Home
School Syllabus
CBSE
Class XII
Mathematics
अध्याय 10: सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

माध्यम चुनें / Select Medium:

CBSE • कक्षा XII • Mathematics • अध्याय 10

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

सदिश बीजगणित (Vector Algebra) आधुनिक विज्ञान, त्रिविमीय ज्यामिति, इंजीनियरिंग यांत्रिकी तथा कंप्यूटर ग्राफिक्स की रीढ़ है। भौतिक राशियाँ दो श्रेणियों में विभाजित होती हैं: अदिश (Scalars), जिन्हें केवल परिमाण (Magnitude) द्वारा पूर्णतः व्यक्त किया जा सकता है (उदा. द्रव्यमान, आयतन, समय, तापमान), तथा सदिश (Vectors), जिन्हें पूर्णतः परिभाषित करने हेतु परिमाण के साथ-साथ एक निश्चित दिशा (Direction) तथा त्रिभुज नियम के पालन की आवश्यकता होती है (उदा. विस्थापन, वेग, बल, संवेग, चुंबकीय क्षेत्र)। प्रस्तुत अध्याय में मूलबिंदु के सापेक्ष किसी बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, उसका परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, एकांक सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$, दिक-कोज्याएँ ($l, m, n$ जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$) तथा दिक-अनुपात ($a, b, c$) का सविस्तार निरूपण किया गया है। इसके अतिरिक्त सदिशों के योग का त्रिभुज व समांतर चतुर्भुज नियम, खंड सूत्र (Section Formula), तथा सदिशों के दो प्रमुख गुणनफलों—1. अदिश गुणनफल (Dot / Scalar Product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$, जिसके द्वारा दो सदिशों के लंबवत होने की शर्त ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$) तथा एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप परिकलित होता है; तथा 2. सदिश गुणनफल (Cross / Vector Product) $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta \,\hat{n}$, जो सारणिक रूप में निकाला जाता है तथा त्रिभुज के क्षेत्रफल ($\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$), समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल, और संरेखीय होने की शर्त ($\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$) का आधार बनता है—का संपूर्ण सैद्धांतिक एवं परीक्षा-उन्मुख निरूपण प्रस्तुत किया गया है।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें

प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ हल उदाहरण सामान्य गलतियाँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

ड्रोन नेविगेशन, फाइटर जेट्स और 3D वीडियो गेम्स: जब दिशा के बिना दिशाहीन हो जाती है गति!

कल्पना कीजिए कि एक ड्रोन को हवा में $50\text{ km/h}$ की गति से उड़ाया जा रहा है, और उसी समय पश्चिम दिशा से $30\text{ km/h}$ का झोंका आता है। ड्रोन वास्तव में किस दिशा में और किस गति से जाएगा? इसका उत्तर साधारण अंकगणित नहीं दे सकता! इसके लिए हमें सदिशों का योग $\vec{v}_{\text{परिणामी}} = \vec{v}_{\text{ड्रोन}} + \vec{v}_{\text{हवा}}$ करना होता है। 3D गेमिंग में पबजी या फोर्टनाइट के कैरेक्टर की मूवमेंट, उपग्रहों के सोलर पैनल्स का सूर्य की ओर स्वतः झुकना (Dot Product), तथा रोबोटिक आर्म द्वारा वस्तुओं को घुमाना (Torque = $\vec{r} \times \vec{F}$) सदिश बीजगणित के बिना संभव ही नहीं है!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

CBSE तथा CBSE 12वीं गणित बोर्ड परीक्षा में यह अध्याय 6 से 8 अंकों का भार वहन करता है: 1. एकांक सदिश एवं प्रक्षेप (2 अंक): किसी सदिश की दिशा में मात्रक सदिश निकालना अथवा सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करना। 2. लंबवत एवं संरेख सदिश (2 या 3 अंक): $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ द्वारा अज्ञात चर $\lambda$ का मान ज्ञात करना। 3. वज्र गुणनफल द्वारा क्षेत्रफल (4 अंक): त्रिभुज अथवा समांतर चतुर्भुज (आसन्न भुजाओं अथवा विकर्णों द्वारा) का क्षेत्रफल। 4. त्रि-विमीय ज्यामिति (3D Geometry) का प्रवेश द्वार: आगामी अध्याय '3D Geometry' पूर्णतः सदिश बीजगणित के सूत्रों पर ही आधारित है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

त्रिकोणमिति के कोण मान एवं सूत्र ($\cos \theta, \sin \theta$)।
सारणिक (Determinants) का $3 \times 3$ प्रसार।
निर्देशांक ज्यामिति के दूरी व विभाजन सूत्र।

