JCERT · कक्षा 8 · अध्याय 1 · परिमेय संख्याएँ। पाठ्यक्रम से मिलते विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण; पुस्तक के हर प्रश्न का पूर्ण हल नहीं।
झारखण्ड के दैनिक जीवन, बाजार में क्रय-विक्रय, भूमि मापन (डिसमिल, एकड़), वैज्ञानिक अनुसंधानों, सिविल इंजीनियरिंग के नक्शों और बैंकिंग वित्तीय गणनाओं में परिमेय संख्याओं का निरंतर प्रयोग होता है। यह अध्याय कक्षा 9 और 10 के वास्तविक संख्याओं (Real Numbers), अपरिमेय संख्याओं (Irrational Numbers) और उच्च बीजगणित का अनिवार्य आधार है।
JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 1 — परिमेय संख्याएँ
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 1–33. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).
विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; ये पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल नहीं हैं। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम में हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।
परिमेय संख्या p/q में p,q पूर्णांक और q अशून्य है। मानक रूप में हर धनात्मक और अंश-हर सह-अभाज्य होते हैं। तुलना के लिए समान धनात्मक हर लें। जोड़ और गुणन संवृत, क्रमविनिमेय तथा साहचर्य हैं; घटाव संवृत है। भाग के भाजक को शून्य नहीं ले सकते। दो अलग परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
5/12 की जाँच: 1/3 = 4/12 < 5/12 < 6/12 = 1/2। शून्य का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं है।
ऐसी संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक (Integers) हों तथा $q \neq 0$ हो, परिमेय संख्या (Rational Number) कहलाती है। शब्द "परिमेय" (Rational) की उत्पत्ति "अनुपात" (Ratio) शब्द से हुई है।
महत्वपूर्ण बिंदु:
A. धनात्मक परिमेय संख्याएँ (Positive):
जब अंश और हर दोनों के चिह्न समान हों (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक); जैसे—$\frac{3}{5}, \frac{-7}{-9} = \frac{7}{9}$।
B. ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ (Negative):
जब अंश और हर में से कोई एक ऋणात्मक हो; जैसे—$\frac{-4}{7}, \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$।
किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ को मानक रूप में कहा जाता है यदि:
परिमेय संख्याओं के चार मौलिक गुणधर्म गणितीय संक्रियाओं के आधार हैं:
| गुणधर्म (Property) | योग (+) | व्यवकलन (−) | गुणन (×) | विभाजन (÷) |
|---|---|---|---|---|
| 1. संवृत गुणधर्म (Closure) | हाँ ($a+b \in \mathbb{Q}$) | हाँ ($a-b \in \mathbb{Q}$) | हाँ ($a \times b \in \mathbb{Q}$) | नहीं (शून्य से भाग संभव नहीं) |
| 2. क्रमविनिमेयता (Commutative) | हाँ ($a+b = b+a$) | नहीं ($a-b \neq b-a$) | हाँ ($ab = ba$) | नहीं ($a \div b \neq b \div a$) |
| 3. साहचर्यता (Associative) | हाँ [$(a+b)+c = a+(b+c)$] | नहीं | हाँ [$(ab)c = a(bc)$] | नहीं |
किन्हीं भी तीन परिमेय संख्याओं $a, b, c$ के लिए:
वितरण नियम जटिल गणनाओं को बहुत सरल बना देता है; जैसे कॉमन संख्या को बाहर लेकर कोष्ठक के भीतर योग ज्ञात करना।
संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर धनात्मक तथा बाईं ओर ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ स्थित होती हैं:
किन्हीं दो प्राकृत संख्याओं या पूर्णांकों के बीच सीमित संख्याएँ होती हैं (जैसे 2 और 5 के बीच केवल 3 और 4), परंतु किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के मध्य अपरिमित रूप से अनेक (Infinitely Many) परिमेय संख्याएँ होती हैं। इसे परिमेय संख्याओं का सघनता गुणधर्म (Density Property) कहते हैं।
सर्वप्रथम दोनों संख्याओं के हरों को ल.स.प. द्वारा समान बनाते हैं। यदि अभीष्ट संख्याएँ न मिलें, तो अंश और हर में 10, 100 आदि से गुणा कर अंतराल बड़ा कर लेते हैं।
उदाहरण: $-\frac{2}{5}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच 10 संख्याएँ ज्ञात करने हेतु हर को 20 या 40 बना लेते हैं।
किन्हीं दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के ठीक बीच की परिमेय संख्या उनका औसत होती है:
$$c = \frac{a + b}{2}$$
इस प्रक्रिया को $a$ और $c$, तथा $c$ और $b$ के बीच दोहराकर जितनी चाहें उतनी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।
−6/8 = −3/4; (1/3 + 1/2)/2 = 5/12
5/12 की जाँच: 1/3 = 4/12 < 5/12 < 6/12 = 1/2। शून्य का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं है।
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