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झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 7
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

गुणनखंडन

JCERT · कक्षा 8 · अध्याय 7 · गुणनखंडन। पाठ्यक्रम से मिलते विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण; पुस्तक के हर प्रश्न का पूर्ण हल नहीं।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें JCERT अध्याय PDF (हिन्दी)
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ हल उदाहरण सामान्य गलतियाँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

🧩 x² + 5x + 6 को देखकर आप सीधे (x + 2)(x + 3) कैसे लिख सकते हैं?

क्या आपने कभी सोचा है कि जब हम किसी जटिल मशीन को खोलते हैं, तो उसके छोटे-छोटे पुर्जे अलग हो जाते हैं; ठीक उसी तरह किसी विशाल बीजीय व्यंजक को उसके मूल अविभाज्य पुर्जों (गुणनखंडों) में तोड़ना ही गुणनखंडन कहलाता है! यदि आपको (49p² - 36) को सरल करना हो, तो केवल एक सेकंड में आप (7p + 6)(7p - 6) कैसे बता सकते हैं? और 2x + 4 को 2 से भाग देने पर उत्तर (x + 4) होगा या (x + 2)? कक्षा 9 व 10 के बोर्ड एग्जाम में 80% बीजगणित इसी अध्याय पर टिका है। आइए, गुणनखंडन की इस कला में महारत हासिल करें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

द्विघात समीकरणों को हल करने, परिमेय व्यंजकों के सरलीकरण, उच्च गणित में अवकलन-समाकलन, कंप्यूटर क्रिप्टोग्राफी (RSA एन्क्रिप्शन) तथा प्रतियोगी परीक्षाओं में गुणनखंडन की तकनीकों का सर्वाधिक प्रयोग होता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • प्राकृत संख्याओं के महत्तम समापवर्तक (HCF) एवं अभाज्य गुणनखंडन।
  • बीजीय व्यंजकों के पद, गुणांक और समान पदों की पहचान।
  • चारों मानक सर्वसमिकाओं का ज्ञान।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • अविभाज्य गुणनखंडों (Irreducible Factors) की पहचान और सार्व गुणनखंड विधि से व्यंजकों का गुणनखंडन कर सकेंगे।
  • चार पदों वाले व्यंजकों का पुनः समूहन (Regrouping) करके उभयनिष्ठ गुणनखंड निकाल सकेंगे।
  • वर्गों के अंतर (a² - b²) तथा पूर्ण वर्ग सर्वसमिकाओं द्वारा तुरंत गुणनखंड प्राप्त कर सकेंगे।
  • मध्य पद को दो भागों में तोड़कर (Splitting the Middle Term) द्विघात त्रिपदियों का गुणनखंडन कर सकेंगे।
  • बहुपदों का एकपदी अथवा द्विपदी से सही विभाजन कर सकेंगे।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 पाठ्यक्रम, पुस्तक और नोट्स का मिलान
2 अवधारणा और विधि
3 जाँच और सावधानी
4 1. गुणनखंडन क्या है एवं सार्व गुणनख...
5 2. पदों के पुनः समूहन द्वारा गुणनखं...
6 3. सर्वसमिकाओं के प्रयोग द्वारा गुण...
7 4. बीजीय व्यंजकों का विभाजन एवं गणि...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

पाठ्यक्रम, पुस्तक और नोट्स का मिलान

JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 7 — गुणनखंडन
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 111–121. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).

विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; ये पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल नहीं हैं। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम में हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।

इसी अध्याय की आधिकारिक हिन्दी PDF

अवधारणा और विधि

गुणनखंडन व्यंजक को गुणनफल के रूप में लिखना है। पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड देखें, फिर समूह या सर्वसमिका का उपयोग करें। बहुपद को एकपद या बहुपद से भाग देते समय भाजक अशून्य हो; केवल पूरे गुणनखंड काटें, जोड़ के अलग पद नहीं।

जाँच और सावधानी

सरलीकरण के बाद भी मूल भाजक की शर्त x≠3 रहती है।

1. गुणनखंडन क्या है एवं सार्व गुणनखंड विधि

जब हम किसी बीजीय व्यंजक का गुणनखंडन करते हैं, तो हम उसे गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। ये गुणनखंड संख्याएँ, बीजीय चर अथवा बीजीय व्यंजक हो सकते हैं। ऐसा गुणनखंड जिसका पुनः आगे गुणनखंड न किया जा सके, अविभाज्य गुणनखंड (Irreducible Factor) कहलाता है।

सार्व गुणनखंड विधि (Method of Common Factors):

