द्विघात फलन

(C) एक रैखिक फलन जिसका इष्टतमीकरण करना है

(D) एक अचर राशि

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: C
उद्देश्य फलन निर्णय चरों में एक रैखिक फलन होता है जिसका अधिकतमीकरण अथवा न्यूनतमीकरण किया जाता है।

असमिकाएं x ≥ 0, y ≥ 0 सुसंगत क्षेत्र को किस चतुर्थांश में सीमित करती हैं?

(A) प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant)

(B) द्वितीय चतुर्थांश

(C) तृतीय चतुर्थांश

(D) सभी चतुर्थांशों में

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: A
x और y दोनों का मान धनात्मक अथवा शून्य केवल प्रथम चतुर्थांश में होता है।

यदि उद्देश्य फलन का अधिकतम मान दो निकटवर्ती कोणीय बिंदुओं पर समान हो, तो समस्या के कितने इष्टतम हल होंगे?

(A) केवल 1

(B) केवल 2

(C) शून्य

(D) अनंत (Infinitely many)

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: D
उन दोनों कोणीय बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु इष्टतम हल होता है, अतः अनंत हल होते हैं।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स