सहसंबंध

एकचर सांख्यिकी में हम किसी एक ही चर (जैसे राष्ट्रीय आय, मजदूरी या खाद्यान्न मूल्य) के स्वभाव का अध्ययन करते हैं। परंतु आर्थिक जीवन में चर कभी एकाकी नहीं होते। जब दो चर इस प्रकार संबंधित हों कि एक चर के मान में परिवर्तन होने पर दूसरे चर के मान में भी एक निश्चित या नियमित परिवर्तन परिलक्षित हो, तो दोनों चरों को सहसंबंधित (Correlated) कहा जाता है।

प्रमुख सांख्यिकीविदों द्वारा दी गई परिभाषाएं:

• क्रॉक्सटन एवं काउडेन (Croxton & Cowden): "जब दो चरों के बीच का संबंध परिमाणात्मक प्रकृति का हो, तो उस संबंध का पता लगाने, उसे मापने और एक संक्षिप्त सूत्र द्वारा व्यक्त करने की सांख्यिकीय विधि को सहसंबंध कहते हैं।"
• ए. एम. टटल (A. M. Tuttle): "दो या दो से अधिक चरों के सह-विचरण (covariation) का विश्लेषण ही सहसंबंध कहलाता है।"
• बॉडिंगटन (Boddington): "जब दो या दो से अधिक समंक श्रेणियों के मध्य कोई निश्चित संबंध पाया जाता है, तो यह कहा जाता है कि उनमें सहसंबंध विद्यमान है।"

एक ही अवलोकन इकाई के दो विभिन्न लक्षणों के एक साथ संकलित समंकों (जैसे किसी व्यक्ति की ऊंचाई एवं भार, वस्तु की कीमत एवं मांग की मात्रा, रासायनिक खाद की मात्रा एवं गेहूं का प्रति हेक्टेयर उत्पादन) को द्विचर समंक कहा जाता है। इसे युग्मित प्रेक्षणों $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

सहसंबंध का अध्ययन करने की सबसे सरल, प्राथमिक एवं अ-गणितीय विधि विक्षेप आरेख (Scatter Diagram) है। इसमें बिना किसी जटिल गणना के केवल आंखों से देखकर दो चरों के पारस्परिक संबंध की दिशा और प्रकृति का तुरंत अनुमान लगाया जा सकता है।

निर्माण के क्रमबद्ध चरण:

1. स्वतंत्र चर को क्षैतिज अक्ष ($X$-अक्ष) पर तथा आश्रित या संबंधित चर को ऊर्ध्वाधर अक्ष ($Y$-अक्ष) पर अंकित किया जाता है।
2. दोनों अक्षों पर समंकों के विस्तार के अनुसार उपयुक्त एवं समानुपातिक पैमाना चुना जाता है।
3. समंकों के प्रत्येक युग्म $(x_i, y_i)$ को ग्राफ पेपर पर एक बिंदु ($\bullet$) द्वारा दर्शाया जाता है।
4. अंकित बिंदुओं का यह समूह ही विक्षेप आरेख कहलाता है। बिंदुओं के फैलाव, झुकाव और बनावट से सहसंबंध की मात्रा ज्ञात की जाती है।

• गुण:
  • अत्यंत सरल एवं बोधगम्य विधि; बिना गणितीय ज्ञान के भी सामान्य व्यक्ति समझ सकता है।
  • संबंध रैखिक है अथवा वक्रीय, तथा धनात्मक है या ऋणात्मक—यह एक दृष्टि में स्पष्ट हो जाता है।
  • असामान्य या चरम मानों (Extreme Outliers) की तुरंत पहचान हो जाती है।
• सीमाएं:
  • यह केवल एक गुणात्मक चित्र प्रस्तुत करता है; सहसंबंध का कोई निश्चित संख्यात्मक मान नहीं दे पाता।
  • व्यक्तिपरक व्याख्या: अलग-अलग व्यक्ति बिंदुओं के फैलाव को देखकर अलग-अलग अनुमान लगा सकते हैं।
  • दो से अधिक चरों के जटिल संबंधों का विश्लेषण इससे संभव नहीं है।

ब्रिटिश जीवसांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने 1896 में दो परिमाणात्मक चरों के मध्य रैखिक सहसंबंध को मापने के लिए सबसे प्रमाणिक एवं वैज्ञानिक गणितीय विधि का प्रतिपादन किया, जिसे गुणन-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक (Product-Moment Correlation Coefficient) या संक्षेप में $r$ कहा जाता है।

पियर्सन के अनुसार, $r$ दो चरों के सह-प्रसरण (Covariance) तथा उनके व्यक्तिगत मानक विचलनों (Standard Deviations) के गुणनफल का अनुपात है:

जहां:

• $\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{N}\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) = \frac{\sum xy}{N}$ (जहां $x = X - \bar{X}$ तथा $y = Y - \bar{Y}$)
• $\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{N}\sum (X - \bar{X})^2} = \sqrt{\frac{\sum x^2}{N}}$
• $\sigma_Y = \sqrt{\frac{1}{N}\sum (Y - \bar{Y})^2} = \sqrt{\frac{\sum y^2}{N}}$

इन मानों को अनुपात में रखने पर $N$ निरस्त हो जाता है और व्यावहारिक सूत्र प्राप्त होता है:

उच्च माध्यमिक परीक्षा में सहसंबंध की विशेषताओं पर आधारित सैद्धांतिक एवं संख्यात्मक प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं:

सहसंबंध गुणांक का संख्यात्मक मान $-1$ से कम अथवा $+1$ से अधिक कभी नहीं हो सकता:

गणितीय औचित्य: यह गुणधर्म कॉशी-श्वार्ज़ असमिका (Cauchy-Schwarz Inequality) से सिद्ध होता है: $[\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})]^2 \le [\sum (x-\bar{x})^2][\sum (y-\bar{y})^2]$, जिससे $r^2 \le 1$ प्राप्त होता है। यदि परीक्षा में आपका उत्तर $r = 1.25$ या $r = -1.40$ आता है, तो निश्चित रूप से गणना में त्रुटि हुई है।

सहसंबंध गुणांक का मान मूल बिंदु में परिवर्तन (संख्या जोड़ने या घटाने) तथा पैमाने में परिवर्तन (संख्या से गुणा या भाग करने) से पूर्णतः अप्रभावित रहता है।

यदि $U = \frac{X - a}{h}$ तथा $V = \frac{Y - b}{k}$ हो, तो:

• यदि $h$ और $k$ के चिह्न समान हों (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक), तो $r_{UV} = r_{XY}$ रहता है।
• यदि $h$ और $k$ के चिह्न विपरीत हों (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक), तो सहसंबंध का चिह्न उलट जाता है: $r_{UV} = -r_{XY}$।

$r$ सह-प्रसरण तथा मानक विचलनों के गुणनफल का अनुपात है। अंश और हर की भौतिक इकाइयां (जैसे रुपया, किलोग्राम, मीटर) आपस में कट जाती हैं। शुद्ध संख्या होने के कारण भिन्न-भिन्न इकाइयों में मापे गए चरों के संबंधों की भी प्रत्यक्ष तुलना की जा सकती है।

सहसंबंध चरों के स्थान परिवर्तन के प्रति सममित होता है: $r_{XY} = r_{YX}$। कीमत एवं मांग का सहसंबंध तथा मांग एवं कीमत का सहसंबंध पूर्णतः एक ही होता है।

$r = 0$ केवल यह दर्शाता है कि चरों के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं है। इसका अर्थ यह नहीं है कि दोनों चर पूर्णतः स्वतंत्र हैं; उनके बीच एक सुदृढ़ वक्रीय या परवलयिक संबंध (उदा. $Y = X^2$) हो सकता है।

न्यादर्श से प्राप्त सहसंबंध गुणांक की प्रामाणिकता तथा समग्र में उसके अस्तित्व की पुष्टि हेतु संभाव्य विभ्रम ($PE_r$) का प्रयोग किया जाता है:

निर्णय की कसौटियां:

• यदि $r < PE_r$ हो, तो सहसंबंध नगण्य या सारहीन माना जाता है।
• यदि $r > 6 \times PE_r$ हो, तो सहसंबंध निश्चित रूप से महत्वपूर्ण (Highly Significant) माना जाता है।

अर्थशास्त्र और समाजशास्त्र में अनेक महत्वपूर्ण चर ऐसे होते हैं जिन्हें संख्यात्मक पैमानों पर सीधे नहीं मापा जा सकता (जैसे बुद्धिमत्ता, सुंदरता, ईमानदारी, नेतृत्व क्षमता, उपभोक्ता वरीयता आदि)। परंतु किसी प्रतियोगिता या सर्वेक्षण में व्यक्तियों को उनकी योग्यता के आधार पर क्रमानुसार (१, २, ३...) रैंक या कोटि दी जा सकती है।

1904 में ब्रिटिश मनोवैज्ञानिक चार्ल्स एडवर्ड स्पीयरमैन ने ऐसी कोटियों के मध्य संबंध मापने हेतु कोटि सहसंबंध गुणांक (Rank Correlation Coefficient) का प्रतिपादन किया, जिसे $R$ या $\rho$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह एक अप्राचलिक (non-parametric) माप है।

