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JAC • Class 8 • Mathematics • Ch 2

Estimated Time: 45 Mins

Study Progress: In Progress

Linear Equations in One Variable

झारखण्ड शैक्षणिक परिषद् (JAC) एवं NCERT पाठ्यक्रम पर आधारित कक्षा 8 गणित का दूसरा अध्याय "एक चर वाले रैखिक समीकरण" (Linear Equations in One Variable) बीजगणित का सबसे व्यावहारिक एवं समस्या-समाधान का केंद्रीय अध्याय है। एक ऐसा बीजीय समीकरण जिसमें केवल एक चर हो और उस चर की अधिकतम घात 1 हो, एक चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है (जैसे ax + b = 0 या ax + b = cx + d)। इस अध्याय में समीकरण की समता (संतुलन/तराजू की अवधारणा), पक्षांतरण विधि (Transposition Method), दोनों पक्षों में चर वाले समीकरणों को हल करना, कोष्ठकों व भिन्नों को सरल करना, वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) विधि द्वारा रैखिक रूप में बदलना तथा दैनिक जीवन की व्यावहारिक समस्याओं (आयु, संख्या, ज्यामिति, मुद्रा/नोट, चाल-दूरी-समय) को बीजीय समीकरणों में रूपांतरित कर हल करने का सर्वांगीण वैज्ञानिक विवेचन किया गया है।

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Overview Core Concepts Formulas & Identities Solved Examples Common Traps Summary Self Check Take MCQ Test

⚖️ राहुल की वर्तमान आयु उसके पिता की आयु की एक-तिहाई है—12 वर्ष बाद दोनों की आयु क्या होगी?

क्या आपने कभी गौर किया है कि एक दुकानदार तराजू के एक पलड़े पर 5 किलो का बाँट रखता है और दूसरे पलड़े पर 2 किलो का बाँट तथा एक अज्ञात भार वाला दाल का पैकेट रखता है, और दोनों पलड़े बराबर हो जाते हैं? आप तुरंत समझ जाते हैं कि दाल का पैकेट 3 किलो का है! गणित में इसी तराजू के संतुलन को "समीकरण" कहते हैं। एक अज्ञात राशि "x" मानकर आप पहेलियों, बैंक के लेन-देन, उम्र के सवालों और रेलगाड़ी की चाल का सटीक उत्तर मिनटों में कैसे निकाल सकते हैं? आइए, बीजीय समीकरणों की इस शक्तिशाली कुंजी से गणित के सारे ताले खोलना सीखें!

Why This Chapter Matters

एक चर वाले रैखिक समीकरण न केवल प्रतियोगी परीक्षाओं (NTSE, ओलंपियाड, नवोदय, नेतरहाट प्रवेश परीक्षा) का सबसे पसंदीदा विषय हैं, बल्कि व्यापारिक लाभ-हानि, वेतन गणना, बजट निर्माण और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में चर (Variables) के प्रबंधन की आधारशिला हैं। यह अध्याय कक्षा 9 और 10 के दो चरों वाले रैखिक समीकरणों और द्विघात समीकरणों की सीधी पूर्व-पीठिका है।

Before You Begin (Prerequisites)

बीजीय व्यंजक (Expressions: पद, गुणांक, चर और अचर) की पहचान।
समीकरण और व्यंजक में अंतर (समता चिह्न "=" की उपस्थिति)।
धनात्मक व ऋणात्मक पूर्णांकों के जोड़, घटाव, गुणा व भाग के नियम।

What You Will Learn (Core Objectives)

एक चर वाले रैखिक समीकरण की पहचान कर सकेंगे तथा उसके बाएँ पक्ष (LHS) व दाएँ पक्ष (RHS) की समता को समझ सकेंगे।
पक्षांतरण विधि (Transposition Method) द्वारा चिह्नों के परिवर्तन के नियमों का सटीक अनुप्रयोग कर सकेंगे।
दोनों पक्षों में चर वाले तथा कोष्ठक व भिन्न युक्त जटिल समीकरणों को सुव्यवस्थित हल कर सकेंगे।
वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) विधि द्वारा भिन्नात्मक समीकरणों को रैखिक समीकरण में बदलकर हल कर सकेंगे।
आयु, संख्या, ज्यामिति तथा मुद्रा संबंधी व्यावहारिक इबारती प्रश्नों (Word Problems) को समीकरण में ढालकर अज्ञात राशि ज्ञात कर सकेंगे।

Chapter Roadmap & Progression

1 1. बीजीय समीकरण की अवधारणा एवं रैखि...

2 2. समीकरण हल करने की विधियाँ: तराजू...

