निर्देशांक ज्यामिति

रेने देकार्त एक दिन अपने बिस्तर पर लेटे हुए छत पर रेंगती हुई एक मक्खी को देख रहे थे। उन्होंने विचार किया कि छत पर इस मक्खी की यथार्थ स्थिति को किसी अन्य व्यक्ति को कैसे समझाया जाए? उन्होंने पाया कि यदि कमरे की दो परस्पर लंबवत दीवारों से मक्खी की लंबवत दूरियाँ नाप ली जाएँ, तो मक्खी की स्थिति को केवल दो संख्याओं के जोड़े $(x, y)$ द्वारा अद्वितीय (Unique) रूप से निर्धारित किया जा सकता है!

1. कार्तीय तल (Cartesian Plane / Coordinate Plane): वह समतल जिस पर निर्देशांक अक्ष स्थित होते हैं, कार्तीय तल अथवा $xy$-तल कहलाता है।
2. $x$-अक्ष (क्षैतिज अक्ष / Horizontal Axis): समतल पर खींची गई क्षैतिज संख्या रेखा $X'OX$ को $x$-अक्ष कहते हैं।
   • $O$ से दाईं ओर ($OX$) धनात्मक दिशा होती है ($+1, +2, +3, \dots$)।
   • $O$ से बाईं ओर ($OX'$) ऋणात्मक दिशा होती है ($-1, -2, -3, \dots$)।
3. $y$-अक्ष (ऊर्ध्वाधर अक्ष / Vertical Axis): समतल पर खींची गई ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा $Y'OY$ को $y$-अक्ष कहते हैं।
   • $O$ से ऊपर की ओर ($OY$) धनात्मक दिशा होती है ($+1, +2, +3, \dots$)।
   • $O$ से नीचे की ओर ($OY'$) ऋणात्मक दिशा होती है ($-1, -2, -3, \dots$)।
4. मूल बिंदु (Origin - $O$): दोनों अक्ष जहाँ एक-दूसरे को परस्पर समकोण ($90^\circ$) पर काटते हैं, उस प्रतिच्छेद बिंदु को मूल बिंदु कहते हैं। इसके निर्देशांक सदैव $(0, 0)$ होते हैं।

दोनों निर्देशांक अक्ष कार्तीय तल को चार बराबर क्षेत्रों में विभाजित करते हैं। मूल बिंदु से प्रारंभ करके वामावर्त दिशा (Counter-Clockwise / Anti-clockwise Direction) में इन्हें क्रमानुसार चतुर्थांश I, II, III और IV नाम दिया जाता है:

अति-महत्वपूर्ण नियम: निर्देशांक अक्ष ($x$-अक्ष और $y$-अक्ष) स्वयं किसी भी चतुर्थांश के भाग नहीं होते हैं!

मान लीजिए कार्तीय तल में कोई बिंदु $P(x, y)$ स्थित है:

• भुज ($x$-निर्देशांक / Abscissa): बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी (चिह्न सहित) को बिंदु का भुज कहते हैं। यदि बिंदु $y$-अक्ष के दाईं ओर है तो भुज धनात्मक, और यदि बाईं ओर है तो भुज ऋणात्मक होता है।
• कोटि ($y$-निर्देशांक / Ordinate): बिंदु $P$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी (चिह्न सहित) को बिंदु की कोटि कहते हैं। यदि बिंदु $x$-अक्ष के ऊपर है तो कोटि धनात्मक, और यदि नीचे है तो कोटि ऋणात्मक होती है।

स्वर्णिम सूत्र (CBSE बोर्ड में बार-बार पूछे जाने वाले):

उदा. बिंदु $(-5, 7)$ की $x$-अक्ष से दूरी $= |7| = 7 \text{ इकाई}$ है, तथा $y$-अक्ष से दूरी $= |-5| = 5 \text{ इकाई}$ है (दूरी सदैव धनात्मक होती है!)।

1. $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु: चूँकि $x$-अक्ष पर किसी भी बिंदु की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी शून्य ($0$) होती है, अतः $x$-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु की कोटि सदैव शून्य होती है।
   मानक रूप: $(x, 0)$   (उदा. $(4, 0), (-3, 0)$)।
2. $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु: चूँकि $y$-अक्ष पर किसी भी बिंदु की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी शून्य ($0$) होती है, अतः $y$-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का भुज सदैव शून्य होता है।
   मानक रूप: $(0, y)$   (उदा. $(0, 6), (0, -2)$)।
3. मूल बिंदु: दोनों अक्षों का प्रतिच्छेद बिंदु होने के कारण इसका भुज और कोटि दोनों शून्य होते हैं: $(0, 0)$।

दिए गए क्रमित युग्म $P(x, y)$ को आलेखित करने के लिए:

1. मूल बिंदु $O(0, 0)$ से प्रारंभ कीजिए।
2. यदि भुज $x > 0$ है, तो $x$-अक्ष पर दाईं ओर $x$ इकाई चलिए; यदि $x < 0$ है, तो बाईं ओर $|x|$ इकाई चलिए। इस बिंदु को $M$ मानिए।
3. अब बिंदु $M$ से, यदि कोटि $y > 0$ है, तो $y$-अक्ष के समांतर ऊपर की ओर $y$ इकाई चलिए; यदि $y < 0$ है, तो नीचे की ओर $|y|$ इकाई चलिए।
4. पहुँचे गए अंतिम स्थान पर एक छोटा बिंदु लगाकर वृत्त बनाइए और उसके पास $P(x, y)$ लिखिए।

क्रमित युग्म $(x, y)$ में संख्याओं का क्रम अत्यंत महत्वपूर्ण है। यदि $x \ne y$ हो, तो $(x, y) \ne (y, x)$ होता है।

उदा. बिंदु $A(2, 5)$ और बिंदु $B(5, 2)$ दो सर्वथा भिन्न बिंदु हैं:

• $A(2, 5)$ का भुज $2$ और कोटि $5$ है (यह $y$-अक्ष से 2 इकाई तथा $x$-अक्ष से 5 इकाई दूर है)।
• $B(5, 2)$ का भुज $5$ और कोटि $2$ है (यह $y$-अक्ष से 5 इकाई तथा $x$-अक्ष से 2 इकाई दूर है)।