Follow Us
माध्यम चुनें / Select Medium:
Eng (English) Hindi (हिन्दी)
झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 11
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions)

झारखण्ड शैक्षणिक परिषद् (JAC) एवं NCERT पाठ्यक्रम पर आधारित कक्षा 8 गणित का ग्यारहवाँ अध्याय "सीधा और प्रतिलोम समानुपात" (Direct and Inverse Proportions) व्यावहारिक जीवन की दैनिक गणनाओं, श्रम-समय प्रबंधन और वैज्ञानिक नियमों का गणितीय विश्लेषण है। जब दो राशियाँ एक-दूसरे पर इस प्रकार निर्भर करती हैं कि एक के मान में परिवर्तन होने पर दूसरी राशि में भी संगत परिवर्तन होता है, तो वे समानुपाती कहलाती हैं। इस अध्याय में सीधा समानुपात (Direct Proportion: x / y = k अथवा x₁ / y₁ = x₂ / y₂ — जहाँ एक राशि बढ़ने पर दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़ती है, जैसे वस्तुओं की संख्या और मूल्य), प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion: x · y = k अथवा x₁ · y₁ = x₂ · y₂ — जहाँ एक राशि बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में घटती है, जैसे श्रमिकों की संख्या और कार्य पूरा करने में लगे दिन, गति और समय), नक्शों का पैमाना (Scale factor) तथा समय-दूरी-कार्य की व्यावहारिक समस्याओं का चरणबद्ध, प्रामाणिक व परीक्षा-उपयोगी अध्ययन समाहित है।

🚜 यदि 12 मजदूर एक नहर को 15 दिन में खोदते हैं, तो उसी नहर को 10 दिन में पूरा करने के लिए कितने मजदूरों की आवश्यकता होगी?

दैनिक जीवन में कुछ चीजें ऐसी होती हैं जहाँ अधिक का अर्थ अधिक होता है—जैसे आप जितनी अधिक किताबें खरीदेंगे, आपको उतना ही अधिक भुगतान करना होगा (सीधा समानुपात)। लेकिन कुछ स्थितियाँ बिल्कुल उलट होती हैं—यदि आप बाइक की गति 30 km/h से बढ़ाकर 60 km/h कर दें, तो स्कूल पहुँचने का समय आधा रह जाएगा; और यदि काम पर अधिक मजदूर लगा दिए जाएँ, तो काम कम दिनों में समाप्त हो जाएगा (प्रतिलोम समानुपात)! क्या आप बिना किसी लंबे समीकरण के केवल अनुपात के संतुलन से ऐसी पहेलियों को हल कर सकते हैं? आइए, सीधा और प्रतिलोम समानुपात के इस अचूक गणितीय औजार को समझें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

श्रम एवं मजदूरी की गणना, भवन व सड़क निर्माण की समय-सीमा, वाहनों की ईंधन दक्षता, नक्शा निर्माण व सिविल इंजीनियरिंग डिजाइनिंग, भौतिकी के बॉयल व चार्ल्स के नियम, गति-समय-दूरी के सूत्रों तथा प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Banking, Railway, CSAT) में समानुपात का ज्ञान केंद्रीय महत्व रखता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • अनुपात (Ratio) एवं भिन्न (Fraction) की मूलभूत समझ।
  • ऐकिक नियम (Unitary Method) द्वारा 1 इकाई का मान निकालने का ज्ञान।
  • तिर्यक गुणन (Cross-Multiplication) तथा समीकरणों का पक्षांतरण।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • सीधा समानुपात (Direct Proportion) और प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) में स्पष्ट भेद कर सकेंगे।
  • सीधे समानुपात में स्थिर अनुपात x / y = k का उपयोग कर अज्ञात राशि का मान निकाल सकेंगे।
  • प्रतिलोम समानुपात में स्थिर गुणनफल x · y = k का उपयोग कर समय, गति व कार्य के प्रश्नों को हल कर सकेंगे।
  • मानचित्रों के पैमाने (Scale on Maps) का उपयोग कर वास्तविक दूरियों का परिकलन कर सकेंगे।
  • दैनिक जीवन की व्यावहारिक समस्याओं में समानुपात की तालिका बनाकर त्वरित समाधान प्रस्तुत कर सकेंगे।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. सीधा समानुपात (Direct Proportion...
2 2. प्रतिलोम समानुपात (Inverse Propo...
3 3. सीधा बनाम प्रतिलोम: पहचान की रणन...
4 4. मानचित्र का पैमाना एवं समय-कार्य...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. सीधा समानुपात (Direct Proportion) की अवधारणा एवं सूत्र

