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WBB • कक्षा XII • Physics • अध्याय 2

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

धारा विद्युत

धारा विद्युत भौतिक विज्ञान की वह महत्वपूर्ण शाखा है जिसमें चालक माध्यम में गतिशील विद्युत आवेशों के व्यवहार एवं प्रवाह का क्रमबद्ध अध्ययन किया जाता है। इस अध्याय में बाह्य विद्युत क्षेत्र के अधीन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की सूक्ष्मदर्शीय गति, श्रांतिकाल और अनुगमन वेग के आधार पर ओम के नियम की मूलभूत व्युत्पत्ति की गई है। चालक की ज्यामितीय विमाओं तथा ताप पर प्रतिरोध व प्रतिरोधकता की निर्भरता, तार के खिंचाव के प्रश्न, जूल का तापन नियम, अधिकतम शक्ति संचरण प्रमेय, रासायनिक सेल का विद्युत वाहक बल, टर्मिनल विभवांतर एवं आंतरिक प्रतिरोध का सविस्तार विश्लेषण प्रस्तुत है। जटिल विद्युत परिपथों को हल करने हेतु किरचॉफ के संधि व लूप नियम तथा शून्य-विक्षेप मापन उपकरण जैसे व्हीटस्टोन सेतु, मीटर सेतु एवं विभवमापी के सिद्धांतों का उच्च माध्यमिक परीक्षा के अनुरूप संपूर्ण समावेश किया गया है।

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यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

आधुनिक औद्योगिक सभ्यता और दैनिक जीवन का संपूर्ण विद्युत ढांचा धारा विद्युत के सिद्धांतों पर कार्य करता है। सेल का आंतरिक प्रतिरोध विद्युत ऊर्जा के रूपांतरण को किस प्रकार प्रभावित करता है, ताप बढ़ने पर अर्धचालकों और धातुओं का आचरण किस प्रकार भिन्न होता है, तथा विभवमापी बिना कोई धारा लिए किस प्रकार आदर्श वोल्टमीटर की भांति यथार्थ विद्युत वाहक बल मापता है—यह ज्ञान उच्च भौतिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स तथा सभी इंजीनियरिंग क्षेत्रों की आधारशिला है।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 मॉड्यूल 1: विद्युत धारा, अनुगमन वेग...

2 मॉड्यूल 2: प्रतिरोध, प्रतिरोधकता, त...

3 मॉड्यूल 3: प्रतिरोध संयोजन, जूल ताप...

4 मॉड्यूल 4: विद्युत वाहक बल, आंतरिक...

5 मॉड्यूल 5: किरचॉफ के नियम एवं परिपथ...

6 मॉड्यूल 6: मापन यंत्र: मीटर सेतु एव...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

मॉड्यूल 1: विद्युत धारा, अनुगमन वेग एवं सूक्ष्मदर्शीय ओम नियम

1.1 विद्युत धारा एवं धारा घनत्व

किसी चालक के किसी अनुप्रस्थ परिच्छेद से आवेश प्रवाह की समय दर को विद्युत धारा (Electric Current) कहते हैं। यदि $\Delta t$ समयांतराल में परिच्छेद से प्रवाहित कुल नेट आवेश $\Delta q$ हो, तो तात्कालिक विद्युत धारा:

$$I = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{dq}{dt}$$

यद्यपि विद्युत धारा में परिमाण और दिशा (पारंपरिक दिशा धनावेश के प्रवाह की दिशा तथा इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह के विपरीत) दोनों होते हैं, फिर भी यह एक अदिश राशि (Scalar Quantity) है, क्योंकि यह सदिश योग के नियमों का पालन न करके साधारण बीजगणितीय योग के नियमों का पालन करती है। इसके विपरीत, परिच्छेद के प्रति एकांक क्षेत्रफल से लंबवत प्रवाहित धारा को धारा घनत्व (Current Density, $\vec{J}$) कहते हैं, जो एक सदिश राशि है:

$$I = \iint_A \vec{J} \cdot d\vec{A} \quad \implies \quad J = \frac{I}{A} \quad \text{(यदि धारा क्षेत्रफल } A\text{ के लंबवत एवं एकसमान हो)}$$

