মাধ্যম নির্বাচন করুন / Select Medium:

Eng (English) Beng (বাংলা) Hindi (हिन्दी)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) • শ্রেণি XII • Physics • অধ্যায় 2

আনুমানিক সময়: ৪৫ মিনিট

অগ্রগতি: অধ্যয়নে সক্রিয়

প্রবাহী তড়িৎ

প্রবাহী তড়িৎবিজ্ঞান হলো পরিবাহী মাধ্যমে গতিশীল বৈদ্যুতিক আধানের সুসংবদ্ধ ও বিশ্লেষণাত্মক অধ্যয়ন। এই অধ্যায়ে বাহ্যিক তড়িৎক্ষেত্রের উপস্থিতিতে মুক্ত ইলেকট্রনের অণুবীক্ষণিক গতিশীলতা, শিথিলন কাল এবং বিচলন বেগের গাণিতিক সমীকরণের ভিত্তিতে ওহমের সূত্রের সার্বিক প্রতিষ্ঠা করা হয়েছে। পরিবাহীর জ্যামিতিক মাত্রা, উপাদান ও তাপমাত্রার ওপর রোধ ও রোধাঙ্কের নির্ভরশীলতা, জুলের তাপীয় ক্রিয়া, সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালন নীতি, রাসায়নিক কোষের তড়িচ্চালক বল, নষ্ট ভোল্ট ও অভ্যন্তরীণ রোধের সূক্ষ্ম বিশ্লেষণ এই পাঠক্রমের অবিচ্ছেদ্য অংশ। জটিল বৈদ্যুতিক বর্তনী সমাধানে কার্শফের সংযোগ ও লুপ সূত্রের প্রয়োগ এবং সূক্ষ্ম পরিমাপক যন্ত্র যেমন হুইটস্টোন ব্রিজ, মিটার ব্রিজ ও পোটেনশিওমিটারের তত্ত্ব উচ্চমাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্ব সহকারে উপস্থাপিত হয়েছে।

অনলাইন CBT টেস্ট দিন সকল অধ্যায় দেখুন

ভূমিকা মূল ধারণা পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র সমাধানকৃত উদাহরণ সাধারণ ভুলত্রুটি অধ্যায় সারসংক্ষেপ স্ব-মূল্যায়ন অনলাইন টেস্ট

অধ্যায়টির গুরুত্ব

আধুনিক বিশ্বের প্রতিটি বৈদ্যুতিক শক্তি সঞ্চালন ব্যবস্থা, গৃহস্থালির বর্তনী এবং ইলেকট্রনিক যন্ত্রাংশ প্রবাহী তড়িতের মৌলিক নিয়মের ওপর ভিত্তি করে নির্মিত। ব্যাটারির অভ্যন্তরীণ রোধ কীভাবে কার্যকারিতাকে নিয়ন্ত্রণ করে, তাপমাত্রার পরিবর্তনে রোধের মান কীভাবে প্রভাবিত হয় এবং নিখুঁত বিভব ও তড়িচ্চালক বল পরিমাপে পোটেনশিওমিটার কেন সাধারণ ভোল্টমিটারের চেয়ে বহুগুণ শ্রেষ্ঠ—তা অনুধাবন করা পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যার ভিত্তিস্তর গঠনে অপরিহার্য।

অধ্যায়ের বিষয়সূচি ও রূপরেখা

1 মডিউল ১: তড়িৎ প্রবাহ, বিচলন বেগ ও...

2 মডিউল ২: রোধ, রোধাঙ্ক, তারের প্রসার...

3 মডিউল ৩: রোধের সমবায়, জুলের তাপীয়...

4 মডিউল ৪: তড়িচ্চালক বল, অভ্যন্তরীণ...

5 মডিউল ৫: কার্শফের সূত্রাবলী ও নেটওয...

6 মডিউল ৬: পরিমাপক যন্ত্র: মিটার ব্রি...

সম্পূর্ণ তত্ত্ব ও ধারণাগত আলোচনা

মডিউল ১: তড়িৎ প্রবাহ, বিচলন বেগ ও অণুবীক্ষণিক ওহমের সূত্র

১.১ তড়িৎ প্রবাহ ও প্রবাহ ঘনত্ব

কোনো পরিবাহীর যেকোনো প্রস্থচ্ছেদের মধ্য দিয়ে আধানের প্রবাহের হারকে তড়িৎ প্রবাহ (Electric Current) বলা হয়। যদি $\Delta t$ সময়ে পরিবাহীর কোনো প্রস্থচ্ছেদ দিয়ে মোট আধান $\Delta q$ প্রবাহিত হয়, তবে তাৎক্ষণিক প্রবাহমাত্রা:

$$I = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{dq}{dt}$$

তড়িৎ প্রবাহের একটি নির্দিষ্ট দিক (প্রথাগত দিক ধনাত্মক আধানের গতির অভিমুখে এবং মুক্ত ইলেকট্রনের গতির বিপরীত অভিমুখে) থাকা সত্ত্বেও এটি একটি স্কেলার রাশি, কারণ তড়িৎ প্রবাহ ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র মেনে চলে না বরং সাধারণ বীজগণিতীয় নিয়মে যুক্ত হয়। পক্ষান্তরে, পরিবাহীর একক প্রস্থচ্ছেদের মধ্য দিয়ে লম্বভাবে অতিক্রান্ত প্রবাহকে প্রবাহ ঘনত্ব (Current Density, $\vec{J}$) বলা হয়, যা একটি ভেক্টর রাশি:

$$I = \iint_A \vec{J} \cdot d\vec{A} \quad \implies \quad J = \frac{I}{A} \quad \text{(যদি ক্ষেত্রফল } A\text{-এর সাথে } J\text{ সুষম ও লম্ব হয়)}$$

তড়িৎ প্রবাহের এসআই একক অ্যাম্পিয়ার ($\text{A} = \text{C/s}$) এবং প্রবাহ ঘনত্বের একক $\text{A/m}^2$।

১.২ তাপীয় বেগ ও বিচলন বেগের ধারণা

সাধারণ তাপমাত্রায় বাহ্যিক তড়িৎক্ষেত্রহীন অবস্থায় ধাতব পরিবাহীর মধ্যে মুক্ত ইলেকট্রনগুলি অত্যন্ত উচ্চ বেগে (প্রায় $10^5 \text{ থেকে } 10^6 \text{ m/s}$) ধনাত্মক ল্যাটিস আয়নগুলির সাথে এলোমেলো সংঘর্ষে লিপ্ত থাকে। এই তাপীয় গতি সম্পূর্ণ বিশৃঙ্খল ও দিক-নিরপেক্ষ হওয়ায় সকল মুক্ত ইলেকট্রনের গড় তাপীয় বেগ শূন্য হয়:

$$\vec{u}_{\text{avg}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \vec{u}_i = 0$$

যখন পরিবাহীর দুই প্রান্তে বিভবপ্রভেদ প্রয়োগ করে সুষম তড়িৎক্ষেত্র $\vec{E}$ প্রতিষ্ঠা করা হয়, তখন প্রতিটি ইলেকট্রন ক্ষেত্রটির বিপরীতে বল অনুভব করে: $\vec{F} = -e\vec{E}$। এর ফলে ইলেকট্রন একটি ত্বরণ লাভ করে: $\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m}$। দুটি ক্রমিক সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়কে শিথিলন কাল (Relaxation Time, $\tau$) বলে। $i$-তম ইলেকট্রনের বেগ:

$$\vec{v}_i = \vec{u}_i + \vec{a}\tau_i = \vec{u}_i - \frac{e\vec{E}}{m}\tau_i$$

সকল ইলেকট্রনের বেগের গড় নিলে যে ধীরগতিশীল সম্মিলিত বেগ পাওয়া যায়, তাকে বিচলন বেগ (Drift Velocity, $\vec{v}_d$) বলে:

$$\vec{v}_d = -\frac{e\vec{E}}{m}\tau \quad \implies \quad v_d = \frac{eE\tau}{m}$$

