JCERT · कक्षा 8 · अध्याय 2 · वर्ग और वर्गमूल। पाठ्यक्रम से मिलते विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण; पुस्तक के हर प्रश्न का पूर्ण हल नहीं।
झारखण्ड के वास्तुशिल्प, भूमि मापन (प्लॉट का क्षेत्रफल), निर्माण इंजीनियरिंग, पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोगों, भौतिकी के गति समीकरणों ($v^2 = u^2 + 2as$) तथा प्रतियोगी परीक्षाओं में वर्ग और वर्गमूल का ज्ञान अत्यंत आवश्यक है। यह अध्याय कक्षा 9 और 10 के द्विघात समीकरणों और त्रिकोणमिति का अनिवार्य आधार है।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 2 — वर्ग और वर्गमूल
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 34–62. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).
विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; ये पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल नहीं हैं। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम में हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
किसी संख्या का वर्ग उसका स्वयं से गुणन है। पूर्ण वर्गों के प्रतिरूप, लगातार विषम संख्याओं का योग और पाइथागोरस त्रिक समझें। वर्गमूल घटाने, अभाज्य गुणनखंडन और भाग विधि से निकाल सकते हैं। दशमलव तथा भिन्न के वर्गमूल में स्थान और चिह्न का ध्यान रखें।
0.09²=0.0081 से जाँचें। मुख्य वर्गमूल अशून्य धनात्मक संख्या के लिए धनात्मक होता है।
यदि किसी प्राकृत संख्या $m$ को $n^2$ के रूप में व्यक्त किया जा सके (जहाँ $n$ भी एक प्राकृत संख्या है), तो $m$ को एक वर्ग संख्या (Square Number) या पूर्ण वर्ग (Perfect Square) कहते हैं।
| संख्या ($n$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| वर्ग ($n^2$) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
नियम: जिस संख्या के अंत में 2, 3, 7 या 8 आता है, वह कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती (जैसे 1057, 23453, 7928 पूर्ण वर्ग नहीं हैं)।
उदाहरण: $12^2 = 144$ और $13^2 = 169$ के बीच प्राकृत संख्याओं की संख्या $= 2 \times 12 = 24$ होगी।
तीन धनात्मक प्राकृत संख्याओं $a, b, c$ का ऐसा समूह जिसमें दो संख्याओं के वर्गों का योग तीसरी संख्या के वर्ग के बराबर हो ($a^2 + b^2 = c^2$), पाइथागोरस त्रिक कहलाता है (जैसे 3, 4, 5 क्योंकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$)।
पाइथागोरस त्रिक का व्यापक रूप:
किसी भी प्राकृत संख्या $m > 1$ के लिए: $$2m, \quad m^2 - 1, \quad m^2 + 1$$ सदैव एक पाइथागोरस त्रिक बनाते हैं।
सत्यापन: $(2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = 4m^2 + m^4 - 2m^2 + 1 = m^4 + 2m^2 + 1 = (m^2 + 1)^2$।
वर्गमूल, वर्ग करने की संक्रिया का प्रतिलोम (Inverse Operation) है। यदि $a^2 = b$ हो, तो $b$ का वर्गमूल $a$ होता है, जिसे $\sqrt{b} = a$ लिखते हैं (जैसे $\sqrt{81} = 9$ क्योंकि $9^2 = 81$)।
दी गई संख्या में से क्रमशः विषम संख्याओं (1, 3, 5, 7, 9...) को तब तक घटाते हैं जब तक कि शेषफल 0 न आ जाए। घटाने के चरणों (Steps) की कुल संख्या ही अभीष्ट वर्गमूल होती है।
उदाहरण: $\sqrt{25}$ के लिए: 25 - 1 = 24 (1), 24 - 3 = 21 (2), 21 - 5 = 16 (3), 16 - 7 = 9 (4), 9 - 9 = 0 (5)। कुल 5 चरण हुए, अतः $\sqrt{25} = 5$।
दी गई संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए। समान अभाज्य गुणनखंडों के दो-दो के जोड़े (Pairs) बनाइए। प्रत्येक जोड़े में से एक-एक गुणनखंड लेकर उनका गुणनफल निकालिए। वही अभीष्ट वर्गमूल होगा।
उदाहरण: 6400 = $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 = (2^2) \times (2^2) \times (2^2) \times (2^2) \times (5^2)$। $\sqrt{6400} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 80$।
बड़ी संख्याओं और दशमलव संख्याओं के लिए यह सर्वाधिक शक्तिशाली विधि है:
दी गई संख्या का भाग विधि से वर्गमूल निकालते हैं। जो शेषफल (Remainder) बचता है, वही घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या होती है।
संख्या में से शेषफल घटाने पर प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग बन जाती है।
यदि भागफल $k$ आता है, तो दी गई संख्या $k^2$ और $(k + 1)^2$ के बीच स्थित होती है।
जोड़ी जाने वाली संख्या = $(k + 1)^2 - \text{दी गई संख्या}$
1225=5²×7²; √1225=35; √0.0081=0.09
0.09²=0.0081 से जाँचें। मुख्य वर्गमूल अशून्य धनात्मक संख्या के लिए धनात्मक होता है।
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