विद्युत धारा का SI मात्रक ऐम्पियर ($\text{A} = \text{C/s}$) तथा धारा घनत्व का मात्रक $\text{A/m}^2$ होता है।

1.2 ऊष्मीय वेग एवं अनुगमन वेग (Drift Velocity)

सामान्य ताप पर बाह्य विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में चालक के भीतर मुक्त इलेक्ट्रॉन अत्यधिक तीव्र चाल (लगभग $10^5 \text{ से } 10^6 \text{ m/s}$) से धन आयनों के साथ यादृच्छिक ऊष्मीय गति करते हैं। इस गति की पूर्णतः यादृच्छिक प्रकृति के कारण सभी इलेक्ट्रॉनों का औसत ऊष्मीय वेग शून्य होता है:

$$\vec{u}_{\text{avg}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \vec{u}_i = 0$$

जब चालक के सिरों पर विभवांतर आरोपित करके विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ स्थापित किया जाता है, तो प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर विद्युत बल $\vec{F} = -e\vec{E}$ कार्य करता है, जिससे उसमें त्वरण उत्पन्न होता है: $\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m}$। दो क्रमागत टक्करों के मध्य के समयांतराल को श्रांतिकाल (Relaxation Time, $\tau$) कहते हैं। $i$-वें इलेक्ट्रॉन का अंतिम वेग:

$$\vec{v}_i = \vec{u}_i + \vec{a}\tau_i = \vec{u}_i - \frac{e\vec{E}}{m}\tau_i$$

सभी मुक्त इलेक्ट्रॉनों का औसत वेग ही अनुगमन वेग (Drift Velocity, $\vec{v}_d$) कहलाता है:

$$\vec{v}_d = -\frac{e\vec{E}}{m}\tau \quad \implies \quad v_d = \frac{eE\tau}{m}$$

धातुओं में अनुगमन वेग का परिमाण अत्यंत कम—लगभग $10^{-4} \text{ m/s}$ (यानि 0.1 मिमी/सेकंड) के कोटि का होता है।

1.3 $I = neAv_d$ संबंध एवं सूक्ष्मदर्शीय ओम नियम

माना किसी $A$ अनुप्रस्थ परिच्छेद वाले चालक में प्रति एकांक आयतन में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ है। $\Delta t$ समय में $v_d$ वेग से गतिशील इलेक्ट्रॉन $\Delta x = v_d \Delta t$ दूरी तय करते हैं। इस बेलनाकार खंड का आयतन $A v_d \Delta t$ होगा, अतः प्रवाहित कुल आवेश:

$$\Delta q = n e (A v_d \Delta t) \quad \implies \quad I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = n e A v_d$$

क्षेत्रफल $A$ से भाग देने पर धारा घनत्व:

$$J = \frac{I}{A} = n e v_d = n e \left(\frac{eE\tau}{m}\right) = \left(\frac{n e^2 \tau}{m}\right) E$$

यह सूक्ष्मदर्शीय ओम का नियम (Microscopic Ohm's Law, $\vec{J} = \sigma \vec{E}$) है, जहाँ विद्युत चालकता ($\sigma$) तथा विशिष्ट प्रतिरोध / प्रतिरोधकता ($\rho$) हैं:

$$\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m}, \qquad \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^2 \tau}$$

1.4 गतिशीलता (Mobility)

एकांक विद्युत क्षेत्र द्वारा प्राप्त अनुगमन वेग के परिमाण को आवेश वाहक की गतिशीलता (Mobility, $\mu$) कहते हैं:

$$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{e\tau}{m} \quad \implies \quad \sigma = n e \mu$$

गतिशीलता का SI मात्रक $\text{m}^2 \cdot \text{V}^{-1} \cdot \text{s}^{-1}$ होता है।

