সহসম্বন্ধ

একচলক রাশিবিজ্ঞানে আমরা একটিমাত্র চলকের (যেমন জাতীয় আয়, শ্রমিকের মজুরি বা চালের দাম) বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করি। কিন্তু বাস্তব অর্থনৈতিক জীবনে চলকসমূহ কখনোই একক বা বিচ্ছিন্ন থাকে না। যখন দুটি চলক এমনভাবে সম্পর্কিত থাকে যে একটির পরিবর্তনের সঙ্গে সঙ্গে অপর চলকটিতেও একটি নির্দিষ্ট বা নিয়মানুগ পরিবর্তন লক্ষ করা যায়, তখন চলক দুটিকে সহসম্বন্ধযুক্ত (Correlated) বলা হয়।

বিখ্যাত রাশিবিজ্ঞানীদের প্রদত্ত সংজ্ঞা:

• ক্রক্সটন ও কাউডেন (Croxton & Cowden): "যখন দুটি চলকের সম্পর্ক পরিমাণগত প্রকৃতির হয়, তখন সেই সম্পর্ক আবিষ্কার ও পরিমাপ করার এবং একটি সংক্ষিপ্ত সূত্রে প্রকাশ করার রাশিবিজ্ঞানসম্মত পদ্ধতিকে সহসম্বন্ধ বলে।"
• এ. এম. টাটল (A. M. Tuttle): "দুই বা ততোধিক চলকের মধ্যে সহ-পরিবর্তন (covariation) বিশ্লেষণকেই সহসম্বন্ধ বলা হয়।"
• বডিংটন (Boddington): "যখন দুই বা ততোধিক রাশিমালার মধ্যে কোনো নির্দিষ্ট সংযোগ বা সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে, তখন তাদের মধ্যে সহসম্বন্ধ রয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়।"

একই পর্যবেক্ষণ এককের দুটি ভিন্ন বৈশিষ্ট্যের যুগপৎ সংগৃহীত তথ্যকে (যেমন একজন ব্যক্তির উচ্চতা ও ওজন, দ্রব্যের মূল্য ও চাহিদার পরিমাণ, জমিতে সারের পরিমাণ ও ধান উৎপাদন) দ্বিচলক রাশিমালা বলা হয়। একে জোড়া মান হিসেবে $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ আকারে প্রকাশ করা হয়।

সহসম্বন্ধকে মূলত তিনটি ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়:

সহসম্বন্ধ অধ্যয়নের সবচেয়ে সহজ, দৃষ্টিগ্রাহ্য ও অ-গাণিতিক পদ্ধতি হলো বিক্ষোপ চিত্র (Scatter Diagram)। এতে জটিল কোনো গণনা ছাড়াই চোখে দেখে দুটি চলকের মধ্যকার সম্পর্কের রূপরেখা ও দিক বোঝা যায়।

অঙ্কনের ধারাবাহিক ধাপসমূহ:

1. স্বাধীন চলককে অনুভূমিক অক্ষে ($X$-অক্ষ) এবং নির্ভরশীল চলককে উল্লম্ব অক্ষে ($Y$-অক্ষ) স্থাপন করতে হবে।
2. উভয় অক্ষে তথ্যের বিস্তার অনুযায়ী সুবিধাজনক ও সমানুপাতিক স্কেল বা পরিমাপ নির্ধারণ করতে হবে।
3. প্রতিটি পর্যবেক্ষণ জোড়া $(x_i, y_i)$-কে ছক কাগজে একটি করে স্বতন্ত্র বিন্দু ($\bullet$) আকারে চিহ্নিত করতে হবে।
4. ছক কাগজে অঙ্কিত বিন্দুসমূহের সামগ্রিক সমাবেশই হলো বিক্ষোপ চিত্র। বিন্দুগুলির বিস্তৃতি, ঝোঁক এবং আকৃতি দেখেই সহসম্বন্ধের প্রকৃতি নির্ধারণ করা হয়।