इस अध्याय के लक्ष्य

दिए गए सदिश का परिमाण, एकांक सदिश तथा दिक-कोज्याएँ एवं दिक-अनुपात ज्ञात करना।
खंड सूत्र द्वारा दो बिंदुओं को मिलाने वाले सदिश के अंतः एवं बाह्य विभाजन बिंदुओं के स्थिति सदिश प्राप्त करना।
अदिश (डॉट) गुणनफल की सहायता से दो सदिशों के मध्य कोण एवं प्रक्षेप ज्ञात करना तथा लंबवतता सिद्ध करना।
सारणिक विधि द्वारा सदिश (क्रॉस) गुणनफल की गणना करना।
क्रॉस गुणनफल का अनुप्रयोग कर त्रिभुज एवं समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल परिकलित करना।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. सदिशों की मूलभूत संकल्पना, स्थित...

2 2. सदिशों का योग, घटक रूप एवं खंड स...

3 3. अदिश (बिंदु / डॉट) गुणनफल एवं प्...

4 4. सदिश (वज्र / क्रॉस) गुणनफल एवं अ...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. सदिशों की मूलभूत संकल्पना, स्थिति सदिश एवं प्रकार (Vectors, Position Vector & Types)

1.1 स्थिति सदिश (Position Vector)

त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ के सापेक्ष किसी बिंदु $P(x, y, z)$ को मिलाने वाले दिष्ट रेखाखंड $\vec{OP}$ को बिंदु $P$ का स्थिति सदिश (Position Vector) कहते हैं:

$$\vec{r} = \vec{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$$

जहाँ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों के अनुदिश मात्रक सदिश हैं। इसका परिमाण:

$$|\vec{r}| = |\vec{OP}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

1.2 सदिशों के विभिन्न प्रकार

शून्य सदिश (Zero Vector $\vec{0}$): जिसका प्रारंभिक एवं अंतिम बिंदु संपाती हो; इसका परिमाण शून्य तथा दिशा अनिर्धारित होती है।
मात्रक सदिश (Unit Vector): जिसका परिमाण ठीक $1$ इकाई हो। सदिश $\vec{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश: $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$।
सह-प्रारंभिक सदिश (Co-initial Vectors): जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही हो।
संरेख सदिश (Collinear Vectors): जो एक ही रेखा के समांतर हों, चाहे उनके परिमाण व दिशाएं कुछ भी हों। $\vec{b} = \lambda \vec{a}$।
समान सदिश (Equal Vectors): जिनके परिमाण एवं दिशा दोनों परस्पर समान हों।
ऋणात्मक सदिश (Negative of a Vector): परिमाण समान किंतु दिशा ठीक विपरीत हो ($\vec{BA} = -\vec{AB}$)।

2. सदिशों का योग, घटक रूप एवं खंड सूत्र (Addition, Components & Section Formula)

2.1 सदिश योग का त्रिभुज नियम (Triangle Law of Vector Addition)

यदि दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ को किसी त्रिभुज की दो क्रमागत भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो त्रिभुज की तीसरी भुजा (विपरीत क्रम में) उनके योग $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ को प्रदर्शित करती है:

$$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$$

2.2 घटक रूप में दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश

यदि बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ तथा $Q(x_2, y_2, z_2)$ हों, तो सदिश $\vec{PQ}$:

$$\vec{PQ} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$$$$|\vec{PQ}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

2.3 खंड सूत्र (Section Formula)

स्थिति सदिश $\vec{a}$ एवं $\vec{b}$ वाले दो बिंदुओं $A$ और $B$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$:

अंतः विभाजन (Internal Division): $\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$
बाह्य विभाजन (External Division): $\vec{r} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}$
मध्य-बिंदु (Mid-point): $\vec{r} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

3. अदिश (बिंदु / डॉट) गुणनफल एवं प्रक्षेप (Scalar / Dot Product & Projection)

3.1 परिभाषा एवं गुणधर्म

दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल एक वास्तविक संख्या (अदिश) होता है:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \quad (0 \le \theta \le \pi)$$

घटक रूप में: यदि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ तथा $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$, तब:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

महत्वपूर्ण निष्कर्ष:

क्रम-विनिमेय नियम: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
लंबवत होने की अनिवार्य शर्त: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$
स्वयं से गुणनफल: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$
मात्रक सदिशों का गुणन: $\hat{i}\cdot\hat{i} = \hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1$ तथा $\hat{i}\cdot\hat{j} = \hat{j}\cdot\hat{k} = \hat{k}\cdot\hat{i} = 0$
दो सदिशों के मध्य कोण: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

3.2 एक सदिश का दूसरे सदिश पर प्रक्षेप (Projection of a Vector)

सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप (Projection):

$$\text{प्रक्षेप} = \vec{a} \cdot \hat{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

4. सदिश (वज्र / क्रॉस) गुणनफल एवं अनुप्रयोग (Vector / Cross Product & Applications)

4.1 परिभाषा एवं सारणिक रूप

दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल एक ऐसा सदिश होता है जिसकी दिशा $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत (दाएं हाथ के पेंच नियम / Right Hand Thumb Rule) होती है:

$$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \, \hat{n}$$

सारणिक (Determinant) द्वारा गणना:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

महत्वपूर्ण गुणधर्म:

प्रति-क्रमविनिमेय (Anti-commutative): $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
संरेख / समांतर होने की शर्त: $\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$
मात्रक सदिशों का चक्रीय गुणन: $\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}, \; \hat{j}\times\hat{k} = \hat{i}, \; \hat{k}\times\hat{i} = \hat{j}$ तथा $\hat{i}\times\hat{i} = \vec{0}$
दोनों सदिशों के लंबवत एकांक सदिश: $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

4.2 ज्यामितीय अनुप्रयोग: क्षेत्रफलों की गणना

त्रिभुज का क्षेत्रफल (आसन्न भुजाएं $\vec{a}$ और $\vec{b}$):
$$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$$
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (आसन्न भुजाएं $\vec{a}$ और $\vec{b}$):
$$\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$$
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (विकर्ण $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ दिए होने पर):
$$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

सदिश का परिमाण (Magnitude)

$$|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

मात्रक सदिश (Unit Vector)

$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

अदिश गुणनफल (Dot Product)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

लंबवतता की शर्त (Condition for Orthogonality)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$$

प्रक्षेप का सूत्र (Projection of a on b)

$$\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

सदिश गुणनफल (Cross Product)

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

लंबवत मात्रक सदिश (Normal Unit Vector)

$$\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$$

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)

$$\Delta = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - भुजाएं (Parallelogram Area - Sides)

$$\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - विकर्ण (Parallelogram Area - Diagonals)

$$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$$

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए। [CBSE 2018, 2022]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान ज्ञात करना:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(2) + (2)(1) = 2 + 6 + 2 = 10$$

चरण 2: सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}|$ निकालना:
$$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$

चरण 3: प्रक्षेप के सूत्र में मान रखना:
सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप:
$$\text{प्रक्षेप} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$$

उदाहरण 2

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ तथा $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हों, तो सदिशों $(\vec{a} + \vec{b})$ तथा $(\vec{a} - \vec{b})$ दोनों के लंबवत एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। [CBSE 2019, 2023]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: $(\vec{a} + \vec{b})$ तथा $(\vec{a} - \vec{b})$ ज्ञात करना:
माना $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} = (1+1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
माना $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = (1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$

चरण 2: वज्र गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ निकालना:
$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$
$$= \hat{i}((-3)(-2) - (4)(-1)) - \hat{j}((2)(-2) - 0) + \hat{k}((2)(-1) - 0)$$
$$= \hat{i}(-6 + 4) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(-2 - 0) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$$

चरण 3: परिमाण $|\vec{u} \times \vec{v}|$ निकालना:
$$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

चरण 4: अभीष्ट मात्रक सदिश:
$$\hat{n} = \pm \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{6}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$$

उदाहरण 3

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण $\vec{d}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ तथा $\vec{d}_2 = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं। [NCERT / CBSE 2020, 2024]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: विकर्णों का वज्र गुणनफल $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ ज्ञात करना:
$$\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}$$
$$= \hat{i}((1)(4) - (-2)(-3)) - \hat{j}((3)(4) - (-2)(1)) + \hat{k}((3)(-3) - (1)(1))$$
$$= \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(12 + 2) + \hat{k}(-9 - 1) = -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k}$$

चरण 2: परिमाण $|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ ज्ञात करना:
$$|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$

चरण 3: क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखना:
विकर्णों द्वारा समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल:
$$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| = \frac{1}{2} (10\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}\text{ वर्ग इकाई}$$

उदाहरण 4

दर्शाइए कि बिंदु $A(1, 2, 7)$, $B(2, 6, 3)$ तथा $C(3, 10, -1)$ संरेख हैं। [CBSE 2017, 2021]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: सदिश $\vec{AB}$ तथा $\vec{BC}$ ज्ञात करना:
$$\vec{AB} = (2 - 1)\hat{i} + (6 - 2)\hat{j} + (3 - 7)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$$
$$\vec{BC} = (3 - 2)\hat{i} + (10 - 6)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$$

