Relations and Functions

1.1 समुच्चयों का कार्तीय गुणन (Cartesian Product of Sets):
गणित में किसी भी संबंध की उत्पत्ति दो समुच्चयों के कार्तीय गुणन से होती है। यदि $A$ और $B$ दो अरिक्त (Non-empty) समुच्चय हैं, तो $A$ के प्रत्येक अवयव को $B$ के प्रत्येक अवयव के साथ क्रमित रूप से मिलाने पर प्राप्त होने वाले सभी क्रमित युग्मों (Ordered Pairs) का समुच्चय, $A$ और $B$ का कार्तीय गुणन (Cartesian Product) कहलाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $A \times B$ द्वारा निरूपित किया जाता है:

क्रमित युग्मों की समानता (Equality of Ordered Pairs): दो क्रमित युग्म $(a_1, b_1)$ और $(a_2, b_2)$ केवल और केवल तभी समान होते हैं जब उनके संगत प्रथम और द्वितीय घटक परस्पर बराबर हों:
$$(a_1, b_1) = (a_2, b_2) \iff a_1 = a_2 \quad \text{तथा} \quad b_1 = b_2$$

1.2 संबंध की औपचारिक एवं वैज्ञानिक परिभाषा (Formal Definition of Relation)

समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में कोई संबंध (Relation) $R$, कार्तीय गुणन $A \times B$ का कोई भी उपसमुच्चय (Subset) होता है:

यदि $(a, b) \in R$, तो हम कहते हैं कि "अवयव $a$, संबंध $R$ द्वारा अवयव $b$ से संबंधित है", और इसे संकेतन में $\mathbf{aRb}$ लिखा जाता है। यदि $(a, b) \notin R$, तो हम कहते हैं कि $a$ का संबंध $b$ से नहीं है, और इसे $\mathbf{a \not\!R b}$ लिखते हैं।

समुच्चय $A$ पर संबंध (Relation on a Set $A$): यदि संबंध के दोनों समुच्चय समान हों ($A = B$), तो $A \times A$ के किसी भी उपसमुच्चय $R$ को "समुच्चय $A$ पर एक संबंध" (Relation on set $A$) कहा जाता है।

1.3 संबंध का प्रांत, सह-प्रांत एवं परिसर (Domain, Co-domain and Range)

• प्रांत (Domain): संबंध $R$ के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों (First Coordinates) का समुच्चय, $R$ का प्रांत कहलाता है:
  $$\text{Domain}(R) = \{a \in A : \exists b \in B \text{ सच दैट } (a, b) \in R\} \subseteq A$$
• परिसर (Range): संबंध $R$ के सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों (Second Coordinates) का समुच्चय, $R$ का परिसर कहलाता है:
  $$\text{Range}(R) = \{b \in B : \exists a \in A \text{ सच दैट } (a, b) \in R\} \subseteq B$$
• सह-प्रांत (Co-domain): संपूर्ण समुच्चय $B$ को संबंध $R$ का सह-प्रांत कहा जाता है।
  अत्यंत महत्वपूर्ण निष्कर्ष: $\mathbf{\text{Range}(R) \subseteq \text{Co-domain}(R)}$। परिसर सदैव सह-प्रांत का उपसमुच्चय होता है, यह आवश्यक नहीं कि वह सह-प्रांत के बराबर ही हो।

1.4 संबंधों के तीन प्राथमिक/विशेष प्रकार (Trivial & Identity Relations)

नोट: रिक्त संबंध $(\emptyset)$ तथा सार्वत्रिक संबंध $(A \times A)$ को सामूहिक रूप से तुच्छ संबंध (Trivial Relations) कहा जाता है।

कक्षा 12वीं गणित की संपूर्ण संबंध संकल्पना तीन मूल कसौटियों पर टिकी है। झारखण्ड अधिविद्य परिषद् (JAC) की बोर्ड परीक्षा में 90% प्रश्न इन्हीं तीनों प्रकारों के परीक्षण और सत्यापन पर आधारित होते हैं। आइए प्रत्येक को उसकी गणितीय सूक्ष्मताओं, अपवादों और व्यावहारिक उदाहरणों सहित समझें:

(क) स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation)

स्वतुल्यता के व्यावहारिक उदाहरण:

• समानता ($=$): वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर संबंध $x = y$ स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है: $x = x, \forall x \in \mathbb{R}$।
• समांतरता ($\parallel$): समतल में स्थित सभी सरल रेखाओं के समुच्चय $L$ पर संबंध $L_1 \parallel L_2$ स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समांतर मानी जाती है: $L_1 \parallel L_1$।
• उपसमुच्चय ($\subseteq$): किसी समुच्चय के घात समुच्चय $P(X)$ पर $A \subseteq B$ स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है: $A \subseteq A$।
• असफल उदाहरण (लंबवत रेखाएं $\perp$): संबंध $L_1 \perp L_2$ स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी सीधी रेखा स्वयं पर लंबवत नहीं हो सकती ($L_1 \not\perp L_1$)।

