दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप:
$$a_1x + b_1y + c_1 = 0$$ $$a_2x + b_2y + c_2 = 0$$जहाँ $a_1^2 + b_1^2 \neq 0$ तथा $a_2^2 + b_2^2 \neq 0$ है।
(ख) अनुपातों की तुलना एवं हलों की प्रकृति (अति महत्वपूर्ण - CBSE 2 अंक):
| अनुपातों की तुलना | ज्यामितीय (आलेखीय) निरूपण | बीजीय निरूपण (हल की संख्या) | युग्म की प्रकृति |
|---|---|---|---|
| $$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$$ | प्रतिच्छेदी रेखाएं (केवल 1 बिंदु पर काटती हैं) | अद्वितीय हल (केवल एक हल) | संगत (Consistent) |
| $$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}}$$ | संपाती रेखाएं (एक-दूसरे के ऊपर स्थित) | अपरिमित रूप से अनेक हल | आश्रित संगत (Dependent) |
| $$\mathbf{\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}$$ | समानांतर रेखाएं (कभी नहीं मिलतीं) | कोई हल नहीं (No Solution) | असंगत (Inconsistent) |
सावधानी: गुणांकों की तुलना करने से पहले दोनों समीकरणों को एक ही प्रारूप में व्यवस्थित करें—या तो दोनों के अचर पद बराबर के बाईं ओर ($ax + by + c = 0$) हों, या दोनों के दाईं ओर ($ax + by = c$) हों।