घन और घनमूल

JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 3 — घन और घनमूल
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 63–77. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).

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घन a³ में a को तीन बार गुणा करते हैं। पूर्ण घनों के अभाज्य गुणनखंडों को तीन-तीन के समूह में बाँटकर घनमूल निकालें। ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक और उसका वास्तविक घनमूल भी ऋणात्मक है। दशमलव और परिमेय संख्याओं के घनमूल में अंश और हर को अलग देखें।

(−12)³=−1728 तथा (3/4)³=27/64 से जाँचें।

यदि किसी प्राकृत संख्या $m$ को $n^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सके ($m = n \times n \times n$), तो $m$ को एक पूर्ण घन संख्या (Perfect Cube) कहते हैं।

घन संख्याओं के प्रमुख गुणधर्म:

• सम व विषम संख्याओं के घन: सम प्राकृत संख्या का घन सदैव सम होता है (जैसे $4^3 = 64, 8^3 = 512$), तथा विषम प्राकृत संख्या का घन सदैव विषम होता है (जैसे $3^3 = 27, 7^3 = 343$)।
• इकाई अंक का परस्पर संबंध:
  • जिन संख्याओं के अंत में 0, 1, 4, 5, 6, 9 आता है, उनके घनों के अंत में भी क्रमशः वही अंक (0, 1, 4, 5, 6, 9) ही आता है।
  • जिन संख्याओं के अंत में 2 आता है, उनके घन के अंत में 8 आता है (जैसे $2^3 = 8, 12^3 = 1728$); तथा अंत में 8 आने पर घन के अंत में 2 आता है ($8^3 = 512$)।
  • जिन संख्याओं के अंत में 3 आता है, उनके घन के अंत में 7 आता है ($3^3 = 27$); तथा अंत में 7 आने पर घन के अंत में 3 आता है ($7^3 = 343$)। (2 ↔ 8 तथा 3 ↔ 7 एक-दूसरे के पूरक हैं, योग = 10)।
• शून्यों की संख्या: पूर्ण घन संख्या के अंत में शून्यों की संख्या सदैव 3 का गुणज (Multiple of 3: जैसे 3, 6, 9 शून्य) होती है (जैसे 1000, 8000, 27000000)।

A. हार्डी-रामानुजन संख्याएँ (Taxicab Numbers):

संख्या 1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या कहा जाता है क्योंकि यह सबसे छोटी ऐसी संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:

ऐसी अन्य संख्याएँ: $4104 = 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3$; $13832 = 18^3 + 20^3 = 2^3 + 24^3$ आदि।

B. क्रमागत विषम संख्याओं का योग प्रतिरूप:

किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के घन को $n$ क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

• $1^3 = 1$ (1 विषम संख्या)
• $2^3 = 3 + 5 = 8$ (अगली 2 विषम संख्याएँ)
• $3^3 = 7 + 9 + 11 = 27$ (अगली 3 विषम संख्याएँ)
• $4^3 = 13 + 15 + 17 + 19 = 64$ (अगली 4 विषम संख्याएँ)
• $5^3 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125$ (अगली 5 विषम संख्याएँ)

घनमूल, घन करने की संक्रिया का प्रतिलोम (Inverse) है। यदि $a^3 = b$ हो, तो $b$ का घनमूल $a$ होता है, जिसे संकेत $\sqrt[3]{b} = a$ द्वारा दर्शाया जाता है।

पूर्ण घन बनाने हेतु न्यूनतम गुणा या भाग:

• यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में कोई गुणनखंड त्रिक बनाने से कम रह जाता है (जैसे केवल 2 बार आया हो), तो उसे पूर्ण घन बनाने के लिए उस गुणनखंड की जितनी कमी है, उससे गुणा करना होगा।
• यदि उसे भाग देकर पूर्ण घन बनाना हो, तो जो अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड त्रिक नहीं बना पा रहे हैं, उनके गुणनफल से पूरी संख्या को भाग दिया जाता है।

यदि कोई बड़ी संख्या पहले से ही पूर्ण घन हो (जैसे 6 अंकों तक की संख्या), तो बिना लंबे अभाज्य गुणनखंडन के केवल आकलन (Estimation) द्वारा 5 सेकंड में उसका घनमूल निकाला जा सकता है:

आकलन विधि के चरण (उदाहरण: 857375 का घनमूल):

1. समूह बनाना (Grouping from Right): दी गई संख्या के इकाई अंक से प्रारंभ करके दाईं ओर से तीन-तीन अंकों के समूह (Groups) बनाते हैं:

   पहला समूह (इकाई वाला) = 375 | दूसरा समूह = 857

2. इकाई अंक का निर्धारण (प्रथम समूह से):

   प्रथम समूह 375 का इकाई अंक 5 है। हम जानते हैं कि 5 का घन करने पर ही इकाई अंक 5 आता है ($5^3 = 125$)। अतः घनमूल का इकाई अंक 5 होगा।

3. दहाई अंक का निर्धारण (दूसरे समूह से):

   दूसरा समूह 857 है। अब हम देखते हैं कि 857 किन दो घनों के बीच स्थित है: $$9^3 = 729 \quad \text{तथा} \quad 10^3 = 1000$$ चूँकि $729 \le 857 < 1000$, हम छोटी संख्या का आधार (अर्थात 9) चुनते हैं। अतः घनमूल का दहाई अंक 9 होगा।

4. अंतिम परिणाम: दोनों अंकों को मिलाने पर: $\sqrt[3]{857375} = 95$।