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झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 4

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

सरल समीकरण (Simple Equations)

झारखण्ड शैक्षिक परिषद् (JAC) एवं NCERT कक्षा 7 गणित का चतुर्थ अध्याय "सरल समीकरण" (Simple Equations) बीजगणित (Algebra) की सबसे मौलिक और शक्तिशाली शाखा है। समीकरण अज्ञात राशियों (Unknowns) को ज्ञात करने का एक गणितीय तराजू है। इस अध्याय में चर (Variable), अचर (Constant), व्यंजक (Expression) और समीकरण (Equation) के अंतर, समीकरण के निर्माण, तराजू के संतुलन नियम (Balance Method), पक्षांतरण विधि (Transposition Method) तथा दैनिक जीवन के व्यावहारिक इबारती प्रश्नों (Word Problems) को चरणबद्ध समीकरण बनाकर हल करने की वैज्ञानिक तकनीकें प्रस्तुत की गई हैं।

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⚖️ क्या आपने कभी सोचा है?

🎯 एक पहेली सोचिए: "मेरे मन में एक संख्या है। यदि मैं इसमें 7 जोड़कर परिणाम को 2 से गुणा करूँ, तो मुझे 30 मिलता है। बताइए मेरे मन में कौन-सी संख्या थी?"

⚖️ किसी सब्ज़ी विक्रेता के दोनों पलड़े बराबर कब होते हैं? यदि एक पलड़े में 2 किलो का बाँट है और दूसरे में 500 ग्राम का एक बाँट तथा आलू की थैली, तो बिना नापे आलू का वज़न कैसे पता चल जाता है?

🔢 जब हम किसी अज्ञात मान को $x$ मान लेते हैं और $2x + 5 = 15$ लिखते हैं, तो यह $x$ केवल एक अक्षर नहीं, बल्कि एक छिपे हुए रहस्यमयी सत्य को उजागर करने की चाबी बन जाता है!

बीजगणित की यही जादुई शक्ति हमें सरल समीकरण (Simple Equations) में मिलती है। यह अध्याय केवल सवालों को हल करना नहीं सिखाता, बल्कि किसी भी अज्ञात समस्या का सटीक और तार्किक समाधान खोजने की वैज्ञानिक सोच विकसित करता है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

इंजीनियरिंग, अंतरिक्ष विज्ञान, वित्तीय लेन-देन, कोडिंग और यहाँ तक कि घर का बजट बनाने में समीकरणों का उपयोग अनिवार्य है। उपग्रह की कक्षा तय करने से लेकर बैंक के लोन की मासिक किस्त (EMI) निकालने तक—हर जगह समीकरण बनाए और हल किए जाते हैं। कक्षा 7 में समीकरण बनाने और हल करने की क्षमता आपके विश्लेषणात्मक मस्तिष्क (Logical Mind) को धार देती है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पूर्णांकों एवं भिन्नों के बुनियादी संक्रिया नियम (जोड़, घटाव, गुणा, भाग)।
बीजगणित के अक्षरों (चर $x, y, z, m, n$) का प्राथमिक ज्ञान।
समानता (Equality) के चिह्न ($=$) का अर्थ।
साधारण अंकगणितीय पहेलियों को उलटा करके हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

चर (Variable) और अचर (Constant) में सुस्पष्ट अंतर बता सकेंगे।
बीजीय व्यंजक (Expression) और समीकरण (Equation) के बीच की अनिवार्यता (समानता का चिह्न $=$) पहचान सकेंगे।
दिए गए कथनों को गणितीय समीकरण में तथा समीकरणों को साधारण भाषा के कथनों में बदल सकेंगे।
संतुलन विधि (Balancing Method) द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों को समान बनाए रखते हुए हल निकाल सकेंगे।
पक्षांतरण विधि (Transposition Method) के चिन्ह-परिवर्तन नियमों को आत्मविश्वास से लागू कर सकेंगे।
कोष्ठक वाले जटिल रैखिक समीकरणों जैसे $a(x + b) = c$ को सरलता से हल कर सकेंगे।
प्राप्त हल का सत्यापन (LHS = RHS की जाँच) कर सकेंगे।
आयु, संख्या, परिमाप एवं मूल्य पर आधारित व्यावहारिक इबारती प्रश्नों का समीकरण बनाकर सटीक उत्तर ज्ञात कर सकेंगे।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. समीकरण की संकल्पना एवं संरचना (C...

2 2. समीकरण हल करने की विधियाँ (Metho...

3 3. कोष्ठक युक्त समीकरणों का समाधान...

4 4. दैनिक जीवन के व्यावहारिक अनुप्रय...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. समीकरण की संकल्पना एवं संरचना (Concept & Anatomy of an Equation)

1. चर, अचर एवं व्यंजक

चर (Variable): वह राशि जिसका मान निश्चित नहीं होता और बदलता रहता है। इसे अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों जैसे $x, y, z, a, b, t$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अचर (Constant): वह राशि जिसका मान सदैव स्थिर और निश्चित होता है (जैसे $4, -7, 10, \frac{3}{5}$)।
बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression): चर और अचर को मूलभूत संक्रियाओं ($+, -, \times, \div$) द्वारा मिलाने पर व्यंजक बनता है, जैसे $4x + 5$ या $2y - 3$। व्यंजक में समानता का चिह्न ($=$) नहीं होता!

2. समीकरण (Equation) क्या है?

समीकरण दो बीजीय व्यंजकों के बीच समानता (Equality) की शर्त है, जिसमें कम से कम एक चर अवश्य होता है:

$$4x + 5 = 65$$ यहाँ बायाँ पक्ष (LHS / Left Hand Side) = $4x + 5$ और दायाँ पक्ष (RHS / Right Hand Side) = $65$ है।

समीकरण का हल (Root / Solution): चर का वह विशिष्ट मान जो समीकरण के दोनों पक्षों (LHS और RHS) को समान बना दे, उस समीकरण का हल कहलाता है।

2. समीकरण हल करने की विधियाँ (Methods of Solving Equations)

1. संतुलन विधि (Balance Scale Method)

एक समीकरण भौतिक तराजू के समान है। यदि दोनों पलड़े संतुलित हैं, तो संतुलन बनाए रखने के लिए:

दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी जा सकती है: यदि $x - 3 = 7$, तो दोनों ओर 3 जोड़ने पर $x = 10$।
दोनों पक्षों में से समान संख्या घटाई जा सकती है: यदि $x + 5 = 12$, तो दोनों ओर से 5 घटाने पर $x = 7$।
दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर (Non-zero) संख्या से गुणा किया जा सकता है: यदि $\frac{x}{4} = 3$, तो दोनों ओर 4 से गुणा करने पर $x = 12$।
दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर संख्या से भाग दिया जा सकता है: यदि $5x = 35$, तो दोनों ओर 5 से भाग देने पर $x = 7$।

2. पक्षांतरण विधि (Transposition Method)

यह संतुलन विधि का ही त्वरित और व्यावहारिक रूप है। किसी पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाने को पक्षांतरण (Transposition) कहते हैं। पक्षांतरण करते समय पद का चिह्न बदल जाता है:

मूल पक्ष में चिह्न / संक्रिया	दूसरे पक्ष में जाने पर रूपांतरण	उदाहरण
धन चिह्न ($+$)	ऋण चिह्न ($-$) बन जाता है	$x + 8 = 15 \implies x = 15 - 8 = 7$
ऋण चिह्न ($-$)	धन चिह्न ($+$) बन जाता है	$x - 6 = 9 \implies x = 9 + 6 = 15$
गुणा ($\times$)	भाग ($\div$) बन जाता है	$3x = 21 \implies x = \frac{21}{3} = 7$
भाग ($\div$)	गुणा ($\times$) बन जाता है	$\frac{x}{5} = 4 \implies x = 4 \times 5 = 20$

3. कोष्ठक युक्त समीकरणों का समाधान (Solving Equations with Brackets)

वितरण नियम एवं कोष्ठक निवारण

जब चर किसी कोष्ठक के अंदर स्थित हो (जैसे $a(x + b) = c$), तो इसे हल करने के दो मुख्य दृष्टिकोण होते हैं:

विधि 1 (वितरण गुण द्वारा कोष्ठक खोलना):
$3(x - 2) = 15 \implies 3x - 6 = 15 \implies 3x = 15 + 6 = 21 \implies x = 7$

विधि 2 (बाह्य गुणांक का पहले ही पक्षांतरण):
$3(x - 2) = 15 \implies x - 2 = \frac{15}{3} = 5 \implies x = 5 + 2 = 7$

समीकरण के हल की जाँच (Verification): चर के प्राप्त मान को मूल समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) में रखने पर यदि वह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर आ जाए, तो हल 100% सही प्रमाणित होता है।

4. दैनिक जीवन के व्यावहारिक अनुप्रयोग एवं इबारती प्रश्न (Word Problems to Equations)