সাধারণত তামার তারে বিচলন বেগের মান অত্যন্ত কম—মাত্র $10^{-4} \text{ m/s}$ বা প্রায় $0.1 \text{ mm/s}$।

১.৩ $I = neAv_d$ সমীকরণ ও অণুবীক্ষণিক ওহমের সূত্র প্রতিষ্ঠা

ধরি, $A$ প্রস্থচ্ছেদের একটি পরিবাহীতে প্রতি একক আয়তনে মুক্ত ইলেকট্রনের সংখ্যা $n$। $\Delta t$ সময়ে বিচলন বেগে গতিশীল ইলেকট্রনগুলি $\Delta x = v_d \Delta t$ দূরত্ব অতিক্রম করে। ওই অংশের আয়তন $A v_d \Delta t$। সুতরাং অতিক্রান্ত মোট আধান:

$$\Delta q = n e (A v_d \Delta t) \quad \implies \quad I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = n e A v_d$$

প্রস্থচ্ছেদ $A$ দিয়ে ভাগ করলে প্রবাহ ঘনত্ব $J$ পাওয়া যায়:

$$J = \frac{I}{A} = n e v_d = n e \left(\frac{eE\tau}{m}\right) = \left(\frac{n e^2 \tau}{m}\right) E$$

এটিই অণুবীক্ষণিক ওহমের সূত্র (Microscopic Ohm's Law, $\vec{J} = \sigma \vec{E}$), যেখানে পরিবাহিতাঙ্ক ($\sigma$) এবং রোধাঙ্ক ($\rho$) হলো:

$$\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m}, \qquad \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^2 \tau}$$

১.৪ ইলেকট্রনের সচলতা (Mobility)

একক তড়িৎক্ষেত্রের প্রয়োগে আধান পরিবাহক যে বিচলন বেগ লাভ করে, তাকে তার সচলতা (Mobility, $\mu$) বলে:

$$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{e\tau}{m} \quad \implies \quad \sigma = n e \mu$$

সচলতার এসআই একক $\text{m}^2 \cdot \text{V}^{-1} \cdot \text{s}^{-1}$। অর্ধপরিবাহীর ক্ষেত্রে ইলেকট্রন ও হোল উভয়ের অবদানে মোট পরিবাহিতাঙ্ক হয়: $\sigma = e(n_e \mu_e + n_h \mu_h)$।

মডিউল ২: রোধ, রোধাঙ্ক, তারের প্রসারণ ও উষ্ণতার প্রভাব

২.১ রোধ ও পরিবাহীর জ্যামিতিক মাত্রা

$l$ দৈর্ঘ্যের ও $A$ প্রস্থচ্ছেদের পরিবাহীর দুই প্রান্তে $V$ বিভবপ্রভেদ দিলে সুষম তড়িৎক্ষেত্র $E = V/l$। $E = \rho J = \rho (I/A)$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$$\frac{V}{l} = \rho \frac{I}{A} \quad \implies \quad V = I \left(\frac{\rho l}{A}\right) = IR, \qquad R = \rho \frac{l}{A} = \left(\frac{m}{n e^2 \tau}\right) \frac{l}{A}$$

সুতরাং পরিবাহীর রোধ $R$ তার উপাদান ও উষ্ণতার ওপর ($\rho$), দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক ($l$) এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলের ব্যস্তানুপাতিক ($1/A$)।

২.২ তারের প্রসারণ ও রোধের পরিবর্তন (ভলিউম সংরক্ষণ নীতি)

যখন একটি তারকে টেনে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করা হয়, তখন তার উপাদান ও ভর অপরিবর্তিত থাকে, ফলে আয়তন সর্বদা ধ্রুবক থাকে:

$$\text{আয়তন } \mathcal{V} = A l = A' l' = \text{ধ্রুবক} \quad \implies \quad \frac{A'}{A} = \frac{l}{l'}$$

যদি তারটিকে টেনে দৈর্ঘ্য $n$ গুণ করা হয় ($l' = n l$), তবে প্রস্থচ্ছেদ হ্রাস পেয়ে $A' = A/n$ হবে। ফলে নতুন রোধ $R'$:

$$R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{n l}{A/n} = n^2 \left(\rho \frac{l}{A}\right) = n^2 R$$

ব্যাসার্ধ $r$-এর পরিপ্রেক্ষিতে, যেহেতু $A = \pi r^2$, আয়তন সংরক্ষণ থেকে $r^2 l = r'^2 l'$, সুতরাং $R \propto 1/r^4$। অর্থাৎ তারের ব্যাসার্ধ টেনে অর্ধেক করলে রোধ $2^4 = 16$ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ক্ষুদ্র ভগ্নাংশীয় পরিবর্তনের জন্য ($\Delta l/l \le 5\%$), $R = \rho l^2 / \mathcal{V}$ সমীকরণ থেকে ডিফারেনশিয়াল নিয়ে পাই:

$$\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l} \qquad (\text{যেমন } 1\% \text{ দৈর্ঘ্য বৃদ্ধিতে রোধ প্রায় } 2\% \text{ বৃদ্ধি পায়})$$

২.৩ রোধের ওপর উষ্ণতার প্রভাব ও উষ্ণতা গুণাঙ্ক ($\alpha$)

উষ্ণতা পরিবর্তনের সাথে বেশিরভাগ পদার্থের রোধের রৈখিক পরিবর্তন ঘটে:

$$R_T = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)] \quad \implies \quad \alpha = \frac{R_T - R_0}{R_0 \Delta T}$$

যেখানে $\alpha$ হলো রোধের উষ্ণতা গুণাঙ্ক (একক: $^{\circ}\text{C}^{-1}$ বা $\text{K}^{-1}$)।

পদার্থের শ্রেণি	$\alpha$-এর চিহ্ন	ভৌত কারণ	গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ
ধাতব পরিবাহী	$\alpha > 0$ (ধনাত্মক)	ইলেকট্রন ঘনত্ব $n$ ধ্রুবক থাকে; আয়নগুলির কম্পন বৃদ্ধি পাওয়ায় শিথিলন কাল $\tau$ হ্রাস পায় ($\rho \propto 1/\tau$)।	তামা, অ্যালুমিনিয়াম, রূপা, টাংস্টেন
প্রমাণ রোধ সংকর ধাতু	$\alpha \approx 0$ (নগণ্য)	উচ্চ রোধাঙ্ক এবং উষ্ণতা পরিবর্তনে রোধের মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে, ফলে পরিমাপক কয়েলে ব্যবহৃত হয়।	ম্যাঙ্গানিন, কনস্ট্যান্টান (ইউরেকা), নিক্রোম
অর্ধপরিবাহী ও কার্বন	$\alpha < 0$ (ঋণাত্মক)	উষ্ণতা বৃদ্ধিতে সমযোজী বন্ধন ভেঙে আধান পরিবাহকের ঘনত্ব $n$ সূচকীয় হারে বৃদ্ধি পায়।	সিলিকন, জার্মেনিয়াম, থার্মিস্টর, গ্রাফাইট
অতিপরিবাহী (Superconductors)	হঠাৎ পতন	সংকট উষ্ণতায় ($T_c$) পৌঁছালে রোধ আকস্মিকভাবে শূন্যে নেমে যায়।	পারদ ($4.2 \text{ K}$), সীসা ($7.2 \text{ K}$)

মডিউল ৩: রোধের সমবায়, জুলের তাপীয় ক্রিয়া ও ক্ষমতা

৩.১ রোধের শ্রেণী ও সমান্তরাল সমবায়

শ্রেণী সমবায় (Series): প্রতিটি রোধের মধ্য দিয়ে একই প্রবাহমাত্রা $I$ প্রবাহিত হয় এবং মোট বিভবপ্রভেদ প্রতিটি রোধের প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদের যোগফলের সমান:

$$V = V_1 + V_2 + \dots = I(R_1 + R_2 + \dots) \quad \implies \quad R_s = \sum_{i=1}^n R_i$$

