JCERT · कक्षा 7 · अध्याय 1 · पूर्णांक। आधिकारिक अध्याय के अनुरूप विषय नोट्स; यह सभी पुस्तक प्रश्नों की हल-पुस्तिका नहीं है।
पूर्णांक बीजगणित (Algebra), निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry), भौतिकी में वेग व त्वरण, और वित्तीय गणित की रीढ़ हैं। यदि चिह्नों (+ और -) के नियम यहाँ स्पष्ट हो जाएं, तो कक्षा 8, 9, 10 तथा बोर्ड परीक्षाओं में कभी कोई गणना त्रुटि नहीं होती।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 7 · अध्याय 1 — पूर्णांक
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 1–39. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (22 अध्याय) · अलग सहायक संदर्भ पुस्तक.
विषय नोट्स और उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; इन्हें पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल न मानें। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम के हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
पूर्णांकों में धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य शामिल हैं। संख्या रेखा पर दाईं ओर की संख्या बड़ी होती है। जोड़ और गुणन संवृत, क्रमविनिमेय तथा साहचर्य हैं; घटाव संवृत है, लेकिन क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं। भाग का परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता और शून्य से भाग अपरिभाषित है।
ऋणात्मक संख्या घटाने पर उसका धनात्मक प्रतिलोम जोड़ते हैं।
हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं ($1, 2, 3, \dots$) के समूह में जब शून्य ($0$) को मिलाया जाता है, तो हमें पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers, $W$) प्राप्त होती हैं। परंतु जब हम किसी संख्या में से उससे बड़ी संख्या घटाते हैं (जैसे $3 - 5 = ?$), तो हमें ऋणात्मक संख्याओं की आवश्यकता होती है।
सभी पूर्ण संख्याओं ($0, 1, 2, 3, \dots$) और ऋणात्मक प्राकृत संख्याओं ($-1, -2, -3, \dots$) के संयुक्त संग्रह को पूर्णांक (Integers) कहा जाता है। इसे जर्मन शब्द "Zahlen" (अर्थात गिनना) के आधार पर प्रतीक $\mathbb{Z}$ द्वारा दर्शाया जाता है:
$\mathbb{Z} = \{\dots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$
पूर्णांकों के जोड़ और घटाव में बीजगणितीय संरचना को बनाए रखने के लिए पाँच प्रमुख नियम काम करते हैं:
| गुणधर्म (Property) | गणितीय सूत्र | विस्तृत व्याख्या एवं उदाहरण |
|---|---|---|
| 1. संवृत गुण (Closure) | $a + b \in \mathbb{Z}$ $a - b \in \mathbb{Z}$ |
किन्हीं दो पूर्णांकों का योग एवं अंतर सदैव एक पूर्णांक होता है। उदा. $(-3) + 8 = 5 \in \mathbb{Z}$ तथा $4 - 9 = -5 \in \mathbb{Z}$। |
| 2. क्रमविनिमेय (Commutative) | $a + b = b + a$ $a - b \neq b - a$ |
योग क्रम बदलने पर समान रहता है: $(-8) + (-5) = (-5) + (-8) = -13$। परंतु घटाव क्रमविनिमेय नहीं होता: $5 - 3 = 2$, परंतु $3 - 5 = -2$। |
| 3. साहचर्य (Associative) | $(a + b) + c = a + (b + c)$ | तीन पूर्णांकों को किसी भी समूह में जोड़ें, योगफल अपरिवर्तित रहता है। उदा. $[(-3) + 1] + (-7) = -2 + (-7) = -9$। व्यवकलन साहचर्य नहीं होता। |
| 4. योज्य तत्समक (Identity) | $a + 0 = 0 + a = a$ | किसी भी पूर्णांक में शून्य ($0$) जोड़ने पर वही पूर्णांक मिलता है। अतः $0$ पूर्णांकों का योज्य तत्समक है। |
| 5. योज्य प्रतिलोम (Inverse) | $a + (-a) = 0$ | किसी संख्या का चिह्न उलट देने पर उसका योज्य प्रतिलोम प्राप्त होता है। उदा. $+15$ का योज्य प्रतिलोम $-15$, और $-28$ का योज्य प्रतिलोम $+28$ है। |
पूर्णांकों के गुणन में चिह्नों का व्यवहार अत्यंत सटीक नियमों से संचालित होता है:
जब कई ऋणात्मक संख्याओं का परस्पर गुणा किया जाता है:
• यदि ऋण चिह्नों की संख्या सम (Even) है ➔ गुणनफल धनात्मक ($+$) होगा।
उदा. $(-2) \times (-3) \times (-1) \times (-4) = +24$
• यदि ऋण चिह्नों की संख्या विषम (Odd) है ➔ गुणनफल ऋणात्मक ($-$) होगा।
उदा. $(-2) \times (-3) \times (-4) = -24$
• $(-1)^{100} = +1$ (क्योंकि 100 सम है); $(-1)^{99} = -1$ (क्योंकि 99 विषम है)।
योग एवं व्यवकलन पर गुणन का वितरण नियम जटिल गणनाओं को मानसिक रूप से सेकंडों में हल करने का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र है:
$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$
$a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)$
उदाहरण : $(-25) \times 102 = (-25) \times (100 + 2) = [(-25) \times 100] + [(-25) \times 2] = -2500 + (-50) = -2550$।
विभाजन गुणन की विपरीत (Inverse) संक्रिया है। चूँकि $3 \times 5 = 15$, इसलिए $15 \div 5 = 3$ और $15 \div 3 = 5$ होता है।
−8 + 5 + 4 = 1
ऋणात्मक संख्या घटाने पर उसका धनात्मक प्रतिलोम जोड़ते हैं।
चरण 1 (समान चिह्नों को सरल करना) :
$-(-12)$ में दोहरे ऋण चिह्न मिलकर धन बन जाते हैं: $-(-12) = +12$।
व्यंजक बन जाता है: $(-8) + (-5) + 12 + (-2)$
चरण 2 (ऋणात्मक संख्याओं को एक साथ जोड़ना) :
$[(-8) + (-5) + (-2)] + 12 = (-15) + 12$
चरण 3 (अंतिम घटाव) :
$(-15) + 12 = -3$ (क्योंकि 15 बड़ा है और उसका चिह्न ऋणात्मक है)।
अतः अभीष्ट उत्तर = $-3$
चरण 1 : व्यंजक में $625$ को उभयनिष्ठ (Common) लेने के लिए $(-625) \times 65$ को $625 \times (-65)$ के रूप में लिखें:
$= [625 \times (-35)] + [625 \times (-65)]$
चरण 2 (वितरण नियम $a \times b + a \times c = a \times (b + c)$ का प्रयोग) :
$= 625 \times [(-35) + (-65)]$
चरण 3 (कोष्ठक को हल करना) :
$(-35) + (-65) = -100$
चरण 4 (गुणनफल) :
$= 625 \times (-100) = -62,500$
अतः अभीष्ट उत्तर = $-62,500$
चरण 1 (आरंभिक और अंतिम स्थिति) :
लिफ्ट की प्रारंभिक स्थिति $= +10\text{ m}$ (जमीन से ऊपर)
लिफ्ट की अंतिम स्थिति $= -350\text{ m}$ (जमीन से नीचे)
चरण 2 (तय की जाने वाली कुल दूरी) :
कुल दूरी $= \text{प्रारंभिक स्थिति} - \text{अंतिम स्थिति} = 10 - (-350) = 10 + 350 = 360\text{ m}$
चरण 3 (समय की गणना) :
लिफ्ट के उतरने की गति $= 6\text{ m/minute}$
$\text{समय} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{360}{6} = 60\text{ मिनट}$
$60\text{ मिनट} = 1\text{ घंटा}$
अतः लिफ्ट को -350 मीटर पहुँचने में ठीक 1 घंटा लगेगा।
चरण 1 : कमरे का प्रारंभिक तापमान $= 40^\circ\text{C}$
चरण 2 : तापमान में परिवर्तन की दर $= -5^\circ\text{C}$ प्रति घंटा
चरण 3 : 10 घंटों में तापमान में कुल कमी $= 10 \times (-5^\circ\text{C}) = -50^\circ\text{C}$
चरण 4 : 10 घंटे बाद अंतिम तापमान $= 40^\circ\text{C} + (-50^\circ\text{C}) = 40 - 50 = -10^\circ\text{C}$
अतः 10 घंटे बाद कमरे का तापमान $-10^\circ\text{C}$ होगा।
चरण 1 : 1 सही उत्तर के लिए अंक $= +3$
12 सही उत्तरों के लिए कुल अंक $= 12 \times 3 = 36$ अंक
चरण 2 : राधिका द्वारा प्राप्त कुल अंतिम अंक $= 20$ अंक
चरण 3 : गलत उत्तरों के कारण कटे कुल अंक $= 20 - 36 = -16$ अंक
चरण 4 : 1 गलत उत्तर के लिए अंक $= -2$
गलत उत्तरों की संख्या $= \frac{-16}{-2} = +8$
अतः राधिका ने कुल 8 प्रश्नों के गलत उत्तर दिए।
मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।
झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।
पूर्णांक में कोई संदेह या प्रश्न है? हमारे AI अध्ययन मित्र से तुरंत समझें।