मॉड्यूल 2: प्रतिरोध, प्रतिरोधकता, तार का खिंचाव एवं ताप निर्भरता

2.1 प्रतिरोध एवं चालक की ज्यामिति

$l$ लंबाई तथा $A$ अनुप्रस्थ परिच्छेद वाले चालक के सिरों पर विभवांतर $V$ लगाने पर विद्युत क्षेत्र $E = V/l$ होता है। $E = \rho J = \rho (I/A)$ से:

$$\frac{V}{l} = \rho \frac{I}{A} \quad \implies \quad V = I \left(\frac{\rho l}{A}\right) = IR, \qquad R = \rho \frac{l}{A} = \left(\frac{m}{n e^2 \tau}\right) \frac{l}{A}$$

अतः प्रतिरोध चालक की लंबाई के समानुपाती ($l$), अनुप्रस्थ क्षेत्रफल کے व्युत्क्रमानुपाती ($1/A$) तथा पदार्थ की प्रकृति व ताप ($\rho$) पर निर्भर करता है।

2.2 तार का खिंचाव एवं प्रतिरोध परिवर्तन (आयतन संरक्षण नियम)

जब किसी चालक तार को खींचकर उसकी लंबाई बढ़ाई जाती है, तो द्रव्यमान और पदार्थ स्थिर रहने के कारण चालक का कुल आयतन सदैव अपरिवर्तित रहता है:

$$\text{आयतन } \mathcal{V} = A l = A' l' = \text{नियतांक} \quad \implies \quad \frac{A'}{A} = \frac{l}{l'}$$

यदि तार को खींचकर लंबाई $n$ गुना कर दी जाए ($l' = n l$), तो परिच्छेद घटकर $A' = A/n$ रह जाता है। अतः नया प्रतिरोध $R'$:

$$R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{n l}{A/n} = n^2 \left(\rho \frac{l}{A}\right) = n^2 R$$

त्रिज्या $r$ के संदर्भ में, $A = \pi r^2$ होने से $R \propto 1/r^4$। अतः तार की त्रिज्या आधी करने पर प्रतिरोध $2^4 = 16$ गुना बढ़ जाता है।

अल्प प्रतिशत वृद्धि ($\Delta l/l \le 5\%$) के लिए:

$$\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l} \qquad (\text{जैसे } 1\% \text{ लंबाई वृद्धि पर प्रतिरोध लगभग } 2\% \text{ बढ़ता है})$$

2.3 प्रतिरोध की ताप निर्भरता एवं ताप गुणांक ($\alpha$)

सामान्य ताप परास में प्रतिरोध ताप के साथ रैखिक रूप से बदलता है:

$$R_T = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)] \quad \implies \quad \alpha = \frac{R_T - R_0}{R_0 \Delta T}$$

जहाँ $\alpha$ प्रतिरोध ताप गुणांक है (मात्रक: $^{\circ}\text{C}^{-1}$ या $\text{K}^{-1}$)।

पदार्थ श्रेणी	$\alpha$ का चिह्न	भौतिक कारण	महत्वपूर्ण उदाहरण
धात्विक चालक	$\alpha > 0$ (धनात्मक)	आवेश घनत्व $n$ स्थिर रहता है; आयनों के कंपन बढ़ने से श्रांतिकाल $\tau$ घटता है ($\rho \propto 1/\tau$)।	तांबा, एल्युमिनियम, चांदी, टंगस्टन
प्रमाणिक मिश्र धातुएं	$\alpha \approx 0$ (नगण्य)	उच्च प्रतिरोधकता और ताप परिवर्तन पर लगभग स्थिर प्रतिरोध, अतः मानक प्रतिरोध बॉक्स में प्रयुक्त।	मैंगनीन, कॉन्स्टेंटन (यूरेका), नाइक्रोम
अर्धचालक एवं कार्बन	$\alpha < 0$ (ऋणात्मक)	सहसंयोजक बंध टूटने से मुक्त आवेश वाहकों का घनत्व $n(T)$ चरघातांकी रूप से बढ़ता है।	सिलिकॉन, जर्मेनियम, थर्मिस्टर, ग्रेफाइट
अतिचालक (Superconductors)	तीव्र गिरावट	क्रांतिक ताप ($T_c$) पर प्रतिरोध एकाएक शून्य हो जाता है (कूपर युग्म निर्माण)।	पारा ($4.2 \text{ K}$), सीसा ($7.2 \text{ K}$)