সমান্তরাল সমবায় (Parallel): প্রতিটি রোধের দুই প্রান্তে একই বিভবপ্রভেদ $V$ বজায় থাকে এবং মূল প্রবাহ শাখাগুলিতে বিভক্ত হয়:

$$I = I_1 + I_2 + \dots = V\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots\right) \quad \implies \quad \frac{1}{R_p} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i}$$

দুটি রোধ সমান্তরালে থাকলে তুল্য রোধ $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$, এবং শাখা প্রবাহ রোধের ব্যস্তানুপাতে বণ্টিত হয়: $I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}$, $I_2 = I \frac{R_1}{R_1 + R_2}$।

৩.২ জুলের তাপীয় ক্রিয়া ও বৈদ্যুতিক ক্ষমতা

ল্যাটিস আয়নের সাথে ইলেকট্রনের ক্রমাগত সংঘর্ষের কারণে পরিবাহীতে তড়িৎ শক্তি তাপে রূপান্তরিত হয়। $R$ রোধের মধ্য দিয়ে $t$ সময় ধরে $I$ প্রবাহ গেলে উৎপন্ন তাপ (জুলের সূত্র):

$$H = V I t = I^2 R t = \frac{V^2}{R} t \quad \text{(জুল, J)} \qquad \left[H = \frac{I^2 R t}{4.184} \quad \text{ক্যালোরিতে}\right]$$

তড়িৎ শক্তির ব্যয়ের হারকে বৈদ্যুতিক ক্ষমতা (Power, $P$) বলে:

$$P = V I = I^2 R = \frac{V^2}{R} \quad \text{(ওয়াট, W)}$$

তড়িৎ শক্তির বাণিজ্যিক একক (B.O.T.U. বা কিলোওয়াট-ঘণ্টা): $1 \text{ kWh} = 1000 \text{ W} \times 3600 \text{ s} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}$।

৩.৩ বাতির উজ্জ্বলতা ও সমবায় বিশ্লেষণ

প্রতিটি বৈদ্যুতিক বাতির গায়ে নির্দিষ্ট ভোল্টেজ ($V_{\text{rated}}$) ও ক্ষমতা ($P_{\text{rated}}$) চিহ্নিত থাকে। ফিলামেন্টের রোধ:

$$R = \frac{V_{\text{rated}}^2}{P_{\text{rated}}}$$

অতএব, কম ওয়াটের বাতির ফিলামেন্টের রোধ বেশি হয় (যেমন $40\text{ W}$ বাতির রোধ $100\text{ W}$ বাতির চেয়ে বেশি)।

শ্রেণী সমবায়ে: প্রবাহ $I$ সমান হওয়ায় প্রকৃত ক্ষমতা $P_{\text{actual}} = I^2 R$। ফলে 40 W বাতিটি অধিকতর উজ্জ্বলভাবে জ্বলবে।
সমান্তরাল সমবায়ে: বিভবপ্রভেদ $V$ সমান হওয়ায় প্রকৃত ক্ষমতা $P_{\text{actual}} = V^2 / R$। ফলে 100 W বাতিটি বেশি উজ্জ্বলভাবে জ্বলবে।

৩.৪ সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালন উপপাদ্য (Maximum Power Transfer Theorem)

$E$ তড়িচ্চালক বল ও $r$ অভ্যন্তরীণ রোধযুক্ত কোষের সাথে $R$ বহিঃরোধ যুক্ত থাকলে বহিঃরোধে ক্ষমতা:

$$P = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}$$

সর্বোচ্চ ক্ষমতার জন্য $\frac{dP}{dR} = 0$ করলে শর্ত পাওয়া যায়: $R = r$। অর্থাৎ বহিঃরোধের মান উৎসের অভ্যন্তরীণ রোধের সমান হলে লোডে সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালিত হয় এবং সর্বোচ্চ ক্ষমতা:

$$P_{\max} = \frac{E^2}{4r}$$

এই অবস্থায় ব্যাটারির দক্ষতা হয় $\eta = \frac{I^2 R}{I^2(R + r)} = 50\%$।

মডিউল ৪: তড়িচ্চালক বল, অভ্যন্তরীণ রোধ ও কোষের সমবায়

৪.১ তড়িচ্চালক বল ও প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ

কোনো কোষের অভ্যন্তরে ঋণাত্মক পাত থেকে ধনাত্মক পাতে একক ধনাত্মক আধানকে স্থানান্তরিত করতে রাসায়নিক বা অ-তড়িৎ বল দ্বারা যে কার্য সম্পাদিত হয়, তাকে ওই কোষের তড়িচ্চালক বল (Electromotive Force, $E$) বলে:

$$E = \frac{W_{\text{chemical}}}{q} \quad \text{(ভোল্ট, V)}$$

কোষের তড়িৎবিশ্লেষ্য দ্রবণ আয়ন চলাচলে যে বাধা সৃষ্টি করে, তাকে কোষের অভ্যন্তরীণ রোধ (Internal Resistance, $r$) বলে। যখন কোষ থেকে $I$ প্রবাহ নেওয়া হয়, তখন কোষের অভ্যন্তরে $v = Ir$ পরিমাণ বিভব পতন ঘটে, যাকে নষ্ট ভোল্ট (Lost Volts) বলা হয়। ফলে কোষের দুই প্রান্তের প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ (Terminal P.D., $V$) দাঁড়ায়:

$$\text{নিঃসরণকালে: } V = E - Ir = IR \quad \implies \quad r = \left(\frac{E - V}{I}\right) = \left(\frac{E}{V} - 1\right)R$$

বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ:

মুক্ত বর্তনী (Open Circuit, $I = 0$): $V = E$ (প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ EMF-এর সমান)।
নিঃসরণ (Discharging, $I > 0$): $V = E - Ir < E$।
চার্জিং বা আধান গ্রহণ (Charging): বাইরে থেকে কোষে কারেন্ট প্রবেশ করালে $V = E + Ir > E$।
শর্ট সার্কিট ($R = 0$): $I_{\text{sc}} = E/r$ এবং $V = 0$।

৪.২ কোষের সমবায় ও সর্বোচ্চ প্রবাহের শর্ত

১. শ্রেণী সমবায় ($n$ টি কোষ):

মোট EMF $= nE$, মোট অভ্যন্তরীণ রোধ $= nr$। বহিঃরোধ $R$-এ প্রবাহমাত্রা:

$$I = \frac{nE}{R + nr}$$

২. সমান্তরাল সমবায় ($m$ টি কোষ):

মোট EMF $= E$, মোট অভ্যন্তরীণ রোধ $= r/m$। বহিঃরোধ $R$-এ প্রবাহমাত্রা:

$$I = \frac{E}{R + r/m} = \frac{mE}{mR + r}$$

৩. মিশ্র সমবায় (প্রতি সারিতে $n$ টি কোষ, এরূপ $m$ টি সারি সমান্তরালে):

মোট কোষ $N = mn$। ব্যাটারির তুল্য অভ্যন্তরীণ রোধ $r_{\text{eq}} = \frac{nr}{m}$। মোট প্রবাহ:

$$I = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr} = \frac{NE}{mR + nr}$$

হর $mR + nr = (\sqrt{mR} - \sqrt{nr})^2 + 2\sqrt{mnRr}$ সর্বনিম্ন হবে যখন $\sqrt{mR} = \sqrt{nr}$, অর্থাৎ:

$$mR = nr \quad \implies \quad R = \frac{nr}{m} = r_{\text{eq}}$$

সর্বোচ্চ প্রবাহের শর্ত: বহিঃরোধের মান ব্যাটারির সমগ্র অভ্যন্তরীণ রোধের সমান হতে হবে।

মডিউল ৫: কার্শফের সূত্রাবলী ও নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণ

৫.১ কার্শফের প্রথম সূত্র (সংযোগ বিন্দু সূত্র / KCL)

