JCERT · कक्षा 7 · अध्याय 4 · परिमेय संख्याएँ। आधिकारिक अध्याय के अनुरूप विषय नोट्स; यह सभी पुस्तक प्रश्नों की हल-पुस्तिका नहीं है।
🌊 यदि समुद्र तल से 750 मीटर ऊपर की ऊँचाई को $+3/4$ किमी लिखा जाता है, तो समुद्र तल से 750 मीटर नीचे की गहराई को आप किस संख्या से दर्शाएँगे?
❄️ शून्य से नीचे $-2.5^\circ\text{C}$ तापमान को भिन्न के रूप में कैसे लिखा जाएगा? क्या भिन्न (Fraction) कभी ऋणात्मक हो सकती है? यदि नहीं, तो $-5/2$ क्या है?
🌌 1 और 2 के बीच कितने पूर्णांक हैं? शून्य! लेकिन 1 और 2 के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ हो सकती हैं? 10? 100? या अनंत?
इन सभी गणितीय सीमाओं को तोड़कर एक संपूर्ण और अनंत संख्या जगत की सैर हमें परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) कराती हैं। यह अध्याय उच्च गणित, कैलकुलस और भौतिक विज्ञान की वैज्ञानिक गणनाओं का प्राण है।
भौतिकी में किसी वस्तु के मंदन (Negative Acceleration), विद्युत धारा के विपरीत प्रवाह, वित्तीय लेखा-जोखा में घाटे के अनुपात और तापमान के शून्य से नीचे गिरने पर केवल धनात्मक भिन्नें काम नहीं आतीं। वहाँ ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ अनिवार्य हो जाती हैं। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और क्वांटम फिजिक्स में सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के सन्निकटन (Approximation) पर ही कार्य करती हैं।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 7 · अध्याय 4 — परिमेय संख्याएँ
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 67–88. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (22 अध्याय) · अलग सहायक संदर्भ पुस्तक.
विषय नोट्स और उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; इन्हें पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल न मानें। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम के हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
परिमेय संख्या p/q में p और q पूर्णांक तथा q अशून्य है। मानक रूप में हर धनात्मक और अंश-हर सह-अभाज्य होते हैं। तुलना के लिए समान धनात्मक हर लें। योज्य प्रतिलोम चिह्न बदलता है; अशून्य संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम अंश और हर बदलता है।
दोनों पदों को उनके म.स. 2 से भाग दें। शून्य का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं है।
‘परिमेय’ (Rational) शब्द की उत्पत्ति ‘अनुपात’ (Ratio) से हुई है।
विशेष तथ्य:
| प्रकार | शर्त | उदाहरण | संख्या रेखा पर स्थिति |
|---|---|---|---|
| धनात्मक परिमेय संख्या | अंश और हर दोनों के चिह्न समान हों (दोनों $+$ या दोनों $-$) | $\frac{3}{4}, \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}$ | शून्य (0) के दाईं ओर |
| ऋणात्मक परिमेय संख्या | अंश या हर में से कोई एक ऋणात्मक हो | $\frac{-2}{5}, \frac{7}{-9} = \frac{-7}{9}$ | शून्य (0) के बाईं ओर |
एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ मानक रूप में कही जाती है यदि:
किसी परिमेय संख्या के अंश और हर दोनों को एक ही शून्येतर पूर्णांक से गुणा या भाग करने पर समतुल्य परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं:
संख्या रेखा पर शून्य के दाईं ओर धनात्मक तथा बाईं ओर ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ निरूपित होती हैं। जैसे $\frac{-3}{4}$ को दर्शाने के लिए $0$ और $-1$ के बीच की दूरी को $4$ बराबर भागों में बाँटकर तीसरे भाग पर बिंदु अंकित किया जाता है।
किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत (असीमित) परिमेय संख्याएँ स्थित होती हैं। इन्हें खोजने के दो मुख्य तरीके हैं:
| संक्रिया | सूत्र / विधि | सावधानी |
|---|---|---|
| योग (Addition) | हर समान हो: $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ हर असमान हो: हरों का LCM लेकर समान हर बनाएँ |
पूर्णांकों के चिन्ह नियमों ($- + - = -$) का कड़ाई से पालन करें। |
| व्यवकलन (Subtraction) | $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left(\frac{-c}{d}\right)$ | घटाने वाली संख्या का योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse) जोड़ें। |
| गुणन (Multiplication) | $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$ | चिन्हों का गुणा: $(-) \times (-) = (+)$, $(-) \times (+) = (-)$ |
| विभाजन (Division) | $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$ | भाजक का व्युत्क्रम (Reciprocal) लें; $\frac{0}{d}$ से भाग अपरिभाषित है। |
−6/8 = −3/4; −3/4 + 3/4 = 0
दोनों पदों को उनके म.स. 2 से भाग दें। शून्य का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं है।
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