इस विधि में व्यंजक के प्रत्येक पद के अविभाज्य गुणनखंड लिखे जाते हैं और जो गुणनखंड सभी पदों में उभयनिष्ठ (Common) होते हैं, उन्हें कोष्ठक के बाहर निकाल लिया जाता है (वितरण नियम का व्युत्क्रम: $ab + ac = a(b + c)$)।

उदाहरण:

व्यंजक $12a^2b + 15ab^2$ का गुणनखंडन:

  • $12a^2b = 2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$
  • $15ab^2 = 3 \times 5 \times a \times b \times b$
  • उभयनिष्ठ सार्व गुणनखंड = $3 \times a \times b = 3ab$
  • बाहर निकालने पर: $12a^2b + 15ab^2 = 3ab(4a + 5b)$।

2. पदों के पुनः समूहन द्वारा गुणनखंडन (Regrouping Terms)

कभी-कभी दिए गए व्यंजक के सभी पदों में कोई भी गुणनखंड उभयनिष्ठ नहीं होता। ऐसे में हम पदों को इस प्रकार दो-दो के समूहों में पुनर्व्यवस्थित करते हैं कि प्रत्येक समूह में एक सार्व गुणनखंड मिल सके, और फिर पूरे व्यंजक में एक उभयनिष्ठ द्विपद गुणनखंड बाहर आ जाए।

उदाहरण: $2xy + 3 + 2y + 3x$ का गुणनखंडन:

  1. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy + 2y + 3x + 3$
  2. प्रथम दो पदों और अंतिम दो पदों का समूहन: $(2xy + 2y) + (3x + 3)$
  3. उभयनिष्ठ बाहर निकालने पर: $2y(x + 1) + 3(x + 1)$
  4. द्विपद $(x + 1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x + 1)(2y + 3)$।

3. सर्वसमिकाओं के प्रयोग द्वारा गुणनखंडन एवं मध्य पद विभाजन

A. सर्वसमिकाओं द्वारा गुणनखंडन:

1. रूप $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: जैसे $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = (x + 4)^2$।
2. रूप $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: जैसे $4y^2 - 12y + 9 = (2y)^2 - 2(2y)(3) + 3^2 = (2y - 3)^2$।
3. वर्गों का अंतर $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$: जैसे $49p^2 - 36 = (7p)^2 - (6)^2 = (7p + 6)(7p - 6)$।

B. मध्य पद को विभक्त करना (Splitting the Middle Term):

द्विघात त्रिपदी $x^2 + px + q$ का गुणनखंडन करने के लिए हम दो ऐसी संख्याएँ $a$ और $b$ ढूँढते हैं जिनका:

  • योगফল: $a + b = p$ (मध्य पद का गुणांक)
  • गुणनफल: $ab = q$ (अचर पद)
  • तब: $x^2 + px + q = x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$।

4. बीजीय व्यंजकों का विभाजन एवं गणितीय त्रुटियाँ

A. बीजीय विभाजन (Division of Algebraic Expressions):

  • एकपदी का एकपदी से भाग: अंश और हर के अविभाज्य गुणनखंड लिखकर सार्व गुणनखंडों को काट दिया जाता है। যেমন: $\frac{-20x^4}{10x^2} = -2x^2$।
  • बहुपद का एकपदी से भाग: अंश के प्रत्येक पद को हर के एकपदी से अलग-अलग भाग दिया जाता है: $\frac{4x^3 - 6x^2}{2x} = \frac{4x^3}{2x} - \frac{6x^2}{2x} = 2x^2 - 3x$।
  • बहुपद का बहुपद से भाग: पहले अंश के व्यंजक का संपूर्ण गुणनखंडन किया जाता है, फिर हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड को काटा जाता है।

B. सामान्य परीक्षा त्रुटियाँ:

गलत: $\frac{3x + 2}{3} = x + 2$ (केवल 3x को 3 से काटना)।
सही: $\frac{3x + 2}{3} = \frac{3x}{3} + \frac{2}{3} = x + \frac{2}{3}$।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