বিবৃতি: কোনো তড়িৎ বর্তনীর যেকোনো সংযোগ বিন্দুতে (Junction) মিলিত প্রবাহমাত্রাগুলির বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য হয়:

$$\sum_{\text{junction}} I = 0 \quad \iff \quad \sum I_{\text{প্রবেশকারী}} = \sum I_{\text{বহির্গামী}}$$

সংরক্ষণ নীতি: কার্শফের প্রথম সূত্রটি সরাসরি তড়িৎ আধানের নিত্যতা সূত্র (Conservation of Charge) মেনে চলে। স্থির প্রবাহে সংযোগ বিন্দুতে আধান পুঞ্জীভূত বা বিনষ্ট হতে পারে না।

৫.২ কার্শফের দ্বিতীয় সূত্র (লুপ সূত্র বা ভোল্টেজ সূত্র / KVL)

বিবৃতি: কোনো বদ্ধ তড়িৎ বর্তনীতে (Closed Loop) বিভিন্ন অংশের রোধ ও তাদের মধ্যবর্তী প্রবাহমাত্রার গুণফলের বীজগাণিতিক যোগফল ওই বদ্ধ লুপে উপস্থিত তড়িচ্চালক বলগুলির বীজগাণিতিক যোগফলের সমান:

$$\sum IR = \sum E \quad \iff \quad \oint_{\text{loop}} dV = 0$$

সংরক্ষণ নীতি: কার্শফের দ্বিতীয় সূত্রটি শক্তির নিত্যতা সূত্র (Conservation of Energy)-এর ওপর প্রতিষ্ঠিত। স্থিরতড়িৎ বল সংরক্ষী হওয়ায় কোনো আধানকে একটি বদ্ধ পথে সম্পূর্ণ ঘুরিয়ে আনলে কৃতকার্যের মান শূন্য হয়।

৫.৩ হুইটস্টোন ব্রিজের নীতি ও নিস্পন্দ অবস্থার প্রতিষ্ঠা

হুইটস্টোন ব্রিজে চারটি রোধ $P, Q, R, S$ একটি চতুর্ভুজাকার লুপ $ABCD$ গঠন করে। $B$ ও $D$ বিন্দুর মাঝে একটি সংবেদনশীল গ্যালভানোমিটার $G$ এবং $A$ ও $C$ বিন্দুর মাঝে তড়িৎ উৎস যুক্ত থাকে।

নিস্পন্দ অবস্থা (Balanced Condition): যখন গ্যালভানোমিটারের মধ্য দিয়ে কোনো প্রবাহ যায় না ($I_g = 0$), তখন $B$ ও $D$ বিন্দুর বিভব সমান হয় ($V_B = V_D$)।

কার্শফের দ্বিতীয় সূত্র লুপ $ABDA$-এ প্রয়োগ করে (যেহেতু $I_g = 0$):

$$I_1 P - I_2 R = 0 \quad \implies \quad I_1 P = I_2 R \quad \text{--- (১)}$$

লুপ $BCDB$-এ প্রয়োগ করে:

$$I_1 Q - I_2 S = 0 \quad \implies \quad I_1 Q = I_2 S \quad \text{--- (২)}$$

সমীকরণ (১)-কে (২) দিয়ে ভাগ করলে হুইটস্টোন ব্রিজের ভারসাম্য শর্ত পাওয়া যায়:

$$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \quad \iff \quad S = \frac{Q}{P} R$$

অনুবন্ধী বাহু (Conjugate Arms): ব্যাটারি বাহু ও গ্যালভানোমিটার বাহুকে পরস্পরের সাথে বিনিময় করলেও ব্রিজের নিস্পন্দ অবস্থা সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে। চারটি রোধের মান সমান মাত্রার হলে ($P \approx Q \approx R \approx S$) ব্রিজটি সর্বাধিক সংবেদনশীল হয়।

মডিউল ৬: পরিমাপক যন্ত্র: মিটার ব্রিজ ও পোটেনশিওমিটার

৬.১ মিটার ব্রিজ (Slide Wire Bridge)

মিটার ব্রিজ হলো হুইটস্টোন ব্রিজের একটি ব্যবহারিক রূপ। এতে একটি মিটার স্কেল বরাবর $100\text{ cm} = 1\text{ m}$ দীর্ঘ সুষম প্রস্থচ্ছেদের ম্যাঙ্গানিন বা কনস্ট্যান্টান তার মোটা তামার পাতের মাঝে টানটান অবস্থায় থাকে।

বাম ফাঁকে জানা রোধ $R$ এবং ডান ফাঁকে অজানা রোধ $S$ যুক্ত করে জকিকে তারের ওপর সরিয়ে নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য $l$ cm নির্ধারণ করলে:

$$\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l} \quad \implies \quad S = \left(\frac{100 - l}{l}\right) R$$

প্রান্তিক ত্রুটি ও নির্ভুলতা: তারের শেষ প্রান্ত এবং তামার পাতের সংযোগস্থলের রোধের কারণে প্রান্তিক ত্রুটি ঘটে। নিস্পন্দ বিন্দু তারের ঠিক মাঝামাঝি অংশে ($40\text{ cm}$ থেকে $60\text{ cm}$-এর মধ্যে) রাখলে শতকরা আনুপাতিক ত্রুটি সর্বনিম্ন হয়।

৬.২ পোটেনশিওমিটারের কার্যনীতি ও শ্রেষ্ঠত্ব

মূল নীতি: সুষম প্রস্থচ্ছেদ ও অভিন্ন উপাদানের তারের মধ্য দিয়ে নির্দিষ্ট মানের স্থির প্রবাহ চললে, তারের যেকোনো দৈর্ঘ্যের দুই প্রান্তের বিভব পতন ওই দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক হয়:

$$V(l) = I R_l = I \left(\rho \frac{l}{A}\right) = \left(\frac{I\rho}{A}\right) l = k l \quad \implies \quad V \propto l$$

যেখানে $k = V/L$ হলো তারের বিভব নতিমাত্রা (Potential Gradient)।

ভোল্টমিটারের চেয়ে পোটেনশিওমিটার কেন শ্রেষ্ঠ?
সাধারণ ভোল্টমিটারের রোধ অসীম না হওয়ায় এটি পরিমাপের সময় বর্তনী থেকে কিছু পরিমাণ কারেন্ট ($i$) গ্রহণ করে। ফলে এটি প্রকৃত তড়িচ্চালক বল $E$-এর বদলে প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ $V = E - ir$ পরিমাপ করে। বিপরীতে, পোটেনশিওমিটার নিস্পন্দ বিক্ষেপ (Null Deflection) পদ্ধতিতে কাজ করে এবং পরিমাপকালে বর্তনী থেকে বিন্দু পরিমাণও তড়িৎ প্রবাহ গ্রহণ করে না ($I_g = 0$)। ফলে এটি অসীম রোধের একটি আদর্শ ভোল্টমিটার হিসেবে কাজ করে।

৬.৩ পোটেনশিওমিটারের ব্যবহারিক প্রয়োগ

১. দুটি কোষের তড়িচ্চালক বলের তুলনা:

$E_1$ ও $E_2$ কোষের নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $l_1$ ও $l_2$ হলে:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$$

২. কোষের অভ্যন্তরীণ রোধ নির্ণয়:

মুক্ত বর্তনীতে EMF পরিমাপের নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য $l_1$ এবং কোষের সাথে $R$ শান্ট রোধ যুক্ত করে বদ্ধ বর্তনীতে প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদের নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য $l_2$ হলে:

$$r = \left(\frac{E - V}{V}\right) R = \left(\frac{l_1 - l_2}{l_2}\right) R = \left(\frac{l_1}{l_2} - 1\right) R$$

সংবেদনশীলতা বৃদ্ধি: বিভব নতিমাত্রা $k$-এর মান যত কমানো যাবে, পোটেনশিওমিটার তত সংবেদনশীল হবে। তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে বা রিওস্ট্যাট দিয়ে মুখ্য বর্তনীর প্রবাহমাত্রা কমিয়ে এটি অর্জন করা যায়।

