आँकड़ों का प्रबंधन

JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 16 — आँकड़ों का प्रबंधन
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 240–261. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).

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आँकड़ों को वर्ग-अंतराल और बारंबारता सारणी में व्यवस्थित करें। दंड आलेख, आयतचित्र और वृत्त आलेख का उद्देश्य अलग है। बराबर वर्ग-चौड़ाई वाले आयतचित्र में ऊँचाई बारंबारता दिखा सकती है। समान संभाव्य परिणामों में प्रायिकता अनुकूल और कुल परिणामों का अनुपात है।

वर्ग-अंतरालों में एक ही सीमा मान को दो बार न गिनें; पासे को निष्पक्ष माना गया है।

किसी संदर्भ में एकत्रित किए गए संख्यात्मक प्रेक्षणों या तथ्यों के संग्रह को आँकड़े (Data) कहते हैं। जब आँकड़े अपने मूल रूप में होते हैं, तो उन्हें यथाप्राप्त आँकड़े (Raw Data) कहते हैं।

वर्गीकृत आँकड़े एवं बारंबारता शब्दावली:

जब प्रेक्षणों की संख्या बहुत अधिक हो, तो उन्हें छोटे-छोटे समूहों में बाँट लिया जाता है, जिन्हें वर्ग अंतराल (Class Intervals) कहते हैं:

• वर्ग अंतराल (Class Interval): जैसे $10 - 20, 20 - 30, 30 - 40$। अंतराल $10 - 20$ में 10 को निम्न वर्ग सीमा (Lower Limit) तथा 20 को उच्च वर्ग सीमा (Upper Limit) कहते हैं।
• अतिव्यापी विधि (Continuous Class): अंतराल $10 - 20$ में प्रेक्षण 10 सम्मिलित होता है, परंतु 20 अगले अंतराल $20 - 30$ में गिना जाता है।
• वर्ग आमाप / चौड़ाई (Class Size / Width, $h$): उच्च सीमा और निम्न सीमा का अंतर वर्ग आमाप कहलाता है: $$h = \text{उच्च सीमा} - \text{निम्न सीमा} = 20 - 10 = 10$$
• वर्ग चिह्न / मध्य बिंदु (Class Mark): वर्ग अंतराल का ठीक बीच का मान: $$\text{वर्ग चिह्न} = \frac{\text{उच्च सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15$$
• बारंबारता (Frequency, $f$): कोई प्रेक्षण या वर्ग अंतराल में आँकड़े जितनी बार आते हैं, उसे उस वर्ग की बारंबारता कहते हैं। इसे दर्शाने के लिए मिलान चिह्न (Tally Marks) का उपयोग किया जाता है (1 = |, 2 = ||, 3 = |||, 4 = ||||, 5 = ||||)।

वर्गीकृत एवं संतत (Continuous) आँकड़ों का द्वि-विमीय ज्यामितीय निरूपण आयतचित्र (Histogram) कहलाता है:

• आयतचित्र में क्षैतिज अक्ष ($X$-अक्ष) पर वर्ग अंतरालों को दर्शाया जाता है तथा ऊर्ध्वाधर अक्ष ($Y$-अक्ष) पर संगत बारंबारताओं को दर्शाया जाता है।
• साधारण दण्ड आलेख और आयतचित्र में अंतर: दण्ड आलेख में स्तंभों के बीच समान दूरियाँ (Gaps) छोड़ी जाती हैं, जबकि आयतचित्र में दो संलग्न आयतों के बीच कोई रिक्त स्थान (Gap) नहीं होता, क्योंकि वर्ग अंतराल संतत होते हैं।
• प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल उसकी बारंबारता के समानुपाती होता है।

जब आँकड़ों को एक वृत्त के विभिन्न त्रिज्यखंडों (Sectors) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, तो इस आलेख को वृत्त आलेख या पाई चार्ट (Pie Chart) कहते हैं। संपूर्ण वृत्त संपूर्ण आँकड़े (100% या कुल योग) को दर्शाता है और प्रत्येक त्रिज्यखंड उस संपूर्ण के एक भाग को प्रदर्शित करता है।

केंद्रीय कोण (Central Angle) की गणना:

वृत्त के केंद्र पर बना कुल कोण सदैव $360^\circ$ होता है। अतः किसी घटक के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण निम्नलिखित सूत्र से निकाला जाता है:

पाई चार्ट बनाने के चरण:

1. प्रत्येक मद (घटक) के लिए केंद्रीय कोण की गणना कीजिए।
2. जाँच कीजिए कि सभी केंद्रीय कोणों का योग ठीक $360^\circ$ आ रहा है या नहीं।
3. प्रकार (Compass) की सहायता से किसी सुविधाजनक त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
4. चाँदे (Protractor) की सहायता से केंद्र पर प्रत्येक कोण का त्रिज्यखंड बनाइए।
5. प्रत्येक त्रिज्यखंड को अलग-अलग रंगों/शेपों से नामांकित कीजिए।

दैनिक जीवन में हम अक्सर ऐसे वाक्य बोलते हैं: "आज वर्षा होने का संयोग (संभावना) है", "भारत का मैच जीतने का चांस अधिक है"। गणित में किसी घटना के घटित होने की अनिश्चितता के संख्यात्मक माप को प्रायिकता (Probability) कहते हैं।

प्रायिकता की मूलभूत शब्दावली:

• यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment): एक ऐसा प्रयोग जिसके सभी संभावित परिणाम पहले से ज्ञात हों, परंतु किसी विशिष्ट परीक्षण में क्या परिणाम आएगा, इसकी निश्चित भविष्यवाणी नहीं की जा सकती; जैसे निष्पक्ष सिक्का उछालना या पासा फेंकना।
• समप्रायिक परिणाम (Equally Likely Outcomes): जब किसी प्रयोग के प्रत्येक परिणाम के आने की संभावना ठीक बराबर हो; जैसे सिक्के में शीर्ष (Head) और पुच्छ (Tail) आने की संभावना $1/2$ और $1/2$ बराबर है।
• घटना (Event, $E$): प्रयोग के एक या अधिक परिणामों के संग्रह को घटना कहते हैं।

प्रायिकता के मौलिक नियम:

• किसी भी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच (0 और 1 सहित) होती है: $$0 \le P(E) \le 1$$
• असंभव घटना (Impossible Event): जो कभी नहीं हो सकती; उसकी प्रायिकता $0$ होती है (जैसे 6-फलकीय पासे पर संख्या 7 आना)।
• निश्चित घटना (Sure / Certain Event): जो निश्चित रूप से होगी; उसकी प्रायिकता $1$ होती है (जैसे पासे पर 7 से छोटी संख्या आना)।
• किसी घटना के होने की प्रायिकता $P(E)$ तथा न होने की प्रायिकता $P(\bar{E})$ का योग सदैव 1 होता है: $$P(E) + P(\bar{E}) = 1$$