जब प्रत्येक समंक की कोटि अलग और अद्वितीय हो, तो सूत्र निम्नवत है:

जहां:

• $D = R_1 - R_2$ दोनों श्रेणियों में एक ही इकाई की कोटियों का अंतर है।
• $\sum D^2$ कोटि अंतरों के वर्गों का योग है।
• $N$ कुल युग्मों या प्रतिभागियों की संख्या है।

जब किसी श्रेणी में दो या दो से अधिक मान समान हों, तो उन्हें औसत कोटि नियम (Average Rank Rule) द्वारा रैंक दी जाती है। जैसे, यदि दो मान समान होकर ३रे और ४थे स्थान पर आते हैं, तो दोनों को $\frac{3+4}{2} = 3.5$ रैंक दी जाएगी। अगला मान सीधे ५वें स्थान पर आएगा।

समान कोटियों के कारण प्रत्येक समान मानों के समूह के लिए $\frac{m(m^2-1)}{12}$ का संशोधन पद $\sum D^2$ में जोड़ा जाता है (जहां $m$ उस मान की पुनरावृत्ति संख्या है):

यदि कोई संख्या २ बार दोहराई गई है ($m=2$), तो संशोधन पद $\frac{2(4-1)}{12} = 0.5$ होगा।

सहसंबंध का उपयोग आर्थिक विश्लेषण के प्रत्येक क्षेत्र में व्यापक रूप से होता है:

• मांग का नियम एवं लोच: कीमत एवं मांग के बीच ऋणात्मक सहसंबंध ($r < 0$) यह प्रमाणित करता है कि वस्तु सामान्य है। यदि यह धनात्मक हो तो गिफिन या प्रतिष्ठासूचक वस्तु की पहचान होती है।
• कीन्स का उपभोग फलन: जॉन मेनार्ड कीन्स के अनुसार प्रयोज्य आय बढ़ने पर उपभोग बढ़ता है। भारतीय समष्टिगत आंकड़ों में आय और उपभोग के बीच $r > +0.90$ का प्रबल धनात्मक सहसंबंध पाया जाता है।
• फिलिप्स वक्र (Phillips Curve): बेरोजगारी की दर तथा मुद्रास्फीति के मध्य ऐतिहासिक ऋणात्मक सहसंबंध केंद्रीय बैंकों को रोजगार एवं मुद्रास्फीति के मध्य संतुलन स्थापित करने में मार्गदर्शन देता है।
• पोर्टफोलियो विविधीकरण: वित्तीय अर्थशास्त्र में विभिन्न प्रतिभूतियों के बीच ऋणात्मक या शून्य सहसंबंध होने पर उन्हें मिलाकर निवेश करने से कुल जोखिम न्यूनतम हो जाता है।

1. मिथ्या या भ्रामक सहसंबंध (Spurious Correlation): दो पूर्णतः स्वतंत्र समंकों में समय के साथ केवल दीर्घकालिक वृद्धि होने से उच्च सहसंबंध दिख सकता है (उदा. देश में मोबाइल फोन की बिक्री और साक्षरता दर दोनों का स्वतंत्र रूप से बढ़ना)।
2. गौण चर का प्रभाव (Confounding Factor): गर्मियों में तैराकी के दौरान डूबने की घटनाओं और शीतल पेय की बिक्री में धनात्मक सहसंबंध दिखता है। इसका वास्तविक कारण अत्यधिक गर्मी (तीसरा चर) है।
3. अरैखिक संबंध की अनदेखी: कर की दरों और कुल कर राजस्व (लाफर वक्र) के बीच स्पष्ट संबंध होते हुए भी संपूर्ण समंकों पर रैखिक सहसंबंध $r = 0$ आ सकता है।
4. समंक विस्तार का संकुचन: किसी सीमित वर्ग के आंकड़ों का ही अध्ययन करने पर वास्तविक सहसंबंध दब सकता है।

समस्या के समाधान हेतु उपयुक्त विधि का चयन निम्न प्रकार करें:

• परिमाणात्मक संख्यात्मक समंक एवं रैखिक संबंध? $\rightarrow$ कार्ल पियर्सन की प्रत्यक्ष या लघु विधि ($r$)।
• गुणात्मक लक्षण (सुंदरता, ईमानदारी, प्रतियोगिता रैंकिंग) या कोटियां? $\rightarrow$ स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध ($R$)।
• प्रारंभिक आरेखीय निरीक्षण अथवा अरैखिक रुझान परखना? $\rightarrow$ विक्षेप आरेख (Scatter Diagram)।