सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

1.1 स्थिति सदिश (Position Vector)

त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ के सापेक्ष किसी बिंदु $P(x, y, z)$ को मिलाने वाले दिष्ट रेखाखंड $\vec{OP}$ को बिंदु $P$ का स्थिति सदिश (Position Vector) कहते हैं:

जहाँ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों के अनुदिश मात्रक सदिश हैं। इसका परिमाण:

1.2 सदिशों के विभिन्न प्रकार

• शून्य सदिश (Zero Vector $\vec{0}$): जिसका प्रारंभिक एवं अंतिम बिंदु संपाती हो; इसका परिमाण शून्य तथा दिशा अनिर्धारित होती है।
• मात्रक सदिश (Unit Vector): जिसका परिमाण ठीक $1$ इकाई हो। सदिश $\vec{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश: $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$।
• सह-प्रारंभिक सदिश (Co-initial Vectors): जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही हो।
• संरेख सदिश (Collinear Vectors): जो एक ही रेखा के समांतर हों, चाहे उनके परिमाण व दिशाएं कुछ भी हों। $\vec{b} = \lambda \vec{a}$।
• समान सदिश (Equal Vectors): जिनके परिमाण एवं दिशा दोनों परस्पर समान हों।
• ऋणात्मक सदिश (Negative of a Vector): परिमाण समान किंतु दिशा ठीक विपरीत हो ($\vec{BA} = -\vec{AB}$)।

2.1 सदिश योग का त्रिभुज नियम (Triangle Law of Vector Addition)

यदि दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ को किसी त्रिभुज की दो क्रमागत भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो त्रिभुज की तीसरी भुजा (विपरीत क्रम में) उनके योग $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ को प्रदर्शित करती है:

2.2 घटक रूप में दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश

यदि बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ तथा $Q(x_2, y_2, z_2)$ हों, तो सदिश $\vec{PQ}$:

2.3 खंड सूत्र (Section Formula)

स्थिति सदिश $\vec{a}$ एवं $\vec{b}$ वाले दो बिंदुओं $A$ और $B$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$:

• अंतः विभाजन (Internal Division): $\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$
• बाह्य विभाजन (External Division): $\vec{r} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}$
• मध्य-बिंदु (Mid-point): $\vec{r} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

3.1 परिभाषा एवं गुणधर्म

दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल एक वास्तविक संख्या (अदिश) होता है:

घटक रूप में: यदि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ तथा $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$, तब:

महत्वपूर्ण निष्कर्ष:

• क्रम-विनिमेय नियम: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• लंबवत होने की अनिवार्य शर्त: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$
• स्वयं से गुणनफल: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$
• मात्रक सदिशों का गुणन: $\hat{i}\cdot\hat{i} = \hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1$ तथा $\hat{i}\cdot\hat{j} = \hat{j}\cdot\hat{k} = \hat{k}\cdot\hat{i} = 0$
• दो सदिशों के मध्य कोण: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

3.2 एक सदिश का दूसरे सदिश पर प्रक्षेप (Projection of a Vector)

सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप (Projection):

4.1 परिभाषा एवं सारणिक रूप

दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल एक ऐसा सदिश होता है जिसकी दिशा $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत (दाएं हाथ के पेंच नियम / Right Hand Thumb Rule) होती है:

सारणिक (Determinant) द्वारा गणना:

महत्वपूर्ण गुणधर्म:

• प्रति-क्रमविनिमेय (Anti-commutative): $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
• संरेख / समांतर होने की शर्त: $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$
• मात्रक सदिशों का चक्रीय गुणन: $\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}, \; \hat{j}\times\hat{k} = \hat{i}, \; \hat{k}\times\hat{i} = \hat{j}$ तथा $\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0}$
• दोनों सदिशों के लंबवत एकांक सदिश: $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

4.2 ज्यामितीय अनुप्रयोग: क्षेत्रफलों की गणना

• त्रिभुज का क्षेत्रफल (आसन्न भुजाएं $\vec{a}$ और $\vec{b}$):
  $$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$$
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (आसन्न भुजाएं $\vec{a}$ और $\vec{b}$):
  $$\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$$
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (विकर्ण $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ दिए होने पर):
  $$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$$