(ख) सममित संबंध (Symmetric Relation)

सममितता के व्यावहारिक उदाहरण:

• लंबवत रेखाएं ($\perp$): समतल में रेखाओं पर $L_1 \perp L_2 \implies L_2 \perp L_1$। अतः यह संबंध सममित है! (ध्यान दें: यह स्वतुल्य नहीं था, परंतु सममित है)।
• रक्त संबंध (भाई/बहन): " $x, y$ का भाई है " पुरुषों के समुच्चय में सममित है ($x$ भाई है $y$ का $\implies y$ भाई है $x$ का), परंतु यदि समुच्चय में स्त्रियां भी शामिल हों, तो यह सममित नहीं रहेगा क्योंकि $y$ बहन हो सकती है!
• असफल उदाहरण (छोटा होना $<$): वास्तविक संख्याओं पर $x < y \implies y < x$ संभव नहीं है (जैसे $2 < 5$, परंतु $5 \not< 2$)। अतः '$<$' सममित नहीं है।
• असफल उदाहरण (विभाज्यता $\mid$): $\mathbb{N}$ पर $a \mid b$ (अर्थात् $a, b$ को विभाजित करता है): $2 \mid 4$, परंतु $4 \nmid 2$। अतः विभाज्यता सममित नहीं है।

(ग) संक्रामक संबंध (Transitive Relation)

(घ) सामान्य गणितीय संबंधों का महा-तुलनात्मक चार्ट (Master Comparison Chart)

3.1 तुल्यता संबंध (Equivalence Relation) की संकल्पना:
गणित में वह संबंध जो समानता (Equality) के सभी आदर्श लक्षणों का निर्वहन करता है, तुल्यता संबंध कहलाता है। औपचारिक रूप से:

3.2 मानक उदाहरण: पूर्णांकों पर समशेष मापांक $n$ (Congruence Modulo $n$ on $\mathbb{Z}$)

मान लीजिए $n \in \mathbb{N}$ एक निश्चित धनात्मक पूर्णांक है। पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर संबंध $R$ निम्न प्रकार परिभाषित है:
$$a R b \iff a \equiv b \pmod n \iff (a - b) \text{ संख्या } n \text{ से पूर्णतः विभाजित है}$$ अर्थात् $a - b = k \cdot n$, जहाँ $k \in \mathbb{Z}$।

पूर्ण औपचारिक उपपत्ति (JAC 5 Marks Standard Proof):

3.3 तुल्यता वर्ग (Equivalence Class) की गहन संकल्पना

मान लीजिए $R$, समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध है तथा $a \in A$ कोई अवयव है। $A$ के उन सभी अवयवों का उपसमुच्चय जो संबंध $R$ के अंतर्गत $a$ से संबंधित हैं, $a$ का तुल्यता वर्ग (Equivalence Class of $a$) कहलाता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से $\mathbf{[a]}$ अथवा $\mathbf{\text{cl}(a)}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है:

तुल्यता वर्गों के तीन मूलभूत प्रमेय (Three Fundamental Theorems):

4.1 फलन (Function / Mapping) की आधुनिक परिभाषा:
गणित में फलन एक विशेष प्रकार का संबंध होता है जो इनपुट और आउटपुट के मध्य एक अद्वितीय (Unique) संगति स्थापित करता है। यदि $X$ और $Y$ दो अरिक्त समुच्चय हैं, तो $X$ से $Y$ में कोई संबंध $f$ एक फलन (Function) कहलाता है यदि और केवल यदि वह निम्नलिखित दो सार्वभौमिक नियमों का पालन करे:

आलेखीय परीक्षण: ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण (Vertical Line Test):
कार्तीय तल में कोई वक्र $y = f(x)$ फलन का प्रतिनिधित्व केवल तब करता है जब $x$-अक्ष के लंबवत (ऊर्ध्वाधर) खींची गई कोई भी सीधी रेखा वक्र को अधिकतम एक ही बिंदु पर काटे। यदि कोई ऊर्ध्वाधर रेखा वक्र को दो या अधिक बिंदुओं पर काटती है (जैसे वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$), तो वह फलन नहीं है!

4.2 फलनों के चार मौलिक प्रकार (Four Fundamental Types of Functions)

4.3 एकैकी-आच्छादी फलन (Bijective Function - One-One & Onto)

5.1 संयोजन की औपचारिक अवधारणा:
मान लीजिए कि $f: A \to B$ तथा $g: B \to C$ दो फलन हैं। तब $f$ तथा $g$ का संयोजन (Composition), जिसे प्रतीकात्मक रूप से $\mathbf{g \circ f}$ लिखा जाता है (पढ़ा जाता है: 'g सर्किल f' अथवा 'g of f'), समुच्चय $A$ से समुच्चय $C$ में एक ऐसा नया फलन है जो निम्न प्रकार परिभाषित होता है:

संयोजन के अस्तित्व की अनिवार्य शर्त (Existence Condition):
फलन $g \circ f$ केवल और केवल तभी परिभाषित होता है जब प्रथम फलन $f$ का परिसर (Range), द्वितीय फलन $g$ के प्रांत (Domain) का उपसमुच्चय हो:
$$\mathbf{\text{Range}(f) \subseteq \text{Domain}(g)}$$ इसी प्रकार, फलन $f \circ g$ केवल तभी परिभाषित होगा जब $\mathbf{\text{Range}(g) \subseteq \text{Domain}(f)}$।

5.2 फलनों के संयोजन के महत्वपूर्ण गुणधर्म एवं प्रमेय

6.1 व्युत्क्रमणीय फलन (Invertible Function) की आधुनिक परिभाषा:
मान लीजिए कि $f: X \to Y$ एक फलन है। फलन $f$ को व्युत्क्रमणीय (Invertible) कहा जाता है यदि एक ऐसे फलन $g: Y \to X$ का अस्तित्व हो जिसके लिए:

जहाँ $I_X$ समुच्चय $X$ पर तत्समक फलन है ($I_X(x) = x, \forall x \in X$) तथा $I_Y$ समुच्चय $Y$ पर तत्समक फलन है ($I_Y(y) = y, \forall y \in Y$)।
ऐसी स्थिति में, फलन $g$ को फलन $f$ का प्रतिलोम (Inverse) कहा जाता है और इसे $\mathbf{f^{-1}}$ द्वारा निरूपित किया जाता है:
$$\mathbf{g = f^{-1}: Y \to X} \quad \iff \quad \mathbf{f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x}$$

6.2 व्युत्क्रमणीयता की मूलभूत प्रमेय (The Fundamental Invertibility Theorem)

6.3 प्रतिलोम फलन ज्ञात करने की चरणबद्ध कलन-विधि (Step-by-Step Algorithm - JAC 5 Marks)

7.1 द्विआधारी संक्रिया (Binary Operation) की वैज्ञानिक परिभाषा:
अंकगणित में जोड़ ($+$), घटाव ($-$), गुणा ($\times$) तथा भाग ($\div$) वे मौलिक क्रियाएं हैं जो दो संख्याओं पर लागू होकर एक नई संख्या प्रदान करती हैं। अमूर्त बीजगणित में इसे व्यापक रूप देकर द्विआधारी संक्रिया कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, किसी अरिक्त समुच्चय $A$ पर कोई द्विआधारी संक्रिया (Binary Operation) $*$ एक ऐसा फलन है जो $A \times A$ के प्रत्येक क्रमित युग्म $(a, b)$ को $A$ के ही एक अद्वितीय अवयव $\mathbf{a * b}$ से संबद्ध करता है।

संवृत गुणधर्म (Closure Property): यदि संक्रिया का परिणाम समुच्चय $A$ से बाहर चला जाए, तो वह संक्रिया उस समुच्चय पर द्विआधारी संक्रिया नहीं हो सकती! उदाहरणार्थ:
• प्राकृत संख्याओं $\mathbb{N}$ पर व्यवकलन (घटाव $-$) द्विआधारी संक्रिया नहीं है, क्योंकि $3 - 7 = -4 \notin \mathbb{N}$।
• परंतु पूर्णांकों $\mathbb{Z}$ पर व्यवकलन द्विआधारी संक्रिया है, क्योंकि $a - b \in \mathbb{Z}, \forall a, b \in \mathbb{Z}$।
• वास्तविक संख्याओं $\mathbb{R}$ पर भाग ($\div$) द्विआधारी संक्रिया नहीं है क्योंकि शून्य से भाग ($a \div 0$) अपरिभाषित है। परंतु $\mathbb{R} - \{0\}$ पर भाग द्विआधारी संक्रिया है।

7.2 द्विआधारी संक्रियाओं के चार आधारभूत बीजगणितीय नियम

7.3 केली संक्रिया सारणी (Cayley Operation Table for Finite Sets)

परिमित समुच्चयों पर द्विआधारी संक्रिया को एक सारणी के रूप में दर्शाया जाता है जिसे केली सारणी कहते हैं। उदाहरणार्थ, समुच्चय $A = \{1, -1\}$ पर सामान्य गुणन ($\times$) की संक्रिया सारणी:

सारणी से प्रत्यक्ष निष्कर्ष: सभी प्रविष्टियाँ समुच्चय में हैं (संवृत); मुख्य विकर्ण (Main Diagonal) के परितः सारणी सममित है (क्रमविनिमेय); प्रथम पंक्ति व प्रथम स्तंभ समान हैं, अतः $e = 1$ तत्समक अवयव है; $1 \times 1 = 1 \implies 1^{-1} = 1$, तथा $(-1) \times (-1) = 1 \implies (-1)^{-1} = -1$।

JAC बोर्ड के वस्तुनिष्ठ बहुविकल्पीय प्रश्नों (MCQs) तथा JEE Main व CUET की प्रतियोगी परीक्षाओं में संबंधों और फलनों की विभिन्न श्रेणियों की संख्या पर सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं। निम्नलिखित महा-सूत्र तालिका छात्रों के लिए एक संपूर्ण रेडी-रेकनर है: