JCERT · कक्षा 7 · अध्याय 16 · सममिति। आधिकारिक अध्याय के अनुरूप विषय नोट्स; यह सभी पुस्तक प्रश्नों की हल-पुस्तिका नहीं है।
🏛️ दुनिया के सात अजूबों में शामिल आगरा का ताजमहल हमें इतना भव्य, शांत और सुंदर क्यों दिखाई देता है? क्या इसके पीछे उसके दोनों हिस्सों का बिल्कुल आईने जैसा सममित (Symmetric) होना है?
🪭 जब छत का पंखा या पवनचक्की (Windmill) घूमती है, तो वह एक पूरा चक्कर ($360^\circ$) लगाने से पहले ही कई बार बिल्कुल अपनी प्रारंभिक स्थिति जैसी क्यों दिखाई देती है?
🔤 अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर ‘H’, ‘O’ और ‘X’ में ऐसी क्या ख़ास बात है कि उन्हें दर्पण के सामने उलटा रखने पर भी वे बिल्कुल नहीं बदलते?
प्रकृति में तितली के पंखों से लेकर मानव चेहरे और फूलों की पंखुड़ियों तक फैला यह अद्भुत संतुलन हमें सममिति (Symmetry) के सिद्धांतों में मिलता है। यह अध्याय गणित को केवल अंकों का खेल नहीं, बल्कि सौंदर्य की पहचान बना देता है।
स्थापत्य कला (Architecture), कपड़ों पर रंगोली व पैटर्न डिजाइनिंग, कार व हवाई जहाजों की एयरोडायनामिक डिजाइनिंग, और जैविक विज्ञान में जीवों का वर्गीकरण (Bilateral & Radial Symmetry) सममिति पर ही आधारित है। सममित आकृतियों में तनाव और भार समान रूप से बँटता है, जिससे वे अधिक मजबूत और दीर्घजीवी होती हैं।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 7 · अध्याय 16 — सममिति
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 225–235. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (22 अध्याय) · अलग सहायक संदर्भ पुस्तक.
विषय नोट्स और उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; इन्हें पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल न मानें। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम के हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
परावर्तन सममिति में सममित रेखा के दोनों ओर आकृति का दर्पण प्रतिबिंब मिलता है। घूर्णन सममिति का क्रम एक पूर्ण चक्कर में समान स्थिति मिलने की संख्या है। समबहुभुज में जितनी भुजाएँ, उतनी सममित रेखाएँ और उतना घूर्णन क्रम होता है।
दो विकर्ण और विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं से गुजरती दो रेखाएँ।
यदि किसी आकृति को एक सीधी रेखा के अनुदिश मोड़ने पर उसका एक आधा भाग दूसरे आधे भाग को पूर्णतया ढक ले, तो वह आकृति रैखिक सममित कहलाती है। उस रेखा को सममिति रेखा (Line of Symmetry / Axis of Symmetry) कहते हैं।
नियमित बहुभुज (Regular Polygon) वह समतलीय आकृति है जिसकी सभी भुजाएं समान लंबाई की तथा सभी कोण समान माप के होते हैं।
| आकृति | भुजाओं की संख्या | सममिति रेखाओं की संख्या | प्रकार / दिशाएं |
|---|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) | 3 | 3 | तीनों शीर्षों से सम्मुख भुजाओं के लंब |
| वर्ग (Square) | 4 | 4 | 2 भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से + 2 विकर्ण |
| नियमित पंचभुज (Regular Pentagon) | 5 | 5 | प्रत्येक शीर्ष से सम्मुख भुजा पर |
| नियमित षड्भुज (Regular Hexagon) | 6 | 6 | 3 विकर्ण + 3 भुजाओं के लंब-समद्विभाजक |
| आयत (Rectangle - नियमित नहीं) | 4 | 2 | केवल 2 (भुजाओं के लंबवत; विकर्ण सममिति रेखा नहीं होते!) |
| वृत्त (Circle) | - | अनंत (असीमित) | केंद्र से होकर गुजरने वाला प्रत्येक व्यास |
जब किसी आकृति को उसके किसी स्थिर बिंदु के चारों ओर घुमाया जाता है और $360^\circ$ के एक पूरे चक्र के दौरान वह एक से अधिक बार अपनी प्रारंभिक स्थिति के बिल्कुल समरूप (Identical) दिखाई दे, तो उस आकृति में घूर्णन सममिति होती है।
| आकृति | घूर्णन का केंद्र | घूर्णन का कोण | घूर्णन का क्रम (Order) |
|---|---|---|---|
| वर्ग (Square) | विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु | $90^\circ$ | 4 ($360^\circ / 90^\circ$) |
| आयत (Rectangle) | विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु | $180^\circ$ | 2 ($360^\circ / 180^\circ$) |
| समबाहु त्रिभुज | माध्यिकाओं का संगम (केंद्रक) | $120^\circ$ | 3 ($360^\circ / 120^\circ$) |
| समचतुर्भुज (Rhombus) | विकर्णों का प्रतिच्छेद बिंदु | $180^\circ$ | 2 |
| वृत्त (Circle) | वृत्त का केंद्र | प्रत्येक कोण पर | अनंत (Infinite) |
विशेष नियम: प्रत्येक आकृति में क्रम 1 की घूर्णन सममिति तो स्वयं ही होती है ($360^\circ$ पर प्रत्येक आकृति मूल जैसी ही दिखती है), अतः घूर्णन सममिति केवल तभी मानी जाती है जब उसका क्रम 1 से अधिक ($> 1$) हो।
कुछ आकृतियों में रैखिक सममिति रेखाएं भी होती हैं और उनका घूर्णन क्रम भी 1 से अधिक होता है (जैसे समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समषड्भुज, वृत्त)।
| सममिति का प्रकार | अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर |
|---|---|
| केवल ऊर्ध्वाधर (Vertical) रैखिक सममिति | A, M, T, U, V, W, Y |
| केवल क्षैतिज (Horizontal) रैखिक सममिति | B, C, D, E, K |
| क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर दोनों रैखिक सममिति | H, I, X, O |
| घूर्णन सममिति (क्रम 2) किंतु कोई रैखिक सममिति नहीं | N, S, Z |
| रैखिक एवं घूर्णन दोनों सममिति (क्रम 2 या अधिक) | H, I, O, X |
4 lines; order 4; 360° ÷ 4 = 90°
दो विकर्ण और विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं से गुजरती दो रेखाएँ।
(i) समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle):
- सममिति रेखाओं की संख्या = 3 (तीनों शीर्षों से खींचे गए लंब)
- घूर्णन का कोण = $360^\circ / 3 = 120^\circ$
- घूर्णन सममिति का क्रम = 3
(ii) आयत (Rectangle):
- सममिति रेखाओं की संख्या = 2 (भुजाओं के लंब-समद्विभाजक; विकर्ण नहीं होते)
- घूर्णन का कोण = $180^\circ$
- घूर्णन सममिति का क्रम = $360^\circ / 180^\circ = \mathbf{2}$
उत्तर: समबाहु त्रिभुज: 3 रेखाएँ, क्रम 3; आयत: 2 रेखाएँ, क्रम 2।
नियमित षड्भुज में 6 समान भुजाएं होती हैं ($n = 6$):
- सममिति रेखाओं की संख्या = $n = \mathbf{6}$
- घूर्णन का केंद्र = षड्भुज का ज्यामितीय केंद्र (विकर्णों का संगम)
- घूर्णन का कोण = $360^\circ / 6 = \mathbf{60^\circ}$
- घूर्णन सममिति का क्रम = $\mathbf{6}$
उत्तर: रेखाएँ = 6, कोण = $60^\circ$, क्रम = 6।
समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):
- इसमें असमान भुजा के मध्य-बिंदु से शीर्ष को मिलाने वाली 1 रैखिक सममिति रेखा होती है।
- किंतु इसे घुमाने पर यह केवल $360^\circ$ के पूरे चक्कर पर ही मूल स्थिति में आता है, अतः इसमें क्रम 1 से अधिक की घूर्णन सममिति नहीं होती।
उत्तर: समद्विबाहु त्रिभुज या पतंग (Kite)।
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