यदि दो राशियाँ $x$ और $y$ इस प्रकार परस्पर संबंधित हों कि जब $x$ में वृद्धि (या कमी) होती है, तो $y$ में भी उसी अनुपात में वृद्धि (या कमी) होती है, अर्थात उनका अनुपात $\frac{x}{y}$ सदैव स्थिर (Constant) रहता है, तो वे सीधे समानुपात (Direct Proportion) में कहलाती हैं।

सीधे समानुपात का गणितीय नियम:

$$\frac{x}{y} = k \quad \text{अथवा} \quad \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$

जहाँ $k$ एक धनात्मक अचर (Constant of Proportionality) है। तिर्यक गुणा करने पर: $x_1 \times y_2 = x_2 \times y_1$।

दैनिक जीवन में सीधे समानुपात के उदाहरण:

  • खरीदी गई वस्तुओं की संख्या और उनका कुल मूल्य।
  • नियत चाल पर किसी वाहन द्वारा तय की गई दूरी और उसमें लगा समय।
  • बैंक में जमा मूलधन और उस पर मिलने वाला साधारण ब्याज।
  • मानचित्र पर दो शहरों के बीच की दूरी और उनकी वास्तविक जमीनी दूरी।

2. प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) की अवधारणा एवं सूत्र

यदि दो राशियाँ $x$ और $y$ इस प्रकार संबंधित हों कि जब $x$ में वृद्धि होती है, तो $y$ में समानुपातिक कमी होती है (और $x$ में कमी होने पर $y$ में वृद्धि होती है), इस प्रकार कि उनका गुणनफल $x \times y$ सदैव एक अचर रहता है, तो वे प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) में कहलाती हैं।

प्रतिलोम समानुपात का गणितीय नियम:

$$x \times y = k \quad \text{अथवा} \quad x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$$

जहाँ $k$ एक अचर है। इसे $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

दैनिक जीवन में प्रतिलोम समानुपात के उदाहरण:

  • किसी कार्य को पूरा करने में लगे श्रमिकों की संख्या और आवश्यक दिनों की संख्या।
  • निश्चित दूरी तय करने के लिए वाहन की चाल और लगने वाला समय (चाल दोगुनी तो समय आधा)।
  • निश्चित भोजन भंडार और छावनी/हॉस्टल में रहने वाले छात्रों की संख्या (छात्र बढ़ेंगे तो भोजन कम दिन चलेगा)।
  • पाइप की मोटाई और टंकी को भरने में लगने वाला समय।

3. सीधा बनाम प्रतिलोम: पहचान की रणनीतियाँ एवं तालिका विधि

परीक्षा में किसी भी समस्या को हल करने से पहले यह तय करना सबसे महत्वपूर्ण चरण है कि दी गई समस्या सीधा समानुपात है अथवा प्रतिलोम। इसके लिए तालिका विधि (Tabular Method) सर्वोत्तम है:

लक्षण सीधा समानुपात (Direct) प्रतिलोम समानुपात (Inverse)
संबंध की दिशा एक बढ़ेगा, तो दूसरा भी बढ़ेगा (↑ ↑) एक बढ़ेगा, तो दूसरा घटेगा (↑ ↓)
स्थिर मान (Constant) भागफल स्थिर: x / y = k गुणनफल स्थिर: x · y = k
कार्यकारी सूत्र x₁ / y₁ = x₂ / y₂ x₁ · y₁ = x₂ · y₂
हल की विधि तिर्यक गुणा (Cross Multiply) क्षैतिज गुणा (Horizontal Multiply)