सार्व गुणनखंड वितरण नियम
ab + ac = a(b + c)
उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालकर कोष्ठक में शेष पद लिखे जाते हैं।
पूर्ण वर्ग त्रिपदी सर्वसमिकाएँ
a² + 2ab + b² = (a + b)² तथा a² - 2ab + b² = (a - b)²
यदि प्रथम व अंतिम पद पूर्ण वर्ग हों और मध्य पद 2ab हो।
वर्गों का अंतर सूत्र
a² - b² = (a + b)(a - b)
दो पूर्ण वर्गों के अंतर का गुणनखंडन दोनों के योग और अंतर का गुणनफल होता है।
मध्य पद विभाजन सूत्र
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
जहाँ दो संख्याओं का योग मध्य पद और गुणनफल अचर पद के बराबर होता है।
बीजीय विभाजन नियम
(A + B) / C = (A / C) + (B / C)
हर प्रत्येक अंश पद को अलग-अलग विभाजित करता है।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1
6x²+9x का गुणनखंडन करें और (x²−9)/(x−3) सरल करें।
विस्तृत समाधान / उत्तर:

6x²+9x=3x(2x+3); (x²−9)/(x−3)=x+3, x≠3

सरलीकरण के बाद भी मूल भाजक की शर्त x≠3 रहती है।

उदाहरण 2
गुणनखंडन कीजिए: 7x - 42.
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nप्रत्येक पद के गुणनखंड लिखने पर:\n7x = 7 × x\n42 = 7 × 6\n\nदोनों पदों में 7 उभयनिष्ठ (सार्व गुणनखंड) है:\n7x - 42 = 7(x - 6)\n\nउत्तर: 7(x - 6).
उदाहरण 3
गुणनखंडन कीजिए: 6xy - 4y + 6 - 9x.
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nपदों का पुनः समूहन करने पर:\n= (6xy - 4y) - (9x - 6)\n\nप्रथम कोष्ठक से 2y तथा द्वितीय कोष्ठक से 3 उभयनिष्ठ लेने पर:\n= 2y(3x - 2) - 3(3x - 2)\n\nद्विपद (3x - 2) को सार्व गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर:\n= (3x - 2)(2y - 3)\n\nउत्तर: (3x - 2)(2y - 3).
उदाहरण 4
गुणनखंडन कीजिए: 49x² - 36.
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nव्यंजक को दो वर्गों के अंतर के रूप में लिखने पर:\n49x² = (7x)²\n36 = (6)²\n\nअतः 49x² - 36 = (7x)² - (6)²\nसर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का प्रयोग करने पर (जहाँ a = 7x, b = 6):\n= (7x + 6)(7x - 6)\n\nउत्तर: (7x + 6)(7x - 6).
उदाहरण 5
मध्य पद विभक्त करके गुणनखंडन कीजिए: y² - 7y + 12.
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nयहाँ हमें ऐसी दो संख्याएँ a और b ज्ञात करनी हैं जिनका:\nगुणनफल = 12 तथा योग = -7\n\nऐसी दो संख्याएँ -3 और -4 हैं (क्योंकि (-3) × (-4) = +12 तथा (-3) + (-4) = -7).\nमध्य पद -7y को -3y - 4y के रूप में लिखने पर:\ny² - 7y + 12 = y² - 3y - 4y + 12\n= y(y - 3) - 4(y - 3)\n= (y - 3)(y - 4)\n\nउत्तर: (y - 3)(y - 4).
उदाहरण 6
विभाजन कीजिए: (y² + 7y + 10) ÷ (y + 5).
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nपहले अंश y² + 7y + 10 का गुणनखंडन करेंगे:\nदो संख्याएँ जिनका गुणा 10 और जोड़ 7 हो: 2 और 5 हैं।\ny² + 7y + 10 = y² + 5y + 2y + 10 = y(y + 5) + 2(y + 5) = (y + 5)(y + 2)\n\nअब विभाजन करने पर:\n$$\frac{y^2 + 7y + 10}{y + 5} = \frac{(y + 5)(y + 2)}{(y + 5)}$$\n\nउभयनिष्ठ गुणनखंड (y + 5) को काटने पर:\n= y + 2\n\nउत्तर: भागफल y + 2 है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अंश के किसी एक पद को हर से काट देना, जैसे (2x + 4)/2 = x + 4 लिख देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

हर पूरे अंश को विभाजित करता है: (2x + 4)/2 = 2(x + 2)/2 = x + 2।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

a² - b² का सूत्र लगाते समय (a - b)² लिख देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

a² - b² = (a + b)(a - b) होता है, जबकि (a - b)² = a² - 2ab + b² होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

माइनस चिह्न उभयनिष्ठ लेते समय अंदर के पदों के चिह्न न बदलना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

-3 उभयनिष्ठ लेने पर अंदर (3x - 2) बनेगा, न कि (3x + 2)।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