मॉड्यूल 3: प्रतिरोध संयोजन, जूल तापन एवं शक्ति संचरण

3.1 श्रेणी एवं समांतर संयोजन

श्रेणी संयोजन (Series): प्रत्येक प्रतिरोध से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है तथा कुल विभवांतर व्यक्तिगत विभव पतनों के योग के बराबर होता है:

$$V = V_1 + V_2 + \dots = I(R_1 + R_2 + \dots) \quad \implies \quad R_s = \sum_{i=1}^n R_i$$

समांतर संयोजन (Parallel): प्रत्येक प्रतिरोध के सिरों पर समान विभवांतर $V$ होता है तथा कुल धारा शाखाओं में विभाजित होती है:

$$I = I_1 + I_2 + \dots = V\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots\right) \quad \implies \quad \frac{1}{R_p} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i}$$

दो प्रतिरोधों के लिए तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$, और धाराएं प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपात में बंटती हैं: $I_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}$, $I_2 = I \frac{R_1}{R_1 + R_2}$।

3.2 जूल का तापन नियम एवं विद्युत शक्ति

चालन के दौरान विद्युत ऊर्जा तापीय ऊर्जा में रूपांतरित होती है। $R$ प्रतिरोध में $t$ समय में उत्पन्न ऊष्मा:

$$H = V I t = I^2 R t = \frac{V^2}{R} t \quad \text{(जूल, J)} \qquad \left[H = \frac{I^2 R t}{4.184} \quad \text{कैलोरी में}\right]$$

विद्युत ऊर्जा क्षय की दर को विद्युत शक्ति (Power, $P$) कहते हैं:

$$P = V I = I^2 R = \frac{V^2}{R} \quad \text{(वाट, W)}$$

विद्युत ऊर्जा का व्यापारिक मात्रक: $1 \text{ यूनिट (kWh)} = 1000 \text{ W} \times 3600 \text{ s} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}$।

3.3 बल्बों की दीप्ति एवं संयोजन

प्रत्येक बल्ब के फिलामेंट का प्रतिरोध उसकी अंकित रेटिंग द्वारा निर्धारित होता है:

$$R = \frac{V_{\text{rated}}^2}{P_{\text{rated}}}$$

कम वाट वाले बल्ब का फिलामेंट प्रतिरोध अधिक होता है ($R_{40\text{W}} > R_{100\text{W}}$)।

श्रेणी क्रम में: धारा $I$ समान होने से वास्तविक व्ययित शक्ति $P = I^2 R$। अतः 40 W का बल्ब अधिक चमकेगा।
समांतर क्रम में: विभवांतर $V$ समान होने से वास्तविक शक्ति $P = V^2 / R$। अतः 100 W का बल्ब अधिक चमकेगा।

3.4 अधिकतम शक्ति संचरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem)

वि.वा.बल $E$ तथा आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले स्रोत से जुड़े बाह्य प्रतिरोध $R$ को दी गई शक्ति:

$$P = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}$$

अधिकतम शक्ति हेतु $\frac{dP}{dR} = 0$ करने पर शर्त प्राप्त होती है: $R = r$। अर्थात् बाह्य लोड प्रतिरोध का मान स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होने पर अधिकतम शक्ति संचरित होती है:

$$P_{\max} = \frac{E^2}{4r}$$

इस अवस्था में स्रोत की दक्षता $\eta = 50\%$ होती है।

मॉड्यूल 4: विद्युत वाहक बल, आंतरिक प्रतिरोध एवं सेलों का संयोजन

4.1 विद्युत वाहक बल एवं टर्मिनल विभवांतर

एकांक धन परीक्षण आवेश को सेल सहित पूरे परिपथ में प्रवाहित करने में गैर-विद्युत (रासायनिक) बलों द्वारा किए गए कार्य को सेल का विद्युत वाहक बल (EMF, $E$) कहते हैं:

$$E = \frac{W_{\text{chemical}}}{q} \quad \text{(वोल्ट, V)}$$

सेल के विद्युत अपघट्य द्वारा आयनों की गति में उत्पन्न बाधा को आंतरिक प्रतिरोध ($r$) कहते हैं। धारा प्रवाह $I$ होने पर आंतरिक प्रतिरोध के कारण $v = Ir$ विभव पतन होता है जिसे विभव ह्रास (Lost Volts) कहते हैं। अतः बाह्य सिरों के मध्य टर्मिनल विभवांतर ($V$):

$$\text{विसर्जन में: } V = E - Ir = IR \quad \implies \quad r = \left(\frac{E - V}{I}\right) = \left(\frac{E}{V} - 1\right)R$$

खुला परिपथ ($I = 0$): $V = E$ (टर्मिनल विभवांतर EMF के बराबर)।
विसर्जन (Discharging, $I > 0$): $V = E - Ir < E$।
आवेशन (Charging): बाह्य स्रोत द्वारा धारा अंदर भेजने पर $V = E + Ir > E$।
लघुपथन (Short Circuit, $R = 0$): $I_{\text{sc}} = E/r$ तथा $V = 0$।

4.2 सेलों का सम्मिश्रण एवं अधिकतम धारा

1. श्रेणी संयोजन ($n$ सेल):

$$I = \frac{nE}{R + nr}$$

2. समांतर संयोजन ($m$ सेल):

$$I = \frac{E}{R + r/m} = \frac{mE}{mR + r}$$

3. मिश्रित संयोजन (प्रत्येक पंक्ति में $n$ सेल, ऐसी $m$ पंक्तियां समांतर में):

कुल सेल $N = mn$। बैटरी का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{\text{eq}} = \frac{nr}{m}$। लोड धारा:

$$I = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr} = \frac{NE}{mR + nr}$$

अधिकतम धारा की शर्त: बाह्य प्रतिरोध का मान बैटरी के कुल आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए:

$$R = \frac{nr}{m} = r_{\text{eq}}$$

मॉड्यूल 5: किरचॉफ के नियम एवं परिपथ विश्लेषण

5.1 किरचॉफ का प्रथम नियम (संधि नियम / KCL)

कथन: किसी विद्युत परिपथ की किसी भी संधि (Junction) पर मिलने वाली समस्त विद्युत धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है:

$$\sum_{\text{संधि}} I = 0 \quad \iff \quad \sum I_{\text{प्रवेशी}} = \sum I_{\text{निर्गत}}$$

संरक्षण सिद्धांत: यह नियम आवेश के संरक्षण नियम (Conservation of Charge) पर आधारित है।

5.2 किरचॉफ का द्वितीय नियम (लूप नियम / KVL)

कथन: किसी बंद पाश (Closed Loop) के चारों ओर विभव परिवर्तनों (वि.वा.बल एवं $IR$ पतनों) का बीजगणितीय योग शून्य होता है:

$$\sum IR = \sum E \quad \iff \quad \oint_{\text{loop}} dV = 0$$

संरक्षण सिद्धांत: यह नियम ऊर्जा के संरक्षण नियम (Conservation of Energy) पर आधारित है।

5.3 व्हीटस्टोन सेतु का सिद्धांत एवं व्युत्पत्ति

चार प्रतिरोध $P, Q, R, S$ एक चतुर्भुज लूप $ABCD$ बनाते हैं। विकर्ण $BD$ पर गैल्वेनोमीटर $G$ और विकर्ण $AC$ पर सेल जुड़ा होता है।

संतुलन अवस्था (Balanced Condition): जब गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेप नहीं होता ($I_g = 0$), तो $V_B = V_D$ होता है।