4. मानचित्र का पैमाना एवं समय-कार्य के अनुप्रयोग

A. मानचित्र का पैमाना (Scale Factor):

मानचित्र पर प्रदर्शित दूरी और वास्तविक जमीनी दूरी सदैव सीधे समानुपात में होती है:

$$\text{पैमाना} = \frac{\text{मानचित्र पर दूरी}}{\text{वास्तविक दूरी}}$$

यदि पैमाना 1 सेमी = 18 किमी है, तो 72 किमी की वास्तविक दूरी मानचित्र पर $\frac{72}{18} = 4$ सेमी द्वारा दर्शाई जाएगी।

B. समय, गति एवं कार्य के व्यावहारिक प्रश्न:

  • यदि चाल $s_1$ पर समय $t_1$ लगता है, तो चाल $s_2$ पर समय $t_2$ लगेगा: $s_1 \times t_1 = s_2 \times t_2$।
  • यदि $m_1$ व्यक्ति किसी काम को $d_1$ दिन में करते हैं, तो $m_2$ व्यक्ति उसे $d_2$ दिन में करेंगे: $m_1 \times d_1 = m_2 \times d_2$।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

सीधा समानुपात सूत्र (Direct Proportion)
x₁ / y₁ = x₂ / y₂ अथवा x₁ · y₂ = x₂ · y₁
अनुपात x/y सदैव एक स्थिर अचर (Constant) k रहता है।
प्रतिलोम समानुपात सूत्र (Inverse Proportion)
x₁ · y₁ = x₂ · y₂
दोनों संगत मानों का गुणनफल x · y सदैव स्थिर अचर k रहता है।
दूरी-समय सीधा समानुपात (Constant Speed)
d₁ / t₁ = d₂ / t₂
चाल स्थिर रहने पर दूरी समय के सीधे समानुपाती होती है।
गति-समय प्रतिलोम समानुपात (Constant Distance)
v₁ · t₁ = v₂ · t₂
दूरी निश्चित होने पर चाल और समय में प्रतिलोम संबंध होता है।
मजदूर-दिन प्रतिलोम सूत्र (Work-Manpower)
M₁ · D₁ = M₂ · D₂
कुल कार्य (Man-Days) सदैव स्थिर रहता है।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1
यदि 14 मीटर ऊँचे एक बिजली के खंभे की छाया 10 मीटर है, तो समान परिस्थितियों में उस पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी छाया 15 मीटर है।
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nवस्तु की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई में सीधा समानुपात (Direct Proportion) होता है, क्योंकि ऊँचाई बढ़ने पर छाया की लंबाई भी बढ़ेगी।\n\nमाना पेड़ की अभीष्ट ऊँचाई x मीटर है।\nतालिका बनाने पर:\nऊँचाई (मीटर): 14 | x\nछाया (मीटर): 10 | 15\n\nसीधे समानुपात के सूत्र से:\n$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$\n$$\frac{14}{10} = \frac{x}{15}$$\nतिर्यक गुणा करने पर:\n$$10 \times x = 14 \times 15$$\n$$x = \frac{14 \times 15}{10} = \frac{210}{10} = 21 \text{ मीटर}$$\n\nउत्तर: पेड़ की ऊँचाई 21 मीटर है।
उदाहरण 2
यदि एक नक्शे पर 1 सेमी का पैमाना वास्तव में 18 किमी को निरूपित करता है, तो 72 किमी की दूरी को नक्शे पर कितने सेमी से दर्शाया जाएगा?
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nनक्शे की दूरी और वास्तविक दूरी में सीधा समानुपात होता है।\nमाना नक्शे पर दूरी x सेमी है।\n\n$$\frac{1 \text{ सेमी}}{18 \text{ किमी}} = \frac{x \text{ सेमी}}{72 \text{ किमी}}$$\n$$18 \times x = 1 \times 72$$\n$$x = \frac{72}{18} = 4 \text{ सेमी}$$\n\nउत्तर: नक्शे पर यह दूरी 4 सेमी होगी।
उदाहरण 3
