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Class 8
Mathematics
अध्याय 14: द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल

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झारखण्ड बोर्ड (JAC) • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 14

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल

JCERT · कक्षा 8 · अध्याय 14 · द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल। पाठ्यक्रम से मिलते विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण; पुस्तक के हर प्रश्न का पूर्ण हल नहीं।

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यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पिछली कक्षा की संबंधित अवधारणाएँ दोहराएँ।

इस अध्याय के लक्ष्य

आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, त्रिभुज और वृत्त का क्षेत्रफल दोहराएँ। समलंब और समचतुर्भुज के क्षेत्रफल में लंबवत ऊँचाई या विकर्ण का सही उपयोग करें। सामान्य बहुभुज को त्रिभुज तथा अन्य परिचित हिस्सों में बाँटें; साझा क्षेत्रफल दो बार न जोड़ें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 पाठ्यक्रम, पुस्तक और नोट्स का मिलान

2 अवधारणा और विधि

3 जाँच और सावधानी

4 1. समलंब एवं सामान्य चतुर्भुज का क्...

5 2. समचतुर्भुज एवं बहुभुज का क्षेत्र...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

पाठ्यक्रम, पुस्तक और नोट्स का मिलान

JCERT · सामान्य विद्यालय (Non-SOE) · कक्षा 8 · अध्याय 14 — द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल
आधिकारिक पाठ्यक्रम पृष्ठ 206–221. आधिकारिक पाठ्यक्रम · निर्धारित हिन्दी पुस्तक (17 अध्याय).

विषय नोट्स और शिक्षण उदाहरण इस अध्याय के लिए हैं; ये पुस्तक की हर प्रश्नावली का पूर्ण हल नहीं हैं। अंग्रेजी नोट्स भी इसी JCERT क्रम में हैं; matching English textbook PDF सत्यापित नहीं है।

स्रोत समस्या: इस अध्याय की मूल DIKSHA PDF क्षतिग्रस्त है। ये पाठ्यक्रम से मिलते विषय नोट्स हैं; मूल PDF के हर प्रश्न का मिलान या पूर्ण समाधान सत्यापित नहीं है।

अवधारणा और विधि

आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, त्रिभुज और वृत्त का क्षेत्रफल दोहराएँ। समलंब और समचतुर्भुज के क्षेत्रफल में लंबवत ऊँचाई या विकर्ण का सही उपयोग करें। सामान्य बहुभुज को त्रिभुज तथा अन्य परिचित हिस्सों में बाँटें; साझा क्षेत्रफल दो बार न जोड़ें।

जाँच और सावधानी

ऊँचाई समांतर भुजाओं के बीच लंबवत दूरी है, तिरछी भुजा नहीं।

1. समलंब एवं सामान्य चतुर्भुज का क्षेत्रफल

समलंब चतुर्भुज (Trapezium): ऐसा चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समांतर (Parallel) हो, समलंब कहलाता है।

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2}(a + b)h$$

जहाँ $a$ और $b$ समांतर भुजाओं की लंबाइयाँ हैं तथा $h$ उनके बीच की लंबवत दूरी (ऊँचाई) है।

सामान्य चतुर्भुज का क्षेत्रफल:

किसी भी सामान्य चतुर्भुज को एक विकर्ण $d$ खींचकर दो त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है। यदि सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर डाले गए लंबों की लंबाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हों:

$$\text{चतुर्भुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2)$$

2. समचतुर्भुज एवं बहुभुज का क्षेत्रफल

समचतुर्भुज (Rhombus): ऐसा समांतर चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ समान हों। इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण (90°) पर समद्विभाजित करते हैं।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$

जहाँ $d_1$ तथा $d_2$ दोनों विकर्णों की लंबाइयाँ हैं।

अनियमित बहुभुज (Irregular Polygon) का क्षेत्रफल:

अमीन या सर्वेक्षक किसी अनियमित खेत या बहुभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे एक मुख्य विकर्ण के अनुदिश विभिन्न समकोण त्रिभुजों और समलंब चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं। सभी उप-भागों के क्षेत्रफलों को जोड़कर बहुभुज का कुल क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

मुख्य संबंध

Trapezium:A=(a+b)h/2; rhombus:A=d1d2/2

सूत्र की शर्तों और इकाइयों का ध्यान रखें।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

समलंब की समांतर भुजाएँ 8cm,14cm और ऊँचाई 5cm हैं। क्षेत्रफल?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

A=(8+14)×5/2=55cm²

ऊँचाई समांतर भुजाओं के बीच लंबवत दूरी है, तिरछी भुजा नहीं।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स