• সুবিধাসমূহ:
  • অত্যন্ত সহজ ও দৃষ্টিগ্রাহ্য; গাণিতিক হিসাব-নিকাশ না জেনেই যে কেউ এটি বুঝতে পারেন।
  • সম্পর্কটি রৈখিক নাকি বক্ররৈখিক, এবং ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক—তা এক নজরে স্পষ্ট হয়ে ওঠে।
  • চরম বিষম মান (Extreme Outliers) সহজেই শনাক্ত করা যায়।
• সীমাবদ্ধতাসমূহ:
  • এটি কেবলমাত্র গুণগত চিত্র তুলে ধরে; সহসম্বন্ধের কোনো নির্দিষ্ট গাণিতিক মান প্রদান করতে পারে না।
  • ব্যক্তিগত পর্যবেক্ষকের ওপর নির্ভরশীল; বিভিন্ন ব্যক্তি একই বিক্ষোপ চিত্রকে ভিন্নভাবে মূল্যায়ন করতে পারেন।
  • একসঙ্গে দুইয়ের অধিক চলকের জটিল সম্পর্ক পরিমাপ করা সম্ভব নয়।

১৮৯৬ খ্রিস্টাব্দে প্রখ্যাত ব্রিটিশ জীবপরিসংখ্যানবিদ কার্ল পিয়ার্সন দুটি পরিমাণগত চলকের মধ্যকার রৈখিক সম্পর্কের মাত্রা নির্ণয়ের জন্য যে বিজ্ঞানসম্মত গাণিতিক পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন, তাকে গুণ-পরিঘাত সহসম্বন্ধ গুণাঙ্ক (Product-Moment Correlation Coefficient) বা সংক্ষেপে $r$ বলা হয়।

পিয়ার্সন $r$-কে সংজ্ঞায়িত করেছেন দুটি চলকের মধ্যকার সহ-ভেদাঙ্ক (Covariance) এবং তাদের পৃথক পরিমিত ব্যবধানের (Standard Deviations) গুণফলের অনুপাত হিসেবে:

যেখানে:

• $\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{N}\sum (X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) = \frac{\sum xy}{N}$ (যেখানে $x = X - \bar{X}$ এবং $y = Y - \bar{Y}$)
• $\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{N}\sum (X - \bar{X})^2} = \sqrt{\frac{\sum x^2}{N}}$
• $\sigma_Y = \sqrt{\frac{1}{N}\sum (Y - \bar{Y})^2} = \sqrt{\frac{\sum y^2}{N}}$

উক্ত মানগুলি সূত্রে বসালে $N$ পদটি বিলুপ্ত হয়ে যায় এবং প্রধান ব্যবহারিক সূত্রটি পাওয়া যায়:

উচ্চমাধ্যমিক পরীক্ষায় পিয়ার্সনের সহগের বৈশিষ্ট্য সংক্রান্ত তাত্ত্বিক প্রশ্ন প্রায়শই আসে:

সহসম্বন্ধ গুণাঙ্কের মান কখনোই $-1$-এর কম বা $+1$-এর বেশি হতে পারে না:

প্রমাণ যুক্তি: কশি-শোয়ার্জ অসমতা (Cauchy-Schwarz Inequality) অনুসারে, $[\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})]^2 \le [\sum (x-\bar{x})^2][\sum (y-\bar{y})^2]$। এর ফলে $r^2 \le 1$, যা প্রমাণ করে $-1 \le r \le +1$। কোনো ছাত্রছাত্রীর হিসেবে $r = 1.35$ বা $r = -1.2$ এলে বুঝতে হবে গণনায় ভুল হয়েছে।

চলকগুলির সাথে কোনো ধ্রুবক যোগ বা বিয়োগ করলে (মূলবিন্দু পরিবর্তন) অথবা কোনো সাধারণ গুণনীয়ক দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে (মাপনী পরিবর্তন) সহসম্বন্ধ গুণাঙ্কের মানে কোনো পরিবর্তন হয় না।

যদি $U = \frac{X - a}{h}$ এবং $V = \frac{Y - b}{k}$ হয়, তবে:

• যদি $h$ এবং $k$ উভয়ের চিহ্ন একই হয় (উভয়ই ধনাত্মক বা উভয়ই ঋণাত্মক), তবে $r_{UV} = r_{XY}$।
• যদি $h$ এবং $k$-এর চিহ্ন পরস্পর বিপরীত হয় (একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক), তবে $r_{UV} = -r_{XY}$।

$r$ হলো সহ-ভেদাঙ্ক ও পরিমিত ব্যবধানের গুণফলের অনুপাত। ফলে লব ও হরের পরিমাপের এককসমূহ (যেমন কেজি, টাকা, মিটার) সম্পূর্ণ বাতিল হয়ে যায়। এটি একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা হওয়ায় ভিন্ন ভিন্ন এককে মাপা সম্পর্কের মধ্যেও সরাসরি তুলনা করা যায়।