3 3. दोनों पक्षों में चर वाले समीकरण...

4 4. व्यावहारिक समस्याओं (Word Proble...

Complete Concept Guide (100% Curriculum Coverage)

1. बीजीय समीकरण की अवधारणा एवं रैखिक समीकरण की परिभाषा

एक बीजीय समीकरण (Algebraic Equation) चरों पर एक ऐसा कथन है जिसमें दो व्यंजकों के मध्य समता का चिह्न ($=$) होता है। समता चिह्न के बाईं ओर के व्यंजक को बायाँ पक्ष (LHS - Left Hand Side) तथा दाईं ओर के व्यंजक को दायाँ पक्ष (RHS - Right Hand Side) कहते हैं:

$$2x - 3 = 7$$

यहाँ $x$ एक चर है, $2x - 3$ बायाँ पक्ष (LHS) है, $7$ दायाँ पक्ष (RHS) है तथा $=$ समता चिह्न है।

एक चर वाला रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable):

जिस समीकरण में केवल एक ही चर उपस्थित हो (जैसे केवल $x$ या केवल $y$)।
उस समीकरण में उपस्थित चर की अधिकतम घात (Power / Degree) केवल 1 हो।
मानक रूप: $ax + b = 0$ (जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं तथा $a \neq 0$)।
उदाहरण: $3x + 5 = 14$ (रैखिक समीकरण है); परंतु $x^2 + 1 = 5$ (रैखिक नहीं है क्योंकि घात 2 है) तथा $x + y = 7$ (रैखिक है परंतु इसमें दो चर हैं)।
समीकरण का हल (Solution / Root): चर का वह विशिष्ट मान जो समीकरण के दोनों पक्षों में रखने पर LHS = RHS सिद्ध कर दे, उस समीकरण का हल कहलाता है। एक चर वाले रैखिक समीकरण का केवल और केवल एक ही अद्वितीय हल (Unique Solution) होता है।

2. समीकरण हल करने की विधियाँ: तराजू संतुलन एवं पक्षांतरण

A. तराजू संतुलन का सिद्धांत (Balance Beam Principle):

एक समीकरण भौतिक तराजू के दो संतुलित पलड़ों के समान है। संतुलन बनाए रखने के लिए:

समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी जा सकती है।
समीकरण के दोनों पक्षों में से समान संख्या घटाई जा सकती है।
समीकरण के दोनों पक्षों को समान शून्येतर संख्या से गुणा किया जा सकता है।
समीकरण के दोनों पक्षों को समान शून्येतर संख्या से भाग दिया जा सकता है।

B. पक्षांतरण विधि (Transposition Method):

समीकरण को शीघ्रता से हल करने के लिए किसी पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाने की प्रक्रिया को पक्षांतरण (Transposition) कहते हैं। पक्षांतरण करते समय पद का गणितीय चिह्न पूरी तरह उलट जाता है:

बाएँ पक्ष (LHS) में संक्रिया	पक्षांतरण के बाद दाएँ पक्ष (RHS) में संक्रिया	व्यावहारिक उदाहरण
धन ($+$)	ऋण (−) बन जाता है	$x + 5 = 12 \Rightarrow x = 12 - 5 = 7$
ऋण (−)	धन ($+$) बन जाता है	$x - 8 = 15 \Rightarrow x = 15 + 8 = 23$
गुणा ($\times$)	भाग ($\div$) बन जाता है	$4x = 28 \Rightarrow x = \frac{28}{4} = 7$
भाग ($\div$)	गुणा ($\times$) बन जाता है	$\frac{x}{3} = 9 \Rightarrow x = 9 \times 3 = 27$

3. दोनों पक्षों में चर वाले समीकरण एवं वज्र-गुणन विधि

A. दोनों पक्षों में चर वाले समीकरण हल करना:

जब समीकरण के दोनों पक्षों में चर पद उपस्थित हों (जैसे $5x + 9 = 2x + 18$), तो चरणबद्ध प्रक्रिया अपनाई जाती है:

चर पदों का एकत्रीकरण: सभी चर युक्त पदों को पक्षांतरण द्वारा बाईं ओर (LHS) लाते हैं।
अचर पदों का एकत्रीकरण: सभी संख्यात्मक (अचर) पदों को पक्षांतरण द्वारा दाईं ओर (RHS) ले जाते हैं।
सजातीय पदों को जोड़कर/घटाकर सरल करते हैं और अंत में चर के गुणांक से भाग देकर $x$ का मान प्राप्त करते हैं।
उदाहरण: $5x - 2x = 18 - 9 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$।

B. वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method):

जब समीकरण भिन्न के रूप में हो, अर्थात $\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{m}{n}$ (जहाँ $cx + d \neq 0$):

वज्र-गुणन का सूत्र:

$$\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{m}{n} \implies n \times (ax + b) = m \times (cx + d)$$

LHS के अंश को RHS के हर से गुणा करते हैं और RHS के अंश को LHS के हर से गुणा करके कोष्ठक खोल लेते हैं। इससे भिन्न समाप्त होकर साधारण रैखिक समीकरण बन जाता है।

4. व्यावहारिक समस्याओं (Word Problems) के अनुप्रयोग

गणित की वास्तविक शक्ति दैनिक जीवन की इबारती समस्याओं को हल करने में प्रकट होती है। समस्या हल करने के 4 सुनहरे नियम:

अज्ञात राशि की पहचान: प्रश्न में जो राशि पूछी गई है, उसे चर (प्रायः $x$) मान लेते हैं।
संबंधों की बीजीय अभिव्यक्ति: प्रश्न की शर्तों के अनुसार अन्य संबंधित राशियों को $x$ के पदों में व्यक्त करते हैं।
समीकरण का निर्माण: प्रश्न में दिए गए प्रतिबंध (समता शर्त) के आधार पर LHS = RHS का समीकरण बनाते हैं।
हल एवं उत्तर की जाँच: समीकरण हल कर $x$ का मान निकालते हैं और प्रश्न की मूल शर्तों में रखकर उत्तर का सत्यापन करते हैं।

प्रमुख समस्या प्रकार:

आयु संबंधी प्रश्न: यदि वर्तमान आयु $x$ वर्ष है, तो $n$ वर्ष बाद आयु $(x + n)$ होगी तथा $n$ वर्ष पूर्व आयु $(x - n)$ थी।
संख्या संबंधी प्रश्न: दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ $x, x+1$; क्रमागत सम/विषम संख्याएँ $x, x+2$; दो अंकों की संख्या का मान $10 \times \text{दहाई} + \text{इकाई}$।
मुद्रा व सिक्के: 50 पैसे के $x$ सिक्कों का मूल्य $= 0.50x$ रुपये; ₹10 के $y$ नोटों का मूल्य $= 10y$ रुपये।
ज्यामितीय परिमाप: आयत का परिमाप $= 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$; त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $= 180^\circ$।

Key Formulas, Identities & Theorems

एक चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप (Standard Form)

a·x + b = 0 (जहाँ a ≠ 0, हल x = -b/a)

चर की अधिकतम घात सदैव 1 होती है और इसका ठीक 1 अद्वितीय हल होता है।

वज्र-गुणन सूत्र (Cross-Multiplication Formula)

(ax + b) / (cx + d) = m / n ⇒ n·(ax + b) = m·(cx + d)

भिन्नात्मक रैखिक समीकरणों को सरल समीकरण में रूपांतरित करने की सार्वभौमिक विधि।

दो अंकों की संख्या का बीजीय सूत्र (Two-Digit Number Value)

मूल संख्या = 10·t + u ; अंक पलटने पर संख्या = 10·u + t

जहाँ t = दहाई का अंक तथा u = इकाई का अंक।

आयु संबंधी समय सूत्र (Age Relation Formula)

n वर्ष बाद = (वर्तमान + n) ; n वर्ष पूर्व = (वर्तमान - n)

अनुपात संबंधी प्रश्नों में अनुपातिक पद को x से गुणा कर वर्तमान आयु मानी जाती है।

दूरी, चाल एवं समय संबंध (Distance-Speed-Time Relation)

दूरी = चाल × समय ⇒ समय = दूरी / चाल

विपरीत दिशा में चालें जुड़ती हैं तथा समान दिशा में सापेक्ष चाल घटती है।

Conceptual Solved Examples & Case Studies

Example 1

समीकरण को हल कीजिए और अपने उत्तर की जाँच कीजिए:\n$$5x + 9 = 5 + 3x$$

Step-by-Step Solution:

हल:\nदिया गया समीकरण:\n$$5x + 9 = 5 + 3x$$\n\nचरण 1: चर पदों को LHS में तथा अचर पदों को RHS में पक्षांतरित करने पर:\n$$5x - 3x = 5 - 9$$\n\nचरण 2: सजातीय पदों को सरल करने पर:\n$$2x = -4$$\n\nचरण 3: दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:\n$$x = \frac{-4}{2} = -2$$\n\nउत्तर की जाँच (Verification):\n- बायाँ पक्ष (LHS) = $5(-2) + 9 = -10 + 9 = -1$\n- दायाँ पक्ष (RHS) = $5 + 3(-2) = 5 - 6 = -1$\nचूँकि LHS = RHS = -1, अतः हमारा हल $x = -2$ पूर्णतः सही है।