इबारती प्रश्नों को समीकरण में बदलने के 4 स्वर्णिम चरण

अज्ञात राशि की पहचान: प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़कर ज्ञात करें कि क्या पूछा गया है। उस अज्ञात राशि को एक चर (जैसे $x$) मान लें।
शर्तों के अनुसार व्यंजक बनाना: प्रश्न में दी गई जानकारियों को बीजीय पदों में लिखें (जैसे "तीन गुने से 5 अधिक" $\rightarrow 3x + 5$)।
समीकरण स्थापित करना: प्रश्न में दिए गए अंतिम कुल मान के बराबर व्यंजक को रखकर समीकरण ($3x + 5 = 44$) बनाएँ।
समीकरण हल करना एवं उत्तर की पड़ताल: चर का मान ज्ञात करके दिए गए संदर्भ में इकाई सहित अंतिम उत्तर लिखें।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

रैखिक समीकरण का सामान्य रूप

$$ax + b = c \quad (a \neq 0)$$

जहाँ a, b, c अचर हैं और x अज्ञात चर है।

सीधा पक्षांतरण हल सूत्र

$$x = \frac{c - b}{a}$$

ax + b = c का सीधा बीजगणितीय समाधान।

कोष्ठक वितरण नियम सूत्र

a(x + b) = ax + ab

कोष्ठक के बाहर स्थित संख्या का अंदर के प्रत्येक पद से गुणा होता है।

संतुलन का योग-व्यवकलन नियम

$$A = B \iff A \pm k = B \pm k$$

दोनों पक्षों में समान राशि जोड़ने या घटाने पर समानता बनी रहती है।

संतुलन का गुणन-विभाजन नियम

$$A = B \iff A \times k = B \times k, \quad \frac{A}{k} = \frac{B}{k} \; (k \neq 0)$$

शून्येतर संख्या से दोनों पक्षों को गुणा या भाग करने पर समानता अपरिवर्तित रहती है।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

हल कीजिए: $5m + 7 = 27$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: $+7$ को RHS में पक्षांतरित करने पर ($+$ का $-$ बनेगा):
$$5m = 27 - 7$$
$$5m = 20$$
चरण 2: गुणा वाले 5 को RHS में पक्षांतरित करने पर (गुणा का भाग बनेगा):
$$m = \frac{20}{5} = 4$$
जाँच: $\text{LHS} = 5(4) + 7 = 20 + 7 = 27 = \text{RHS}$ (प्रमाणित)।
उत्तर: $m = 4$

उदाहरण 2

हल कीजिए: $4(m + 3) = 18$

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: बाएँ पक्ष के कोष्ठक को खोलें:
$$4m + 12 = 18$$
चरण 2: $+12$ का पक्षांतरण करने पर:
$$4m = 18 - 12$$
$$4m = 6$$
चरण 3: 4 का पक्षांतरण भाग के रूप में करने पर:
$$m = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$
उत्तर: $m = \frac{3}{2}$ या $1.5$

उदाहरण 3

किसी संख्या के तिगुने में 11 जोड़ने पर 32 प्राप्त होता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

मान लीजिए: वह अज्ञात संख्या = $x$
संख्या का तिगुना = $3x$
प्रश्न की शर्त के अनुसार तिगुने में 11 जोड़ने पर 32 प्राप्त होता है:
$$3x + 11 = 32$$
पक्षांतरण करने पर:
$$3x = 32 - 11$$
$$3x = 21$$
$$x = \frac{21}{3} = 7$$
जाँच: $3 \times 7 + 11 = 21 + 11 = 32$ (सत्य)।
उत्तर: अभीष्ट संख्या 7 है।

उदाहरण 4

राजू के पिता की आयु राजू की आयु के तीन गुने से 5 वर्ष अधिक है। यदि पिता की वर्तमान आयु 44 वर्ष है, तो राजू की आयु ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

मान लीजिए: राजू की वर्तमान आयु = $y$ वर्ष
राजू की आयु का 3 गुना = $3y$ वर्ष
पिता की आयु = राजू के 3 गुने से 5 वर्ष अधिक = $3y + 5$ वर्ष
किंतु पिता की आयु 44 वर्ष दी गई है। अतः समीकरण बना:
$$3y + 5 = 44$$
हल:
$$3y = 44 - 5$$
$$3y = 39$$
$$y = \frac{39}{3} = 13$$
अतः राजू की आयु 13 वर्ष है।
उत्तर: राजू की वर्तमान आयु 13 वर्ष है।

उदाहरण 5

एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष कोण (Vertex Angle) आधार कोणों (Base Angles) में से प्रत्येक का दुगुना है। त्रिभुज के तीनों कोणों का मान ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

समद्विबाहु त्रिभुज में दोनों आधार कोण बराबर होते हैं।
मान लीजिए: प्रत्येक आधार कोण = $b^\circ$
शीर्ष कोण आधार कोण का दुगुना है = $2b^\circ$
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है:
$$b + b + 2b = 180^\circ$$
$$4b = 180^\circ$$
$$b = \frac{180}{4} = 45^\circ$$
अतः आधार कोण = $45^\circ, 45^\circ$
शीर्ष कोण = $2 \times 45^\circ = 90^\circ$
उत्तर: कोण $45^\circ, 45^\circ$ और $90^\circ$ हैं।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

पक्षांतरण करते समय पद का चिह्न बदलना भूल जाना (जैसे $x + 5 = 12 \implies x = 12 + 5$ लिख देना)!