গুরুত্বপূর্ণ পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র, নিয়ম ও ধ্রুবক

বিচলন বেগ, সচলতা ও অণুবীক্ষণিক ওহমের সূত্র

$$v_d = \frac{eE\tau}{m}, \quad I = neAv_d, \quad \vec{J} = \sigma\vec{E}, \quad \rho = \frac{m}{ne^2\tau}$$

রোধাঙ্ক, তারের প্রসারণ ও উষ্ণতা গুণাঙ্ক

R = {l}{A}, R' = n^2 R (দৈর্ঘ্য n গুণ বাড়লে), R_T = R_0[1 + (T - T_0)]

জুলের তাপীয় ক্রিয়া, ক্ষমতা ও সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালন

H = I^2 R t, P = VI = I^2 R = {V^2}{R}, P_ = {E^2}{4r} (যখন R = r)

তড়িচ্চালক বল, অভ্যন্তরীণ রোধ ও মিশ্র সমবায়

V = E - Ir, r = ≤ft({E}{V} - 1)R, I_{মিশ্র} = {mnE}{mR + nr}

কার্শফের সূত্রাবলী ও ভারসাম্য হুইটস্টোন ব্রিজ

I = 0 (আধান সংরক্ষণ), IR = E (শক্তি সংরক্ষণ), {P}{Q} = {R}{S}

পরিমাপক যন্ত্র: মিটার ব্রিজ ও পোটেনশিওমিটার

$$S = \left(\frac{100 - l}{l}\right)R, \quad \frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}, \quad r = \left(\frac{l_1}{l_2} - 1\right)R$$

সমাধানকৃত উদাহরণ ও প্রয়োগ (Solved Examples)

উদাহরণ 1

1.0 mm² প্রস্থচ্ছেদের একটি তামার তারের মধ্য দিয়ে 1.5 A স্থির প্রবাহ চলছে। তামার মুক্ত ইলেকট্রন ঘনত্ব n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³ হলে পরিবাহী ইলেকট্রনগুলির বিচলন বেগ (v_d) নির্ণয় করো। (e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C)

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

প্রদত্ত তথ্য: • প্রবাহমাত্রা I = 1.5 A • প্রস্থচ্ছেদ A = 1.0 mm² = 1.0 × 10⁻⁶ m² • মুক্ত ইলেকট্রন ঘনত্ব n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³ • ইলেকট্রনের আধান e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C ধাপ ১: বিচলন বেগের সাথে প্রবাহমাত্রার সম্পর্ক: I = n e A v_d ==> v_d = I / (n e A) ধাপ ২: মান বসিয়ে গণনা: v_d = 1.5 / (8.5 × 10²⁸ × 1.6 × 10⁻¹⁹ × 1.0 × 10⁻⁶) v_d = 1.5 / (13.6 × 10³) = 1.103 × 10⁻⁴ m/s = 0.11 mm/s উত্তর: মুক্ত ইলেকট্রনগুলির গড় বিচলন বেগ হলো 1.10 × 10⁻⁴ m/s (বা প্রায় 0.11 mm/s)।

উদাহরণ 2

একটি সুষম ধাতব তারের রোধ R = 10 Ω। তারটিকে সুষমভাবে টেনে এর দৈর্ঘ্য 25% বৃদ্ধি করা হলো। (ক) প্রসারিত তারের নতুন রোধ নির্ণয় করো। (খ) ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের প্রসারণের ক্ষেত্রে (Δl/l << 1) বীজগণিতীয়ভাবে প্রমাণ করো যে রোধের আনুপাতিক বৃদ্ধি প্রায় ΔR/R ≈ 2(Δl/l)।

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

অংশ (ক): 25% প্রসারণে নতুন রোধ: ধরি প্রাথমিক দৈর্ঘ্য l এবং প্রস্থচ্ছেদ A। প্রসারিত দৈর্ঘ্য l' = l + 0.25l = 1.25l = (5/4)l। ভর ও উপাদান ধ্রুবক থাকায় আয়তন সংরক্ষিত থাকে: আয়তন V = A l = A' l' ==> A' = A (l / l') = A / 1.25 = (4/5)A নতুন রোধ R': R' = ρ (l' / A') = ρ [(5/4)l / ((4/5)A)] = (25/16) [ρ l / A] = (25/16) R R' = (25/16) × 10 Ω = 15.625 Ω অংশ (খ): ক্ষুদ্র পরিবর্তনের ক্ষেত্রে উপপাদন: আয়তন V = A l ==> A = V / l বসিয়ে পাই: R = ρ l / A = ρ l / (V / l) = (ρ / V) l² উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই: ln(R) = ln(ρ/V) + 2 ln(l) উভয়পক্ষে অবকলন করে পাই (যেহেতু ρ ও V ধ্রুবক): d(ln R) = 2 d(ln l) ==> dR / R = 2 (dl / l) ক্ষুদ্র সসীম পরিবর্তনের জন্য: ΔR / R ≈ 2 (Δl / l)। (প্রমাণিত)

উদাহরণ 3

E = 12 V তড়িচ্চালক বল এবং r = 2.0 Ω অভ্যন্তরীণ রোধের একটি ব্যাটারি একটি পরিবর্তনশীল বহিঃরোধ R-এর সাথে যুক্ত। (ক) R-এ সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালনের শর্ত প্রতিষ্ঠা করো। (খ) সর্বোচ্চ ক্ষমতার সাংখ্যমান কত? (গ) এই অবস্থায় ব্যাটারির তড়িৎ দক্ষতা কত?

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

অংশ (ক): সর্বোচ্চ ক্ষমতার শর্ত প্রতিষ্ঠা: বর্তনীতে প্রবাহমাত্রা I = E / (R + r)। বহিঃরোধ R-এ ব্যয়িত ক্ষমতা: P(R) = I² R = E² R / (R + r)² P-এর চরম মানের জন্য dP/dR = 0 হতে হবে: dP/dR = E² [(R + r)²(1) - R · 2(R + r)] / (R + r)⁴ = E² (r - R) / (R + r)³ = 0 ==> r - R = 0 ==> R = r = 2.0 Ω অর্থাৎ লোড রোধের মান ব্যাটারির অভ্যন্তরীণ রোধের সমান হতে হবে। অংশ (খ): সর্বোচ্চ ক্ষমতার মান: P_max = E² / (4r) = (12)² / (4 × 2.0) = 144 / 8 = 18.0 W অংশ (গ): ব্যাটারির দক্ষতা: ব্যাটারির মোট উৎপন্ন ক্ষমতা P_total = E I = E² / (R + r) = (12)² / 4 = 36.0 W বহিঃরোধে প্রাপ্ত ক্ষমতা P_load = 18.0 W দক্ষতা η = (P_load / P_total) × 100% = (18.0 / 36.0) × 100% = 50.0% উত্তর: শর্ত R = r = 2.0 Ω; সর্বোচ্চ ক্ষমতা = 18.0 W; দক্ষতা = 50%।

উদাহরণ 4

দুটি ব্যাটারির তড়িচ্চালক বল যথাক্রমে E₁ = 6.0 V (অভ্যন্তরীণ রোধ r₁ = 1.0 Ω) এবং E₂ = 4.0 V (অভ্যন্তরীণ রোধ r₂ = 2.0 Ω)। এদের ধনাত্মক প্রান্তগুলি একত্রে এবং ঋণাত্মক প্রান্তগুলি একত্রে যুক্ত করে সমান্তরাল সমবায়ে রাখা হলো। এই সমবায়টি একটি বহিঃরোধ R = 5.0 Ω-এ প্রবাহ পাঠায়। কার্শফের সূত্র প্রয়োগ করে: (ক) প্রতিটি ব্যাটারি দ্বারা সরবরাহকৃত প্রবাহমাত্রা নির্ণয় করো। (খ) লোড R-এর মধ্য দিয়ে মোট প্রবাহ এবং এর প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ নির্ণয় করো।