Example 2

हल कीजिए: $$\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = \frac{x}{3} + \frac{1}{4}$$

Step-by-Step Solution:

हल:\nदिया गया समीकरण:\n$$\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = \frac{x}{3} + \frac{1}{4}$$\n\nचरण 1: चर पदों को LHS में तथा अचर पदों को RHS में पक्षांतरित करने पर:\n$$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$$\n\nचरण 2: 2 और 3 का ल.स.प. = 6 तथा 4 और 5 का ल.स.प. = 20 लेने पर:\n$$\frac{3x - 2x}{6} = \frac{5 + 4}{20}$$\n$$\frac{x}{6} = \frac{9}{20}$$\n\nचरण 3: दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर:\n$$x = \frac{9 \times 6}{20} = \frac{54}{20} = \frac{27}{10} = 2.7$$\n\nउत्तर: $x = \frac{27}{10}$।

Example 3

दो संख्याओं में अनुपात 5 : 3 है। यदि उनमें अंतर 18 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल:\nमाना आनुपातिक गुणांक $x$ है।\nअतः पहली संख्या = $5x$\nतथा दूसरी संख्या = $3x$\n\nप्रश्नानुसार, दोनों संख्याओं का अंतर 18 है:\n$$5x - 3x = 18$$\n$$2x = 18$$\n$$x = \frac{18}{2} = 9$$\n\nअब संख्याओं के मान:\n- पहली संख्या = $5x = 5 \times 9 = 45$\n- दूसरी संख्या = $3x = 3 \times 9 = 27$\n\nजाँच: $45 - 27 = 18$ तथा $45 : 27 = 5 : 3$।\nउत्तर: संख्याएँ 45 और 27 हैं।

Example 4

राहुल के पिता की वर्तमान आयु राहुल की आयु की तिगुनी है। 12 वर्ष बाद पिता की आयु राहुल की आयु की दोगुनी हो जाएगी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

Step-by-Step Solution:

हल:\nमाना राहुल की वर्तमान आयु = $x$ वर्ष\nअतः राहुल के पिता की वर्तमान आयु = $3x$ वर्ष\n\n12 वर्ष बाद:\n- राहुल की आयु = $(x + 12)$ वर्ष\n- पिता की आयु = $(3x + 12)$ वर्ष\n\nप्रश्नानुसार, 12 वर्ष बाद पिता की आयु राहुल की आयु की दोगुनी होगी:\n$$3x + 12 = 2(x + 12)$$\n$$3x + 12 = 2x + 24$$\n\nपक्षांतरण करने पर:\n$$3x - 2x = 24 - 12$$\n$$x = 12$$\n\nअतः:\n- राहुल की वर्तमान आयु = 12 वर्ष\n- पिता की वर्तमान आयु = $3x = 3 \times 12 = 36$ वर्ष\n\nउत्तर: राहुल 12 वर्ष तथा पिता 36 वर्ष के हैं।

Example 5

वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए: $$\frac{8x - 3}{3x} = 2$$

Step-by-Step Solution:

हल:\nदिया गया समीकरण:\n$$\frac{8x - 3}{3x} = \frac{2}{1}$$\n\nवज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:\n$$1 \times (8x - 3) = 2 \times (3x)$$\n$$8x - 3 = 6x$$\n\nपक्षांतरण करने पर:\n$$8x - 6x = 3$$\n$$2x = 3$$\n$$x = \frac{3}{2}$$\n\nउत्तर: $x = \frac{3}{2}$।

Common Misconceptions & Examiner Traps

Common Misconception

पक्षांतरण करते समय पद का चिह्न बदलना भूल जाना (जैसे 2x + 5 = 9 में 2x = 9 + 5 लिख देना)।

Scientific Reality & Correction

पक्षांतरण का मौलिक नियम है कि बाएँ से दाएँ या दाएँ से बाएँ जाने पर धन (+) ऋण (−) में और ऋण (−) धन (+) में परिवर्तित हो जाता है; अतः 2x = 9 - 5 होगा।

Common Misconception

कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय भीतर के पदों के चिह्न न बदलना (जैसे -2(x - 3) को -2x - 6 लिख देना)।

Scientific Reality & Correction

ऋणात्मक संख्या से कोष्ठक खोलने पर प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: -2(x - 3) = -2x + 6।