सही वैज्ञानिक तथ्य

जब कोई पद बराबर ($=$) के दूसरी ओर जाता है, तो उसका गणितीय चिह्न अनिवार्य रूप से विपरीत हो जाता है ($+$ का $-$, और $-$ का $+$)। अतः $x = 12 - 5 = 7$ होगा।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

कोष्ठक खोलते समय बाहर की संख्या से अंदर के केवल पहले पद को गुणा करना (जैसे $3(x + 4) = 3x + 4$)!

सही वैज्ञानिक तथ्य

वितरण नियम के अनुसार बाहर की संख्या का गुणा कोष्ठक के अंदर उपस्थित प्रत्येक पद से होता है: $3(x + 4) = 3x + 12$।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

गुणा वाले पद का पक्षांतरण करते समय उसका भी चिह्न बदल देना (जैसे $3x = 12 \implies x = 12 - 3$)!

सही वैज्ञानिक तथ्य

$3x$ का अर्थ $3 \times x$ है। यहाँ 3 चर के साथ गुणा में है, जोड़ में नहीं। अतः इसका पक्षांतरण विभाजन ($\div$) के रूप में होगा: $x = 12 / 3 = 4$।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

समीकरण में दो पक्ष (LHS और RHS) होते हैं जिनके बीच समानता का चिह्न ($=$) अनिवार्य है।

मुख्य बिंदु 2

समीकरण में चर का वह मान जो दोनों पक्षों को बराबर कर दे, उसका हल (Solution) कहलाता है।

मुख्य बिंदु 3

समीकरण एक तराजू की भाँति कार्य करता है; दोनों ओर समान संक्रिया करने पर संतुलन नहीं बिगड़ता।

मुख्य बिंदु 4

पक्षांतरण (Transposition) में पद का स्थान बदलने पर उसका चिह्न विपरीत हो जाता है।

मुख्य बिंदु 5

$+$ पद पक्षांतरण के बाद $-$ और $-$ पद $+$ बन जाता है।

मुख्य बिंदु 6

गुणा का संबंध रखने वाला पद पक्षांतरण पर भाग में और भाग वाला पद गुणा में बदल जाता है।

मुख्य बिंदु 7

कोष्ठक वाले समीकरणों में पहले वितरण नियम $a(x + b) = ax + ab$ द्वारा कोष्ठक हटाया जाता है।

मुख्य बिंदु 8

समीकरण के हल की जाँच करने के लिए चर का मान LHS में रखकर RHS के बराबर सिद्ध किया जाता है।

मुख्य बिंदु 9

इबारती प्रश्नों को हल करते समय अज्ञात राशि को चर मानकर चरणबद्ध समीकरण का निर्माण किया जाता है।

मुख्य बिंदु 10

समीकरण गणितीय मॉडलिंग का आधार है जो जटिल वास्तविक समस्याओं को सरल अंकों में बदल देता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

यदि $3x - 5 = 10$ है, तो $x$ का मान क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 5
$3x = 10 + 5 = 15$। अतः $x = 15 / 3 = 5$।

क्या $x = 3$ समीकरण $2x + 1 = 7$ का एक हल है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: हाँ
LHS में $x = 3$ रखने पर: $2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$, जो कि RHS के बराबर है। अतः $x = 3$ सही हल है।

समीकरण $\frac{y}{4} = 8$ में $y$ का मान क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 32
4 हर में है (विभाजन), अतः RHS में जाकर गुणा होगा: $y = 8 \times 4 = 32$।

कथन "संख्या x का एक-चौथाई 7 से 3 अधिक है" को समीकरण रूप में लिखिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\frac{x}{4} - 7 = 3$ (या $\frac{x}{4} = 10$)
संख्या का एक-चौथाई = $\frac{x}{4}$। यह 7 से 3 अधिक है, अतः $\frac{x}{4} - 7 = 3$।

समीकरण $2(x - 3) = 8$ को हल करने पर $x$ का क्या मान आएगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 7
$x - 3 = 8 / 2 = 4$। अतः $x = 4 + 3 = 7$।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स