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

বর্তনী ও প্রবাহ বিশ্লেষণ: ধরি প্রথম ব্যাটারি E₁ থেকে বহির্গামী প্রবাহ I₁, দ্বিতীয় ব্যাটারি E₂ থেকে বহির্গামী প্রবাহ I₂। কার্শফের ১ম সূত্র অনুযায়ী লোড R-এর মধ্য দিয়ে মোট প্রবাহ I = I₁ + I₂। কার্শফের ২য় সূত্র (লুপ সূত্র) প্রয়োগ: লুপ ১ (E₁ ও লোড R যুক্ত লুপ): E₁ - I₁ r₁ - (I₁ + I₂) R = 0 6 - 1·I₁ - 5(I₁ + I₂) = 0 ==> 6 I₁ + 5 I₂ = 6 --- (সমীকরণ ১) লুপ ২ (E₂ ও লোড R যুক্ত লুপ): E₂ - I₂ r₂ - (I₁ + I₂) R = 0 4 - 2·I₂ - 5(I₁ + I₂) = 0 ==> 5 I₁ + 7 I₂ = 4 --- (সমীকরণ ২) সহসমীকরণ সমাধান: সমীকরণ ১ কে 5 দিয়ে গুণ: 30 I₁ + 25 I₂ = 30 সমীকরণ ২ কে 6 দিয়ে গুণ: 30 I₁ + 42 I₂ = 24 বিয়োগ করে পাই: -17 I₂ = 6 ==> I₂ = -6 / 17 A = -0.353 A (ঋণাত্মক চিহ্নের অর্থ হলো E₂ ব্যাটারিটি কারেন্ট সরবরাহ না করে বরং E₁ ব্যাটারি দ্বারা চার্জিত হচ্ছে!) I₂-এর মান সমীকরণ ১-এ বসিয়ে: 6 I₁ + 5(-6/17) = 6 ==> 6 I₁ = 6 + 30/17 = 132/17 ==> I₁ = 22 / 17 A ≈ 1.294 A লোডে মোট প্রবাহ I = I₁ + I₂ = (22/17) - (6/17) = 16 / 17 A ≈ 0.941 A লোডের প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ: V = I R = (16/17) × 5 = 80 / 17 V ≈ 4.706 V উত্তর: ১ম ব্যাটারির প্রবাহ = 1.294 A (নিঃসরণ); ২য় ব্যাটারির প্রবাহ = -0.353 A (আধান গ্রহণ); মোট লোড প্রবাহ = 0.941 A; প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ = 4.71 V।

উদাহরণ 5

একটি মিটার ব্রিজ পরীক্ষায় বাম ফাঁকে অজানা রোধ X এবং ডান ফাঁকে একটি প্রমাণ রোধ বক্স R = 6.0 Ω যুক্ত করা হলো। শূন্য দাগ থেকে l₁ = 40.0 cm দূরে নিস্পন্দ বিন্দু পাওয়া গেল। (ক) অজানা রোধ X-এর মান নির্ণয় করো। (খ) যদি তারের বাম ও ডান প্রান্তের প্রান্তিক ত্রুটি যথাক্রমে α = +0.4 cm এবং β = +0.6 cm হয়, তবে X-এর সংশোধিত মান কত হবে? (গ) নিস্পন্দ বিন্দু মাঝামাঝি অঞ্চলে (40 cm থেকে 60 cm) রাখলে কেন আনুপাতিক ত্রুটি সর্বনিম্ন হয়?

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

অংশ (ক): ত্রুটিহীন আদর্শ অবস্থায় X-এর মান: মিটার ব্রিজের নীতি অনুযায়ী: X / R = l₁ / (100 - l₁) X = R · [l₁ / (100 - l₁)] = 6.0 × [40.0 / (100 - 40.0)] = 6.0 × (40.0 / 60.0) = 4.0 Ω অংশ (খ): প্রান্তিক ত্রুটি বিবেচনায় X-এর সংশোধিত মান: বাম অংশের কার্যকর দৈর্ঘ্য l₁' = l₁ + α = 40.0 + 0.4 = 40.4 cm ডান অংশের কার্যকর দৈর্ঘ্য l₂' = (100 - l₁) + β = 60.0 + 0.6 = 60.6 cm সংশোধিত রোধ X_corr = R · (l₁' / l₂') = 6.0 × (40.4 / 60.6) = 4.00 Ω অংশ (গ): মাঝামাঝি অঞ্চলে ত্রুটি সর্বনিম্ন হওয়ার কারণ: যেহেতু X = R [l / (100 - l)], উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে অন্তরকলন করলে পাই: |ΔX / X| = (Δl / l) + [Δl / (100 - l)] = Δl · [100 / (l(100 - l))] স্কেলের পাঠ নেওয়ার একটি নির্দিষ্ট অনির্দিষ্টতা Δl-এর জন্য ভগ্নাংশীয় ত্রুটি |ΔX / X| নির্ভর করে হর f(l) = l(100 - l)-এর ওপর। f(l) = 100l - l² ফাংশনটির চরম মান নির্ণয়ে df/dl = 100 - 2l = 0 ==> l = 50.0 cm। অর্থাৎ l = 50 cm বিন্দুতে হরটি সর্বোচ্চ হওয়ায় ভগ্নাংশীয় ত্রুটি |ΔX/X| সর্বনিম্ন হয়। এজন্য নিস্পন্দ বিন্দু 40-60 cm-এর মধ্যে রাখা বিধেয়।

উদাহরণ 6

একটি পোটেনশিওমিটার তার AB-এর দৈর্ঘ্য L = 10.0 m এবং রোধ R_wire = 20.0 Ω। এটি E_0 = 4.0 V তড়িচ্চালক বলের সঞ্চায়ক ব্যাটারি এবং R_s = 60.0 Ω শ্রেণীরোধের সাথে যুক্ত। (ক) পোটেনশিওমিটার তারের বিভব নতিমাত্রা নির্ণয় করো। (খ) একটি পরীক্ষাধীন কোষ মুক্ত বর্তনীতে l₁ = 6.0 m দৈর্ঘ্যে নিস্পন্দ বিন্দু দেয়। কোষের দুই প্রান্তে R_sh = 10.0 Ω শান্ট রোধ যুক্ত করলে নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য সরে গিয়ে l₂ = 4.8 m হয়। কোষটির তড়িচ্চালক বল (E) এবং অভ্যন্তরীণ রোধ (r) নির্ণয় করো। (গ) তড়িচ্চালক বল পরিমাপে ভোল্টমিটার অপেক্ষা পোটেনশিওমিটার কেন মৌলিকভাবে শ্রেষ্ঠ?

