रेखाएं और कोण (Lines and Angles)

हल: (i) अपने पूरक कोण के बराबर कोण: मान लीजिए वह कोण $= x$ है। इसका पूरक कोण $= (90^\circ - x)$ होगा। प्रश्नानुसार, कोण अपने पूरक कोण के बराबर है:

$$x = 90^\circ - x$$

$$x + x = 90^\circ \implies 2x = 90^\circ \implies x = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

अतः $45^\circ$ अपने पूरक कोण के बराबर होता है।

(ii) अपने संपूरक कोण के बराबर कोण: मान लीजिए वह कोण $= y$ है। इसका संपूरक कोण $= (180^\circ - y)$ होगा। प्रश्नानुसार:

$$y = 180^\circ - y$$

$$y + y = 180^\circ \implies 2y = 180^\circ \implies y = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

अतः $90^\circ$ (समकोण) अपने संपूरक कोण के बराबर होता है।

हल: मान लीजिए अनुपातिक नियतांक $x$ है। तब $\angle AOC = 5x$ तथा $\angle BOC = 7x$।

चूँकि $AOB$ एक सीधी रेखा है और किरण $OC$ इस पर खड़ी है, अतः रैखिक युग्म अभिगृहीत से:

$$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$$

$$5x + 7x = 180^\circ$$

$$12x = 180^\circ \implies x = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$$

अब कोणों के मान:

$$\angle AOC = 5 \times 15^\circ = 75^\circ$$

$$\angle BOC = 7 \times 15^\circ = 105^\circ$$

शीर्षाभिमुख कोण प्रमेय के अनुसार:

$$\angle BOD = \angle AOC = 75^\circ$$

$$\angle AOD = \angle BOC = 105^\circ$$

उत्तर: चारों कोण $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ$ तथा $105^\circ$ हैं।

हल: चरण 1: रेखाओं के बीच संबंध: दिया गया है कि $AB \parallel CD$ और $CD \parallel EF$। प्रमेय 6.6 के अनुसार (एक ही रेखा के समानांतर रेखाएँ परस्पर भी समानांतर होती हैं):

$$AB \parallel EF$$

चरण 2: $x$ और $z$ में संबंध: चूँकि $AB \parallel EF$ और तिर्यक रेखा इन्हें काटती है, अतः एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे:

$$x = z \quad \text{--- (समीकरण 1)}$$

चरण 3: $x$ और $y$ में संबंध: चूँकि $AB \parallel CD$ है, अतः तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं:

$$x + y = 180^\circ$$

समीकरण (1) से $x = z$ रखने पर:

$$z + y = 180^\circ$$

चरण 4: अनुपात का प्रयोग: दिया है $y : z = 3 : 7$। मान लीजिए $y = 3k$ और $z = 7k$।

$$3k + 7k = 180^\circ \implies 10k = 180^\circ \implies k = 18^\circ$$

अतः:

$$z = 7 \times 18^\circ = 126^\circ$$

$$y = 3 \times 18^\circ = 54^\circ$$

चूँकि $x = z$, अतः:

$$x = 126^\circ$$

उत्तर: $x = 126^\circ$

हल: 1. $x$ का मान ज्ञात करना: दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है। अतः एकांतर अंतःकोण (Alternate Interior Angles) परस्पर समान होंगे:

$$\angle PQR = \angle APQ$$

$$x = 50^\circ$$

2. $y$ का मान ज्ञात करना (दो विधियों से संभव): विधि 1 (एकांतर अंतःकोण द्वारा): $AB \parallel CD$ है और $PR$ एक तिर्यक रेखा है। अतः एकांतर अंतःकोण:

$$\angle APR = \angle PRD$$

आकृति से, $\angle APR = \angle APQ + y$:

$$50^\circ + y = 127^\circ$$

$$y = 127^\circ - 50^\circ = 77^\circ$$

विधि 2 (त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय द्वारा): त्रिभुज $\triangle PQR$ में भुजा $QR$ को $D$ तक बढ़ाया गया है, अतः $\angle PRD$ बहिष्कोण है। बहिष्कोण प्रमेय से:

$$\angle PRD = \angle PQR + \angle QPR$$

$$127^\circ = x + y$$

$$127^\circ = 50^\circ + y \implies y = 127^\circ - 50^\circ = 77^\circ$$

उत्तर: $x = 50^\circ$ तथा $y = 77^\circ$

हल: मान लीजिए दो समानांतर रेखाएँ $AB \parallel CD$ हैं और तिर्यक रेखा $PS$ इन्हें क्रमशः $Q$ और $R$ पर काटती है। अंतःकोणों $\angle BQR, \angle AQR, \angle CRQ$ तथा $\angle DRQ$ के समद्विभाजक क्रमशः $QM, QN, RM$ और $RN$ खींचे गए हैं, जो चतुर्भुज $QMRN$ बनाते हैं।

चरण 1: $QMRN$ एक समांतर चतुर्भुज है: चूँकि $AB \parallel CD$ है, अतः एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे:

$$\angle BQR = \angle CRQ$$

दोनों पक्षों का आधा करने पर:

$$\frac{1}{2}\angle BQR = \frac{1}{2}\angle CRQ \implies \angle MQR = \angle NRQ$$

परंतु ये रेखाखंड $QM$ और $RN$ के लिए एकांतर अंतःकोण हैं! अतः $QM \parallel RN$। इसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है कि $QN \parallel RM$। अतः चतुर्भुज $QMRN$ एक समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) है।

चरण 2: एक कोण $90^\circ$ सिद्ध करना: हम जानते हैं कि रैखिक युग्म से:

$$\angle BQR + \angle AQR = 180^\circ$$

दोनों पक्षों का आधा करने पर:

$$\frac{1}{2}\angle BQR + \frac{1}{2}\angle AQR = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

$$\angle MQR + \angle NQR = 90^\circ$$

$$\implies \angle MQN = 90^\circ$$

निष्कर्ष: चूँकि $QMRN$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसका एक अंतःकोण $90^\circ$ (समकोण) है, अतः चतुर्भुज $QMRN$ एक आयत (Rectangle) है। (इति सिद्धम्)।