किरचॉफ का लूप नियम लूप $ABDA$ और $BCDB$ में लगाने पर:

$$I_1 P = I_2 R \quad \text{तथा} \quad I_1 Q = I_2 S$$

भाग देने पर व्हीटस्टोन सेतु की संतुलन शर्त प्राप्त होती है:

$$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \quad \iff \quad S = \frac{Q}{P} R$$

संयुग्मी भुजाएं (Conjugate Arms): सेल और गैल्वेनोमीटर की स्थितियां आपस में बदल देने पर भी सेतु की संतुलन शर्त पूर्णतः अपरिवर्तित रहती है।

मॉड्यूल 6: मापन यंत्र: मीटर सेतु एवं विभवमापी

6.1 मीटर सेतु (Meter Bridge)

मीटर सेतु व्हीटस्टोन सेतु का प्रायोगिक रूप है। इसमें 1 मीटर ($100\text{ cm}$) लंबा एकसमान मैंगनीन या कॉन्स्टेंटन तार मीटर पैमाने के साथ लगा होता है।

बाएं गैप में ज्ञात प्रतिरोध $R$ और दाएं गैप में अज्ञात प्रतिरोध $S$ जोड़कर संतुलन लंबाई $l$ cm प्राप्त करने पर:

$$\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l} \quad \implies \quad S = \left(\frac{100 - l}{l}\right) R$$

संतुलन बिंदु तार के मध्य भाग ($40\text{ cm}$ से $60\text{ cm}$) में होने पर आनुपातिक त्रुटि न्यूनतम होती है।

6.2 विभवमापी (Potentiometer) का सिद्धांत एवं श्रेष्ठता

मूल सिद्धांत: जब एकसमान अनुप्रस्थ परिच्छेद और समांग तार से स्थिर धारा प्रवाहित होती है, तो तार की किसी भी लंबाई का विभव पतन उसकी लंबाई के समानुपाती होता है:

$$V(l) = I R_l = I \left(\rho \frac{l}{A}\right) = k l \quad \implies \quad V \propto l$$

जहाँ $k = V/L$ विभव प्रवणता (Potential Gradient) है।

विभवमापी वोल्टमीटर से क्यों श्रेष्ठ है?
साधारण वोल्टमीटर परिपथ से कुछ धारा ($i$) ग्रहण करता है, जिससे वह शुद्ध वि.वा.बल $E$ के बजाय टर्मिनल विभवांतर $V = E - ir$ मापता है। इसके विपरीत, विभवमापी शून्य-विक्षेप (Null Deflection) पर कार्य करता है और संतुलन की स्थिति में परिपथ से तनिक भी धारा नहीं लेता ($I_g = 0$)। अतः यह अनंत आंतरिक प्रतिरोध वाले एक आदर्श वोल्टमीटर की भांति शुद्ध वि.वा.बल मापता है।

6.3 विभवमापी के प्रमुख अनुप्रयोग

1. दो सेलों के वि.वा.बल की तुलना:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$$

2. सेल का आंतरिक प्रतिरोध ज्ञात करना:

$$r = \left(\frac{l_1}{l_2} - 1\right) R$$

सुग्राहिता बढ़ाना: विभव प्रवणता $k$ का मान जितना कम होगा, विभवमापी उतना ही अधिक सुग्राही होगा। तार की लंबाई बढ़ाकर अथवा प्राथमिक धारा घटाकर सुग्राहिता बढ़ाई जाती है।

प्रमुख भौतिक सूत्र, नियम एवं नियतांक

अनुगमन वेग, गतिशीलता एवं सूक्ष्मदर्शीय ओम नियम

$$v_d = \frac{eE\tau}{m}, \quad I = neAv_d, \quad \vec{J} = \sigma\vec{E}, \quad \rho = \frac{m}{ne^2\tau}$$

प्रतिरोधकता, तार का खिंचाव एवं ताप गुणांक

R = {l}{A}, R' = n^2 R (लंबाई n गुना), R_T = R_0[1 + (T - T_0)]

जूल तापन, विद्युत शक्ति एवं अधिकतम शक्ति प्रमेय

H = I^2 R t, P = VI = I^2 R = {V^2}{R}, P_ = {E^2}{4r} (जब R = r)