यदि किसी कार्य को 12 मजदूर 15 दिन में पूरा करते हैं, तो उसी कार्य को 10 दिन में पूरा करने के लिए कितने मजदूरों की आवश्यकता होगी?
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nमजदूरों की संख्या और कार्य पूरा करने के दिनों में प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) होता है (कम दिनों में काम खत्म करने के लिए अधिक मजदूर चाहिए)।\n\nमाना आवश्यक मजदूरों की संख्या x है।\nमजदूर (M): 12 | x\nदिन (D): 15 | 10\n\nप्रतिलोम समानुपात के सूत्र से:\n$$M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$$\n$$12 \times 15 = x \times 10$$\n$$180 = 10x$$\n$$x = \frac{180}{10} = 18 \text{ मजदूर}$$\n\nउत्तर: उसी कार्य को 10 दिन में समाप्त करने हेतु 18 मजदूरों की आवश्यकता होगी।
उदाहरण 4
एक कार 60 किमी/घंटा की चाल से चलकर किसी दूरी को 2 घंटे में तय करती है। यदि कार की चाल 80 किमी/घंटा कर दी जाए, तो उसी दूरी को तय करने में कितना समय लगेगा?
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nचाल और समय में प्रतिलोम समानुपात होता है (चाल बढ़ेगी तो समय घटेगा)।\nमाना चाल 80 किमी/घंटा होने पर लगा समय t घंटे है।\n\n$$v_1 \times t_1 = v_2 \times t_2$$\n$$60 \times 2 = 80 \times t$$\n$$120 = 80t$$\n$$t = \frac{120}{80} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ घंटे (अर्थात 1 घंटा 30 मिनट)}$$\n\nउत्तर: कार को 1 घंटा 30 मिनट का समय लगेगा।
उदाहरण 5
एक छात्रावास में 100 विद्यार्थियों के लिए 20 दिन की खाद्य सामग्री है। यदि 25 विद्यार्थी और आ जाएँ, तो यह सामग्री कितने दिन चलेगी?
विस्तृत समाधान / उत्तर:
हल:\nनए विद्यार्थियों के आने के बाद कुल विद्यार्थी = $100 + 25 = 125$ विद्यार्थी।\nविद्यार्थियों की संख्या और खाद्य सामग्री चलने के दिनों में प्रतिलोम समानुपात होता है।\n\nमाना सामग्री x दिन चलेगी।\n$$x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2$$\n$$100 \times 20 = 125 \times x$$\n$$2000 = 125x$$\n$$x = \frac{2000}{125} = 16 \text{ दिन}$$\n\nउत्तर: यह खाद्य सामग्री 16 दिन चलेगी।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

प्रतिलोम समानुपात के प्रश्न में भी सीधे समानुपात की भाँति तिर्यक गुणा कर देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

प्रतिलोम समानुपात में क्षैतिज गुणनफल स्थिर रहता है (x₁ · y₁ = x₂ · y₂); इसमें तिर्यक गुणा नहीं किया जाता।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

नये व्यक्तियों के आने पर कुल संख्या जोड़ने के बजाय केवल नये व्यक्तियों की संख्या से समीकरण बना देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

यदि 25 विद्यार्थी और आते हैं, तो कुल संख्या 100 + 25 = 125 होगी; केवल 25 नहीं।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

चाल-समय संबंध को सीधा समानुपात समझ लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

चाल बढ़ने पर दूरी तय करने का समय कम होता है, अतः यह सदैव प्रतिलोम समानुपात होता है।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