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

অংশ (ক): বিভব নতিমাত্রা নির্ণয়: মুখ্য বর্তনীর মোট রোধ: R_total = R_wire + R_s = 20.0 + 60.0 = 80.0 Ω মুখ্য প্রবাহ: I_0 = E_0 / R_total = 4.0 / 80.0 = 0.05 A তারের দুই প্রান্তের মোট বিভব পতন: V_AB = I_0 × R_wire = 0.05 A × 20.0 Ω = 1.0 V বিভব নতিমাত্রা k: k = V_AB / L = 1.0 V / 10.0 m = 0.10 V/m = 1.0 mV/cm অংশ (খ): কোষের তড়িচ্চালক বল ও অভ্যন্তরীণ রোধ: ১. মুক্ত বর্তনীতে নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য l₁ = 6.0 m হওয়ায়: E = k l₁ = (0.10 V/m) × 6.0 m = 0.60 V ২. শান্ট রোধ R_sh = 10.0 Ω যুক্ত অবস্থায় নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য l₂ = 4.8 m হওয়ায় প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ: V = k l₂ = (0.10 V/m) × 4.8 m = 0.48 V ৩. অভ্যন্তরীণ রোধের সূত্রে মান বসিয়ে: r = [(l₁ - l₂) / l₂] × R_sh = [(6.0 - 4.8) / 4.8] × 10.0 Ω = (1.2 / 4.8) × 10.0 = 0.25 × 10.0 = 2.5 Ω অংশ (গ): পোটেনশিওমিটারের শ্রেষ্ঠত্ব: ১. ভোল্টমিটারের সীমাবদ্ধতা: সাধারণ ভোল্টমিটারের রোধ সসীম হওয়ায় এটি পাঠ নেওয়ার জন্য বর্তনী থেকে কিছু কারেন্ট (i_v) টেনে নেয়। ফলে এটি প্রকৃত EMF E-এর বদলে প্রান্তীয় বিভব V = E - i_v r পরিমাপ করে, যা সর্বদা প্রকৃত মানের চেয়ে কম হয়। ২. পোটেনশিওমিটারের নিস্পন্দ পদ্ধতি: পোটেনশিওমিটারে নিস্পন্দ অবস্থায় গ্যালভানোমিটার দিয়ে শূন্য কারেন্ট যায় (I_g = 0)। ফলে এটি পরীক্ষাধীন কোষ থেকে কোনো তড়িৎ গ্রহণ না করেই নিখুঁত মুক্ত-বর্তনী EMF পরিমাপ করে। ৩. তাত্ত্বিকভাবে পোটেনশিওমিটার একটি অসীম রোধের আদর্শ ভোল্টমিটার হিসেবে কাজ করে।

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সতর্কতা (Common Traps)

সাধারণ ভুল ধারণা

ইলেকট্রনের বিচলন বেগ এবং বৈদ্যুতিক সংকেতের প্রসারণ বেগকে একই মনে করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

ইলেকট্রনের প্রকৃত বিচলন বেগ অত্যন্ত ধীর (~0.1 mm/s)। কিন্তু সুইচ চালু করলে তড়িৎক্ষেত্র প্রায় আলোর বেগে (~3 × 10⁸ m/s) তার জুড়ে ছড়িয়ে পড়ে এবং সমস্ত মুক্ত ইলেকট্রনকে প্রায় তাৎক্ষণিকভাবে সচল করে তোলে।

সাধারণ ভুল ধারণা

তার টেনে n গুণ লম্বা করলে নতুন রোধ R' = nR লেখা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

তারের আয়তন সংরক্ষিত থাকে (V = A·l = ধ্রুবক)। দৈর্ঘ্য n গুণ বৃদ্ধি পেলে প্রস্থচ্ছেদ A/n হয়ে যায়। ফলে নতুন রোধ R' = ρ(nl) / (A/n) = n²(ρl/A) = n²R।

সাধারণ ভুল ধারণা

সব ধরনের বর্তনীতেই বেশি ওয়াটের বাতি সর্বদা বেশি উজ্জ্বলভাবে জ্বলবে মনে করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

বাতির রোধ R = V²/P। কম ওয়াটের বাতির ফিলামেন্টের রোধ বেশি (R_40W > R_100W)। শ্রেণী সমবায়ে প্রবাহমাত্রা এক হওয়ায় P = I²R সূত্রে 40 W বাতি বেশি উজ্জ্বলভাবে জ্বলে। সমান্তরাল সমবায়ে ভোল্টেজ এক হওয়ায় P = V²/R সূত্রে 100 W বাতি বেশি উজ্জ্বল জ্বলে।

সাধারণ ভুল ধারণা

কোষের প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ সর্বদা তড়িচ্চালক বলের চেয়ে কম হবে বলে ধরে নেওয়া।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

কোষকে বাইরে থেকে চার্জ বা আধান দেওয়ার সময় ধনাত্মক প্রান্তে কারেন্ট ঢোকানো হয়। তখন প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ হয় V = E + Ir > E। মুক্ত বর্তনীতে V = E। কেবল নিঃসরণকালেই V < E হয়।

সাধারণ ভুল ধারণা

সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালন উপপাদ্যের অর্থ বর্তনীর ১০০% দক্ষতা মনে করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

যখন R = r হয়, তখন বহিঃরোধে সর্বোচ্চ ক্ষমতা P_max = E²/(4r) সঞ্চালিত হয় ঠিকই, কিন্তু ব্যাটারির অভ্যন্তরীণ রোধেও একই পরিমাণ ক্ষমতা তাপে নষ্ট হয়। ফলে মোট উৎপন্ন ক্ষমতার মাত্র ৫০% লোডে পৌঁছায় (দক্ষতা η = 50%)। উচ্চ দক্ষতা পেতে R >> r প্রয়োজন, তবে সেক্ষেত্রে ক্ষমতার মান কমে যায়।

পশ্চিমবঙ্গ উচ্চমাধ্যমিক পদার্থবিদ্যা: প্রবাহী তড়িৎ অধ্যায়ের সার্বিক ধারণাগত নকশা

অধ্যায় সারসংক্ষেপ ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

মূল বিষয় 1

তড়িৎ প্রবাহ একটি স্কেলার রাশি (I = dq/dt), কিন্তু প্রবাহ ঘনত্ব একটি ভেক্টর রাশি (dI = J·dA)।

মূল বিষয় 2

মুক্ত ইলেকট্রনগুলির গড় তাপীয় বেগ শূন্য হলেও বাহ্যিক তড়িৎক্ষেত্রে এরা একটি ধীর বিচলন বেগ v_d = eEτ/m অর্জন করে।

মূল বিষয় 3

অণুবীক্ষণিক ওহমের সূত্র হলো J = σE, যেখানে পরিবাহিতাঙ্ক σ = ne²τ/m এবং রোধাঙ্ক ρ = m/(ne²τ)।

মূল বিষয় 4

ইলেকট্রনের সচলতা μ = v_d/E = eτ/m মাঝারি তড়িৎক্ষেত্রের জন্য তড়িৎক্ষেত্রের মানের ওপর নির্ভরশীল নয়।

মূল বিষয় 5

আয়তন অপরিবর্তিত রেখে তারকে টেনে n গুণ লম্বা করলে তারের রোধ n² গুণ বৃদ্ধি পায়।

মূল বিষয় 6

ধাতব পরিবাহীতে উষ্ণতা বৃদ্ধিতে রোধ বাড়ে (α > 0), কিন্তু অর্ধপরিবাহীতে সূচকীয় হারে মুক্ত বাহক বৃদ্ধি পাওয়ায় রোধ কমে (α < 0)।

মূল বিষয় 7

জুলের তাপীয় ক্রিয়া H = I²Rt এবং বাতির রেটিং R = V²/P নির্দেশ করে যে কম ওয়াটের বাতির রোধ তুলনামূলকভাবে বেশি।

মূল বিষয় 8

সর্বোচ্চ ক্ষমতা সঞ্চালন উপপাদ্য অনুযায়ী বহিঃরোধ ও অভ্যন্তরীণ রোধ সমান হলে (R = r) লোডে সর্বোচ্চ ক্ষমতা P_max = E²/(4r) পাওয়া যায় (দক্ষতা ৫০%)।

মূল বিষয় 9

কার্শফের সংযোগ বিন্দু সূত্র (ΣI = 0) আধানের সংরক্ষণ এবং লুপ সূত্র (ΣΔV = 0) শক্তির সংরক্ষণের প্রতীক।

মূল বিষয় 10

পোটেনশিওমিটার নিস্পন্দ অবস্থায় বর্তনী থেকে কোনো তড়িৎ না টেনে নিখুঁত বিভব ও EMF পরিমাপ করে, যা একটি আদর্শ ভোল্টমিটারের সমতুল্য।

স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন (Check Your Understanding)

মূল ধারণাগত স্পষ্টতা যাচাই করার জন্য অনুশীলন প্রশ্ন। উত্তর দেখার আগে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো।