चरण 2: संबंध स्थापित करना:
हम स्पष्टतः देख सकते हैं कि:
$$\vec{BC} = 1 \cdot \vec{AB}$$
चूँकि $\vec{BC} = \lambda \vec{AB}$ (जहाँ $\lambda = 1$), अतः सदिश $\vec{AB}$ तथा $\vec{BC}$ समांतर (संरेख) हैं।
इसके अतिरिक्त दोनों सदिशों में बिंदु $B$ उभयनिष्ठ (Common) है।
अतः तीनों बिंदु $A, B, C$ अनिवार्य रूप से संरेख (Collinear) हैं। इति सिद्धम्।

उदाहरण 5

यदि सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ तथा $\vec{c} = 3\hat{i} + \lambda\hat{j} + 5\hat{k}$ एक-समतलीय (Coplanar) हों, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए। [CBSE 2019, 2022]

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: एक-समतलीय सदिशों की शर्त:
तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक-समतलीय (Coplanar) होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो:
$$[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$$

चरण 2: सारणिक में मान रखना:
$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$$

चरण 3: प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करना:
$$2(2(5) - (-3)(\lambda)) - (-1)(1(5) - (-3)(3)) + 1(1(\lambda) - 2(3)) = 0$$
$$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$$
$$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$$
$$7\lambda + 28 = 0 \implies 7\lambda = -28 \implies \lambda = -4$$
उत्तर: $\lambda$ का अभीष्ट मान $-4$ है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

डॉट गुणनफल और क्रॉस गुणनफल के प्रतीकों को आपस में बदल देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

a · b एक अदिश राशि है, जबकि a × b एक सदिश राशि है। कभी भी a · b को a × b के रूप में न लिखें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

क्रॉस गुणनफल में क्रम उलटते समय ऋण चिह्न न लगाना (a × b = b × a मान लेना)।

सही वैज्ञानिक तथ्य

क्रॉस गुणनफल प्रति-क्रमविनिमेय होता है: a × b = -(b × a)।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

विकर्णों द्वारा समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालते समय 1/2 लगाना भूल जाना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

यदि आसन्न भुजाएं a व b दी हों, तो Area = |a × b| होता है, परंतु यदि विकर्ण d₁ व d₂ दिए हों, तो Area = (1/2)|d₁ × d₂| होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

प्रक्षेप निकालते समय जिस पर प्रक्षेप है (b), उसके परिमाण से भाग देने के बजाय a के परिमाण से भाग दे देना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

a का b पर प्रक्षेप = (a · b) / |b| होता है (हर में आधार सदिश b का परिमाण आता है)।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम एवं लंबवत सदिश गुणनफल (a × b)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

स्थिति सदish r = xi + yj + zk का परिमाण |r| = √(x² + y² + z²) होता है।

मुख्य बिंदु 2

किसी सदिश की दिशा में मात्रक सदिश â = a / |a| होता है।

मुख्य बिंदु 3

दिक-कोज्याओं l, m, n में संबंध l² + m² + n² = 1 होता है।

मुख्य बिंदु 4

अदिश (डॉट) गुणनफल a · b = |a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ होता है।

मुख्य बिंदु 5

दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि a · b = 0 हो।

मुख्य बिंदु 6

सदिश a का b पर प्रक्षेप (a · b) / |b| होता है।

मुख्य बिंदु 7

सदिश (क्रॉस) गुणनफल a × b = सारणिक [i j k; a₁ a₂ a₃; b₁ b₂ b₃] द्वारा प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु 8

दो सदिश समांतर / संरेख होते हैं यदि और केवल यदि a × b = 0 हो।

मुख्य बिंदु 9

आसन्न भुजाओं a व b वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |a × b| होता है।

मुख्य बिंदु 10

विकर्णों d₁ व d₂ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (1/2)|d₁ × d₂| होता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

यदि सदिश a = 2i + λj + k तथा b = i - 2j + 3k परस्पर लंबवत हों, तो λ का मान क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: A

सदिश i - j की दिशा में मात्रक सदिश (Unit Vector) क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: C

यदि |a| = 2, |b| = 7 तथा a × b = 3i + 2j + 6k हो, तो a और b के मध्य कोण θ क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: A

सदिश गुणनफल i × (j × k) का मान क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: D

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर तैयारी का मूल्यांकन करें

झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स

कक्षा 12 Mathematics के सभी अध्याय

AI अध्ययन मित्र

त्वरित शंका समाधान

सदिश बीजगणित (Vector Algebra) में कोई संदेह या प्रश्न है? हमारे AI अध्ययन मित्र से तुरंत समझें।

💬 "मुख्य अवधारणाओं को समझाइए" 💬 "सामान्य गलतियाँ क्या हैं?" 💬 "परीक्षा की तैयारी कैसे करें?"