সহসম্বন্ধ চলক পরিবর্তনের ক্ষেত্রে প্রতিসম: $r_{XY} = r_{YX}$। দ্রব্যের মূল্য ও চাহিদার মধ্যকার সহসম্বন্ধ এবং চাহিদা ও মূল্যের মধ্যকার সহসম্বন্ধ গাণিতিকভাবে সম্পূর্ণ অভিন্ন।

$r = 0$ কেবল রৈখিক সম্পর্কের অভাব নির্দেশ করে। চলক দুটির মধ্যে নিখুঁত বক্ররৈখিক সম্পর্ক (যেমন $Y = X^2$) থাকলেও পিয়ার্সনের রৈখিক সহগ $r = 0$ হতে পারে।

নমুনা তথ্যের ভিত্তিতে প্রাপ্ত সহসম্বন্ধ গুণাঙ্ক সমগ্রকের প্রকৃত বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে কিনা তা যাচাইয়ের জন্য সম্ভাব্যতা ভ্রান্তি ($PE_r$) নির্ণয় করা হয়:

সিদ্ধান্ত গ্রহণের নিয়ম:

• যদি $r < PE_r$ হয়, তবে সহসম্বন্ধটি তাৎপর্যপূর্ণ নয় (Insignificant)।
• যদি $r > 6 \times PE_r$ হয়, তবে সহসম্বন্ধটি নিশ্চিতভাবেই তাৎপর্যপূর্ণ (Highly Significant)।

অর্থনীতি ও সমাজবিজ্ঞানের বহু বিষয়কে সরাসরি সংখ্যায় বা ভৌত এককে মাপা যায় না (যেমন সততা, মেধা, সৌন্দর্য, প্রশাসনিক দক্ষতা, গ্রাহকের পছন্দ ইত্যাদি)। কিন্তু যেকোনো প্রতিযোগিতায় বা নিরীক্ষায় ব্যক্তিদের মেধার ভিত্তিতে ক্রমানুসারে (১ম, ২য়, ৩য়...) সাজানো যায়।

১৯০৪ সালে ব্রিটিশ মনোবিজ্ঞানী ও রাশিবিজ্ঞানী চার্লস এডওয়ার্ড স্পিয়ারম্যান এই জাতীয় ক্রমানুসারী তথ্যের সহসম্বন্ধ পরিমাপের জন্য যে অপরামিতিক (non-parametric) পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন, তাকে স্পিয়ারম্যানের ক্রম সহসম্বন্ধ গুণাঙ্ক (Rank Correlation Coefficient) বা $R$ (বা $\rho$) বলা হয়।

যখন রাশিমালার প্রতিটি এককের ক্রম আলাদা ও স্বতন্ত্র হয়, তখন সূত্রটি হলো:

যেখানে:

• $D = R_1 - R_2$ হলো দুটি বিষয়ে একই প্রার্থীর ক্রমদ্বয়ের পার্থক্য।
• $\sum D^2$ হলো ক্রম পার্থক্যের বর্গের সমষ্টি।
• $N$ হলো মোট পর্যবেক্ষণ বা প্রার্থীর সংখ্যা।

যখন কোনো রাশিমালার দুই বা ততোধিক মান সমান হয়, তখন তাদের পদমর্যাদা নির্ধারণে গড় ক্রম নিয়ম (Average Rank Rule) প্রয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি মান সমান হয়ে যৌথভাবে ৩য় ও ৪র্থ স্থানে থাকলে তাদের গড় ক্রম হবে $\frac{3+4}{2} = 3.5$। এর পরবর্তী মানটি সরাসরি ৫ম স্থান পাবে।

টাই-এর কারণে প্রতিটি সমমানের দলের জন্য একটি সংশোধন পদ $\frac{m(m^2-1)}{12}$ যোগ করতে হয় (যেখানে $m$ হলো একটি নির্দিষ্ট মানের পুনরাবৃত্তির সংখ্যা):

যদি একটি সংখ্যা ৩ বার পুনরাবৃত্ত হয় ($m=3$), তবে সংশোধন মান হবে $\frac{3(9-1)}{12} = \frac{24}{12} = 2.0$।