समानुपात (Proportion): सीधा (Direct) बनाम प्रतिलोम (Inverse) A. सीधा समानुपात (x / y = k) राशि x (जैसे मात्रा) राशि y (मूल्य) सरल रेखा (मूल बिंदु से) x बढ़ने पर y भी बढ़ता है (↑ ↑) x₁ / y₁ = x₂ / y₂ = k उदाहरण: 5 पेन = ₹50 ⇒ 10 पेन = ₹100 B. प्रतिलोम समानुपात (x · y = k) राशि x (मजदूर / चाल) राशि y (दिन / समय) अतिपरवलयिक वक्र x बढ़ने पर y घटता है (↑ ↓) x₁ · y₁ = x₂ · y₂ = k उदाहरण: 10 मजदूर = 6 दिन ⇒ 20 मजदूर = 3 दिन

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
  1. यदि दो राशियों x और y का अनुपात x/y = k सदैव स्थिर रहे, तो वे सीधे समानुपात (Direct Proportion) में होती हैं।
मुख्य बिंदु 2
  1. सीधे समानुपात का कार्यकारी सूत्र x₁ / y₁ = x₂ / y₂ अथवा x₁ · y₂ = x₂ · y₁ होता है।
मुख्य बिंदु 3
  1. यदि दो राशियों का गुणनफल x · y = k सदैव स्थिर रहे, तो वे प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) में होती हैं।
मुख्य बिंदु 4
  1. प्रतिलोम समानुपात का कार्यकारी सूत्र x₁ · y₁ = x₂ · y₂ होता है।
मुख्य बिंदु 5
  1. खरीदी गई वस्तुओं की संख्या और मूल्य, तय की गई दूरी और समय सीधे समानुपात के उदाहरण हैं।
मुख्य बिंदु 6
  1. कार्य में लगे श्रमिकों की संख्या और दिन, वाहन की गति और यात्रा का समय प्रतिलोम समानुपात के उदाहरण हैं।
मुख्य बिंदु 7
  1. मानचित्र का पैमाना = (मानचित्र पर दूरी / वास्तविक दूरी) सीधे समानुपात पर आधारित होता है।
मुख्य बिंदु 8
  1. सीधे समानुपात का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सरल रेखा होता है।
मुख्य बिंदु 9
  1. किसी प्रश्न को हल करने से पहले तालिका बनाकर संबंध की प्रकृति (सीधा या प्रतिलोम) तय करना अनिवार्य है।
मुख्य बिंदु 10
  1. छात्रावास भोजन सामग्री या पाइप व टंकी के प्रश्न प्रतिलोम समानुपात के श्रेष्ठ व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
सीधे समानुपात में दोनों राशियों का क्या स्थिर रहता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: अनुपात (भागफल: x / y = k)।
एक राशि के बढ़ने पर दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़ती है।
2
प्रतिलोम समानुपात में दोनों राशियों का क्या स्थिर रहता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: गुणनफल (x · y = k)।
एक राशि बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में घटती है ताकि गुणनफल अपरिवर्तित रहे।
3
यदि 5 मीटर कपड़े का मूल्य ₹210 है, तो 2 मीटर कपड़े का मूल्य क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: ₹84
सीधा समानुपात: 210/5 × 2 = 42 × 2 = ₹84।
4
यदि 4 नल एक टंकी को 60 मिनट में भरते हैं, तो 6 नल उसी टंकी को कितने समय में भरेंगे?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 40 मिनट
प्रतिलोम समानुपात: 4 × 60 = 6 × t ⇒ t = 240 / 6 = 40 मिनट।
5
नक्शे पर पैमाना किस समानुपात का उदाहरण है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: सीधा समानुपात (Direct Proportion)
नक्शे की दूरी बढ़ने पर वास्तविक दूरी भी समान अनुपात में बढ़ती है।
अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?
अभ्यास के लिए तैयार?

ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर तैयारी का मूल्यांकन करें

झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

AI अध्ययन मित्र

त्वरित शंका समाधान

सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions) में कोई संदेह या प्रश्न है? हमारे AI अध्ययन मित्र से तुरंत समझें।