একটি কার্বন রোধকের গায়ে পরপর হলুদ, বেগুনী, বাদামী এবং সোনালী রঙের বলয় রয়েছে। এর রোধ ও সহনশীলতার (Tolerance) মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: 470 Ω ± 5% (হলুদ=4, বেগুনী=7, বাদামী=10¹, সোনালী=±5%)।
BBROY সংকেত ব্যবহার করো: Black=0, Brown=1, Red=2, Orange=3, Yellow=4, Green=5, Blue=6, Violet=7। গোল্ডেন সহনশীলতা ±5%।

16 Ω রোধের একটি সুষম তারকে বাঁকিয়ে পূর্ণ বৃত্ত তৈরি করা হলো। বৃত্তের যেকোনো ব্যাসের বিপরীত প্রান্ত দুটির মধ্যবর্তী তুল্য রোধ কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: 4.0 Ω (প্রতিটি অর্ধবৃত্তের রোধ 8 Ω; সমান্তরাল তুল্য রোধ = 8 × 8 / (8 + 8) = 4 Ω)।
বৃত্তের ব্যাস তারটিকে দুটি সমান অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে, যা পরস্পরের সাথে সমান্তরালে যুক্ত থাকে।

প্রতিটি 1.5 V তড়িচ্চালক বল ও 0.5 Ω অভ্যন্তরীণ রোধের তিনটি অভিন্ন কোষকে শ্রেণীতে যুক্ত করে একটি 3.0 Ω বহিঃরোধের সাথে লাগানো হলো। বর্তনীর প্রবাহমাত্রা ও প্রতিটি কোষের প্রান্তীয় বিভবপ্রভেদ কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: I = 1.0 A; V_cell = 1.0 V (মোট E = 4.5 V, R_tot = 3.0 + 1.5 = 4.5 Ω। প্রতিটি কোষে V = 1.5 - 1.0 × 0.5 = 1.0 V)।
মোট EMF = 3E, মোট রোধ = R + 3r। প্রতিটি কোষের প্রান্তীয় বিভব V = E - Ir।

একটি হুইটস্টোন ব্রিজের চারটি বাহুর রোধ যথাক্রমে P = 10 Ω, Q = 20 Ω, R = 15 Ω এবং S = 30 Ω। ইনপুটে একটি 6.0 V ব্যাটারি যুক্ত করলে গ্যালভানোমিটারের মধ্য দিয়ে কত প্রবাহ যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: 0 A (P/Q = 10/20 = 1/2 এবং R/S = 15/30 = 1/2; ব্রিজটি সম্পূর্ণরূপে ভারসাম্যপূর্ণ হওয়ায় গ্যালভানোমিটার কারেন্ট শূন্য)।
ভারসাম্য শর্ত P/Q = R/S যাচাই করো।

একটি পোটেনশিওমিটার পরীক্ষায় 1.25 V তড়িচ্চালক বলের একটি কোষের জন্য তারের 35.0 cm দৈর্ঘ্যে নিস্পন্দ বিন্দু পাওয়া যায়। অন্য একটি কোষের জন্য নিস্পন্দ দৈর্ঘ্য 63.0 cm হলে দ্বিতীয় কোষটির তড়িচ্চালক বল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: 2.25 V (E₂ = E₁ × (l₂ / l₁) = 1.25 × (63.0 / 35.0) = 1.25 × 1.8 = 2.25 V)।
তুলনা সূত্র E₁/E₂ = l₁/l₂ প্রয়োগ করো।

অধ্যায় পড়া শেষ হয়েছে?

অনুশীলন শুরু করো

অনলাইন মক টেস্ট দিয়ে প্রস্তুতি যাচাই করো

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) পাঠ্যক্রম অনুযায়ী বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ) সমাধান করো। তাৎক্ষণিক ফলাফল, সঠিক ব্যাখ্যা এবং নিজের স্কোর জেনে নাও।

ফাউন্ডেশন টেস্ট

১৫টি MCQ • মূল ধারণা

অ্যাডভান্সড টেস্ট

১৫টি MCQ • বিশেষ প্রশ্নাবলি

শ্রেণি 12 Physics — সকল অধ্যায়

AI সহায়ক

তাত্ক্ষণিক সমাধান

প্রবাহী তড়িৎ অধ্যায়ে কোনো প্রশ্ন বা সন্দেহ আছে? আমাদের AI শিক্ষক থেকে সহজ সমাধান ও ব্যাখ্যা নিন।

💬 "মূল বিষয়বস্তু সংক্ষেপে ব্যাখ্যা করো" 💬 "পরীক্ষায় সাধারণ ভুলগুলো কী কী?" 💬 "পরীক্ষার জন্য কীভাবে প্রস্তুতি নেব?"

পদার্থের শ্রেণি	\(\alpha\)-এর চিহ্ন	ভৌত কারণ	গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ
ধাতব পরিবাহী	\(\alpha > 0\) (ধনাত্মক)	ইলেকট্রন ঘনত্ব \(n\) ধ্রুবক থাকে; আয়নগুলির কম্পন বৃদ্ধি পাওয়ায় শিথিলন কাল \(\tau\) হ্রাস পায় (\(\rho \propto 1/\tau\))।	তামা, অ্যালুমিনিয়াম, রূপা, টাংস্টেন
প্রমাণ রোধ সংকর ধাতু	\(\alpha \approx 0\) (নগণ্য)	উচ্চ রোধাঙ্ক এবং উষ্ণতা পরিবর্তনে রোধের মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে, ফলে পরিমাপক কয়েলে ব্যবহৃত হয়।	ম্যাঙ্গানিন, কনস্ট্যান্টান (ইউরেকা), নিক্রোম
অর্ধপরিবাহী ও কার্বন	\(\alpha < 0\) (ঋণাত্মক)	উষ্ণতা বৃদ্ধিতে সমযোজী বন্ধন ভেঙে আধান পরিবাহকের ঘনত্ব \(n\) সূচকীয় হারে বৃদ্ধি পায়।	সিলিকন, জার্মেনিয়াম, থার্মিস্টর, গ্রাফাইট
অতিপরিবাহী (Superconductors)	হঠাৎ পতন	সংকট উষ্ণতায় (\(T_c\)) পৌঁছালে রোধ আকস্মিকভাবে শূন্যে নেমে যায়।	পারদ (\(4.2 \text{ K}\)), সীসা (\(7.2 \text{ K}\))

প্রবাহী তড়িৎ

অধ্যায়টির গুরুত্ব

অধ্যায়ের বিষয়সূচি ও রূপরেখা

সম্পূর্ণ তত্ত্ব ও ধারণাগত আলোচনা

মডিউল ১: তড়িৎ প্রবাহ, বিচলন বেগ ও অণুবীক্ষণিক ওহমের সূত্র

মডিউল ২: রোধ, রোধাঙ্ক, তারের প্রসারণ ও উষ্ণতার প্রভাব

মডিউল ৩: রোধের সমবায়, জুলের তাপীয় ক্রিয়া ও ক্ষমতা

মডিউল ৪: তড়িচ্চালক বল, অভ্যন্তরীণ রোধ ও কোষের সমবায়

মডিউল ৫: কার্শফের সূত্রাবলী ও নেটওয়ার্ক বিশ্লেষণ

মডিউল ৬: পরিমাপক যন্ত্র: মিটার ব্রিজ ও পোটেনশিওমিটার

গুরুত্বপূর্ণ পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র, নিয়ম ও ধ্রুবক

সমাধানকৃত উদাহরণ ও প্রয়োগ (Solved Examples)

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সতর্কতা (Common Traps)

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

পশ্চিমবঙ্গ উচ্চমাধ্যমিক পদার্থবিদ্যা: প্রবাহী তড়িৎ অধ্যায়ের সার্বিক ধারণাগত নকশা

অধ্যায় সারসংক্ষেপ ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন (Check Your Understanding)

অনলাইন মক টেস্ট দিয়ে প্রস্তুতি যাচাই করো

শ্রেণি 12 Physics — সকল অধ্যায়

AI সহায়ক

Get the Latest Updates