JCERT · कक्षा 8 · अध्याय 10 · सीधा और प्रतिलोम समानुपात। पाठ्यक्रम से मिलते विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण; पुस्तक के हर प्रश्न का पूर्ण हल नहीं।
श्रम एवं मजदूरी की गणना, भवन व सड़क निर्माण की समय-सीमा, वाहनों की ईंधन दक्षता, नक्शा निर्माण व सिविल इंजीनियरिंग डिजाइनिंग, भौतिकी के बॉयल व चार्ल्स के नियम, गति-समय-दूरी के सूत्रों तथा प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Banking, Railway, CSAT) में समानुपात का ज्ञान केंद्रीय महत्व रखता है।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 10 — सीधा और प्रतिलोम समानुपात
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 152–161. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).
विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; ये पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल नहीं हैं। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम में हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
सीधे समानुपात में एक राशि के साथ दूसरी उसी अनुपात में बदलती है और y/x स्थिर रहता है। प्रतिलोम समानुपात में xy स्थिर रहता है। कामगार और समय के प्रश्नों में कुल काम तथा प्रति कामगार कार्य-दर समान होने की शर्त देखें।
कामगार बढ़ने से समय घटता है, इसलिए यहाँ प्रतिलोम समानुपात है।
यदि दो राशियाँ $x$ और $y$ इस प्रकार परस्पर संबंधित हों कि जब $x$ में वृद्धि (या कमी) होती है, तो $y$ में भी उसी अनुपात में वृद्धि (या कमी) होती है, अर्थात उनका अनुपात $\frac{x}{y}$ सदैव स्थिर (Constant) रहता है, तो वे सीधे समानुपात (Direct Proportion) में कहलाती हैं।
सीधे समानुपात का गणितीय नियम:
$$\frac{x}{y} = k \quad \text{अथवा} \quad \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$
जहाँ $k$ एक धनात्मक अचर (Constant of Proportionality) है। तिर्यक गुणा करने पर: $x_1 \times y_2 = x_2 \times y_1$।
यदि दो राशियाँ $x$ और $y$ इस प्रकार संबंधित हों कि जब $x$ में वृद्धि होती है, तो $y$ में समानुपातिक कमी होती है (और $x$ में कमी होने पर $y$ में वृद्धि होती है), इस प्रकार कि उनका गुणनफल $x \times y$ सदैव एक अचर रहता है, तो वे प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) में कहलाती हैं।
प्रतिलोम समानुपात का गणितीय नियम:
$$x \times y = k \quad \text{अथवा} \quad x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$$
जहाँ $k$ एक अचर है। इसे $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
परीक्षा में किसी भी समस्या को हल करने से पहले यह तय करना सबसे महत्वपूर्ण चरण है कि दी गई समस्या सीधा समानुपात है अथवा प्रतिलोम। इसके लिए तालिका विधि (Tabular Method) सर्वोत्तम है:
| लक्षण | सीधा समानुपात (Direct) | प्रतिलोम समानुपात (Inverse) |
|---|---|---|
| संबंध की दिशा | एक बढ़ेगा, तो दूसरा भी बढ़ेगा (↑ ↑) | एक बढ़ेगा, तो दूसरा घटेगा (↑ ↓) |
| स्थिर मान (Constant) | भागफल स्थिर: x / y = k | गुणनफल स्थिर: x · y = k |
| कार्यकारी सूत्र | x₁ / y₁ = x₂ / y₂ | x₁ · y₁ = x₂ · y₂ |
| हल की विधि | तिर्यक गुणा (Cross Multiply) | क्षैतिज गुणा (Horizontal Multiply) |
मानचित्र पर प्रदर्शित दूरी और वास्तविक जमीनी दूरी सदैव सीधे समानुपात में होती है:
$$\text{पैमाना} = \frac{\text{मानचित्र पर दूरी}}{\text{वास्तविक दूरी}}$$
यदि पैमाना 1 सेमी = 18 किमी है, तो 72 किमी की वास्तविक दूरी मानचित्र पर $\frac{72}{18} = 4$ सेमी द्वारा दर्शाई जाएगी।
6×10=15×t; t=4days
कामगार बढ़ने से समय घटता है, इसलिए यहाँ प्रतिलोम समानुपात है।
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