गुणनखंडन (Factorisation): विधियाँ एवं बीजगणितीय संरचना A. गुणनखंडन की 4 प्रमुख विधियाँ 1. सार्व गुणनखंड विधि (Common Factors) 2x + 4 = 2(x + 2) 2. पुनः समूहन विधि (Regrouping) ax + bx + ay + by = (x + y)(a + b) 3. सर्वसमिकाओं द्वारा (Identities) a² − b² = (a + b)(a − b) 4. मध्य पद विभाजन (Splitting Middle Term) x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) B. मध्य पद विभाजन: x² + (a+b)x + ab x² + 7x + 12 दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका: जोड़ = 7 तथा गुणा = 12 ⇒ (3 और 4) = x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
  1. किसी बीजीय व्यंजक को अविभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखना गुणनखंडन कहलाता है।
मुख्य बिंदु 2
  1. सार्व गुणनखंड विधि में सभी पदों के उभयनिष्ठ गुणनखंडों को कोष्ठक के बाहर निकाला जाता है।
मुख्य बिंदु 3
  1. जब सभी पदों में कोई गुणनखंड सार्व न हो, तो पदों का पुनः समूहन (Regrouping) करके गुणनखंड किया जाता है।
मुख्य बिंदु 4
  1. पूर्ण वर्ग त्रिपदी सर्वसमिकाएँ: a² + 2ab + b² = (a + b)² तथा a² - 2ab + b² = (a - b)²।
मुख्य बिंदु 5
  1. दो वर्गों के अंतर का गुणनखंडन: a² - b² = (a + b)(a - b) होता है।
मुख्य बिंदु 6
  1. रूप x² + px + q का गुणनखंडन मध्य पद को दो ऐसी संख्याओं (a, b) में तोड़कर किया जाता है जिनका योग p और गुणन q हो।
मुख्य बिंदु 7
  1. एकपदी से एकपदी का भाग उनके अविभाज्य गुणनखंड लिखकर सार्व गुणनखंडों को काटकर किया जाता है।
मुख्य बिंदु 8
  1. बहुपद को एकपदी से भाग देने पर अंश के प्रत्येक पद को हर से अलग-अलग विभाजित किया जाता है।
मुख्य बिंदु 9
  1. बहुपद को बहुपद से भाग देने के लिए पहले अंश का गुणनखंडन करते हैं, फिर उभयनिष्ठ द्विपद को काटते हैं।
मुख्य बिंदु 10
  1. गणितीय संक्रियाओं में (2x+4)/2 = x+2 होता है, न कि x+4; यह एक सामान्य परीक्षा त्रुटि है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
व्यंजक 6x²y + 9xy² का सार्व गुणनखंड (HCF) क्या है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 3xy
6 और 9 का म.स. 3 है तथा x²y व xy² में उभयनिष्ठ xy है।
2
25x² - 49 का गुणनखंडन क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: (5x + 7)(5x - 7)
सूत्र a² - b² = (a + b)(a - b) से: (5x)² - 7² = (5x + 7)(5x - 7)।
3
x² + 5x + 6 का गुणनखंडन क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: (x + 2)(x + 3)
मध्य पद विभाजन: 2 + 3 = 5 तथा 2 × 3 = 6।
4
विभाजन कीजिए: (4x² - 2x) ÷ 2x.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 2x - 1
4x²/2x - 2x/2x = 2x - 1।
5
a² + 6a + 9 किस सर्वसमिका का पूर्ण वर्ग है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: (a + 3)²
a² + 2(a)(3) + 3² = (a + 3)²।
अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?
अभ्यास के लिए तैयार?

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फाउंडेशन टेस्ट
15 MCQs • मूल अवधारणाएँ
एडवांस्ड टेस्ट
15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स

कक्षा 8 Mathematics के सभी अध्याय

अध्याय 1: परिमेय संख्याएँ अध्याय 2: वर्ग और वर्गमूल अध्याय 3: घन और घनमूल अध्याय 4: घातांक और घात अध्याय 5: संख्याओं के साथ खेलना अध्याय 6: बीजीय व्यंजक और सर्वसमिकाएँ अध्याय 7: गुणनखंडन अध्याय 8: एक चर वाले रैखिक समीकरण अध्याय 9: राशियों की तुलना अध्याय 10: सीधा और प्रतिलोम समानुपात अध्याय 11: चतुर्भुजों को समझना अध्याय 12: ठोस आकारों का चित्रण अध्याय 13: प्रायोगिक ज्यामिति अध्याय 14: द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल अध्याय 15: त्रिविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल एवं आयतन अध्याय 16: आँकड़ों का प्रबंधन अध्याय 17: ग्राफों से परिचय

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