Common Misconception

वज्र-गुणन करते समय कोष्ठक न लगाना (जैसे 3 × x + 2 लिखना 3(x + 2) के स्थान पर)।

Scientific Reality & Correction

वज्र-गुणन में पूरे अंश या पूरे हर को एक इकाई मानकर कोष्ठक में रखा जाता है, अन्यथा केवल प्रथम पद ही गुणा होगा और उत्तर गलत हो जाएगा।

Visual Learning & Conceptual Map

Chapter Summary & 10 Key Takeaways

Takeaway 1

एक बीजीय समीकरण चरों पर समता (=) का कथन होता है, जिसमें बायाँ पक्ष (LHS) दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर होता है।

Takeaway 2

जिस समीकरण में केवल एक चर हो और उसकी अधिकतम घात 1 हो, उसे एक चर वाला रैखिक समीकरण (ax + b = 0) कहते हैं।

Takeaway 3

एक चर वाले रैखिक समीकरण का केवल एक और केवल एक अद्वितीय (Unique) हल होता है।

Takeaway 4

समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने, घटाने, गुणा करने या भाग देने पर समीकरण का संतुलन बना रहता है।

Takeaway 5

पक्षांतरण (Transposition) में पद का पक्ष बदलते ही उसका चिह्न बदल जाता है (+ का −, − का +, × का ÷, ÷ का ×)।

Takeaway 6

दोनों पक्षों में चर वाले समीकरणों में सभी चर पदों को LHS में तथा सभी अचर पदों को RHS में पक्षांतरित करके सरल करते हैं।

Takeaway 7

कोष्ठक वाले समीकरणों को पहले वितरण नियम [a(b + c) = ab + ac] द्वारा खोलकर सरल किया जाता है।

Takeaway 8

भिन्नात्मक समीकरणों को हरों के ल.स.प. (LCM) से दोनों पक्षों में गुणा करके अथवा वज्र-गुणन विधि द्वारा हल किया जाता है।

Takeaway 9

वज्र-गुणन विधि [(ax + b)/(cx + d) = m/n ⇒ n(ax + b) = m(cx + d)] द्वारा जटिल भिन्नों को सीधे सरल रैखिक रूप दिया जाता है।

Takeaway 10

इबारती प्रश्नों को हल करने के लिए अज्ञात राशि को x मानकर प्रश्न की शर्तों के अनुसार समीकरण बनाकर हल किया जाता है।

Check Your Understanding (Diagnostic Practice Questions)

Diagnostic questions testing core conceptual clarity. Answers are hidden initially — solve each problem first, then click to reveal the step-by-step verified solution.

एक चर वाले रैखिक समीकरण की अधिकतम घात कितनी होती है? एक उदाहरण दीजिए।

Reveal Answer & Explanation

Answer: एक चर वाले रैखिक समीकरण में चर की अधिकतम घात सदैव 1 होती है। उदाहरण: 3x - 5 = 10।
यदि घात 2 हो जाए (जैसे x² + 5 = 9), तो वह द्विघात समीकरण बन जाता है, रैखिक नहीं रहता।

पक्षांतरण (Transposition) करते समय धनात्मक (+) और गुणा (×) के चिह्न किसमें बदलते हैं?

Reveal Answer & Explanation

Answer: धनात्मक (+) चिह्न पक्षांतरण के बाद ऋणात्मक (−) बन जाता है तथा गुणा (×) का चिह्न भाग (÷) में बदल जाता है।
समता बनाए रखने के लिए विपरीत गणितीय संक्रिया लागू होती है।

समीकरण 2x - 3 = 7 का हल क्या है?

Reveal Answer & Explanation

Answer: 2x = 7 + 3 = 10 ⇒ x = 10/2 = 5।
जाँच: 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7 (LHS = RHS)।

वज्र-गुणन (Cross-multiplication) का प्रयोग किस प्रकार के समीकरणों में किया जाता है?

Reveal Answer & Explanation

Answer: जब समीकरण दोनों पक्षों में भिन्नों के अनुपात के रूप में हो, जैसे (ax + b)/(cx + d) = m/n।
LHS के अंश को RHS के हर से तथा RHS के अंश को LHS के हर से तिरछा गुणा किया जाता है।

तीन क्रमागत पूर्णांकों का योग 51 है। वे पूर्णांक क्या हैं?

Reveal Answer & Explanation

Answer: माना तीन क्रमागत पूर्णांक x, x+1, x+2 हैं।\nx + (x+1) + (x+2) = 51 ⇒ 3x + 3 = 51 ⇒ 3x = 48 ⇒ x = 16।\nअतः पूर्णांक 16, 17 और 18 हैं।
जाँच: 16 + 17 + 18 = 51।

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