অর্থনৈতিক নীতি নির্ধারণ, বাজার বিশ্লেষণ ও ব্যবসায়িক সিদ্ধান্তে সহসম্বন্ধের ভূমিকা ব্যাপক:

• চাহিদা বিধি ও মূল্য স্থিতিস্থাপকতা: পণ্যের মূল্য ও চাহিদার মধ্যকার ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ ($r < 0$) নিশ্চিত করে দ্রব্যটি স্বাভাবিক। বিশেষ ক্ষেত্রে গিফেন দ্রব্যের ক্ষেত্রে এই সহসম্বন্ধ ধনাত্মক হতে পারে।
• কেইনসীয় ভোগ অপেক্ষক: জন মেনার্ড কেইনসের মতে জাতীয় আয় বৃদ্ধি পেলে ভোগব্যয়ও বৃদ্ধি পায়। ভারতীয় সামষ্টিক অর্থনীতিতে আয় ও ভোগের মধ্যে অত্যন্ত উচ্চ ধনাত্মক সহসম্বন্ধ ($r > +0.90$) দেখা যায়।
• ফিলিপস রেখা (Phillips Curve): বেকারত্বের হার এবং মজুরি মুদ্রাস্ফীতির মধ্যকার ঐতিহাসিক ঋণাত্মক সহসম্বন্ধ নীতি নির্ধারকদের কর্মসংস্থান ও মুদ্রাস্ফীতির মধ্যে ভারসাম্য বজায় রাখতে সাহায্য করে।
• পোর্টফোলিও বৈচিত্র্যকরণের ঝুঁকি হ্রাস: আর্থিক বিনিয়োগে যদি দুটি কোম্পানির শেয়ারের আয়ের মধ্যে ঋণাত্মক বা শূন্য সহসম্বন্ধ থাকে, তবে তাদের একত্রে যুক্ত করলে সার্বিক বিনিয়োগ ঝুঁকি নাটকীয়ভাবে হ্রাস পায়।

1. ভ্রান্ত বা অবাস্তব সহসম্বন্ধ (Spurious Correlation): কালীন সারির ক্ষেত্রে সময়ের সাথে সাথে জনসংখ্যা বৃদ্ধি ও হাসপাতালে রোগীর সংখ্যা বৃদ্ধি দুটিই স্বাধীনভাবে বাড়তে পারে। তাদের মধ্যে উচ্চ $r$ থাকলেও তাদের একটি অপরটির কারণ নয়।
2. তৃতীয় প্রভাবক চলক (Confounding Factor): সমুদ্রে ডুবে মৃত্যুর সংখ্যা এবং নরম পানীয় বিক্রির মধ্যে গ্রীষ্মকালে ধনাত্মক সহসম্বন্ধ দেখা যায়। এটি তৃতীয় চলক—উষ্ণ আবহাওয়ার সাধারণ প্রভাব।
3. অরৈখিকতাকে ভুলভাবে শূন্য মনে করা: ল্যাফার রেখায় (কর হার ও রাজস্ব আয়) বা উৎপাদনের তিনটি স্তরে চলকদ্বয়ের নিখুঁত সম্পর্ক থাকা সত্ত্বেও সামগ্রিক রৈখিক সহসম্বন্ধ $r = 0$ আসতে পারে।
4. পরিসরের সংকোচন (Restriction of Range): কোনো নির্দিষ্ট শ্রেণির মধ্যে তথ্য সীমাবদ্ধ রাখলে সহসম্বন্ধের মান কৃত্রিমভাবে কম প্রদর্শিত হতে পারে।

ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে সঠিক পদ্ধতি বাছাইয়ের নিয়ম:

• সংখ্যাসূচক পরিমাণগত তথ্য এবং রৈখিক সম্পর্ক? $\rightarrow$ কার্ল পিয়ার্সনের প্রত্যক্ষ বা কল্পিত গড় পদ্ধতি ($r$)।
• গুণগত বৈশিষ্ট্য (সৌন্দর্য, মেধা, সততা) বা ক্রম তথ্য? $\rightarrow$ স্পিয়ারম্যানের ক্রম সহসম্বন্ধ ($R$)।
• প্রাথমিক দৃষ্টিগ্রাহ্য মূল্যায়ন বা বিষম মান চিহ্নিতকরণ? $\rightarrow$ বিক্ষোপ চিত্র (Scatter Diagram)।