वि.वा.बल, आंतरिक प्रतिरोध एवं मिश्रित संयोजन

V = E - Ir, r = ≤ft({E}{V} - 1)R, I_{मिश्रित} = {mnE}{mR + nr}

किरचॉफ के नियम एवं संतुलित व्हीटस्टोन सेतु

I = 0 (आवेश संरक्षण), IR = E (ऊर्जा संरक्षण), {P}{Q} = {R}{S}

मापन यंत्र: मीटर सेतु एवं विभवमापी

$$S = \left(\frac{100 - l}{l}\right)R, \quad \frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}, \quad r = \left(\frac{l_1}{l_2} - 1\right)R$$

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

1.0 mm² अनुप्रस्थ परिच्छेद वाले तांबे के तार में 1.5 A की स्थायी धारा प्रवाहित हो रही है। यदि तांबे में मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³ हो, तो इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग (v_d) ज्ञात कीजिए। (e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C)

विस्तृत समाधान / उत्तर:

दिया गया डेटा: • धारा I = 1.5 A • क्षेत्रफल A = 1.0 mm² = 1.0 × 10⁻⁶ m² • मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³ • इलेक्ट्रॉन आवेश e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C चरण 1: विद्युत धारा एवं अनुगमन वेग का संबंध सूत्र: I = n e A v_d ==> v_d = I / (n e A) चरण 2: मान रखकर परिकलन: v_d = 1.5 / (8.5 × 10²⁸ × 1.6 × 10⁻¹⁹ × 1.0 × 10⁻⁶) v_d = 1.5 / (13.6 × 10³) = 1.103 × 10⁻⁴ m/s = 0.11 mm/s उत्तर: मुक्त इलेक्ट्रॉनों का औसत अनुगमन वेग 1.10 × 10⁻⁴ m/s (लगभग 0.11 मिमी/सेकंड) है।

उदाहरण 2

R = 10 Ω प्रतिरोध के एक एकसमान तार को खींचकर उसकी लंबाई में 25% की वृद्धि की जाती है। (क) खींचे गए तार का नया प्रतिरोध ज्ञात कीजिए। (ख) यदि लंबाई में अल्प भिन्नात्मक वृद्धि Δl/l (जहाँ Δl/l << 1) हो, तो बीजगणितीय रूप से सिद्ध कीजिए कि प्रतिरोध में भिन्नात्मक वृद्धि लगभग ΔR/R ≈ 2(Δl/l) होती है।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

भाग (क): 25% खिंचाव पर नया प्रतिरोध: माना प्रारंभिक लंबाई l तथा क्षेत्रफल A है। नई लंबाई l' = l + 0.25l = 1.25l = (5/4)l। चूंकि द्रव्यमान व घनत्व नियत हैं, अतः आयतन संरक्षित रहता है: आयतन V = A l = A' l' ==> A' = A (l / l') = A / 1.25 = (4/5)A नया प्रतिरोध R': R' = ρ (l' / A') = ρ [(5/4)l / ((4/5)A)] = (25/16) [ρ l / A] = (25/16) R R' = (25/16) × 10 Ω = 15.625 Ω भाग (ख): अल्प परिवर्तन हेतु उपपत्ति: आयतन V = A l ==> A = V / l रखने पर: R = ρ l / A = ρ l / (V / l) = (ρ / V) l² दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (ln) लेने पर: ln(R) = ln(ρ/V) + 2 ln(l) अवकलन करने पर (चूंकि ρ व V नियत हैं): d(ln R) = 2 d(ln l) ==> dR / R = 2 (dl / l) अल्प परिमित परिवर्तनों के लिए: ΔR / R ≈ 2 (Δl / l)। (इति सिद्धम्)

उदाहरण 3

वि.वा.बल E = 12 V एवं आंतरिक प्रतिरोध r = 2.0 Ω की एक बैटरी परिवर्ती बाह्य प्रतिरोध R से जुड़ी है। (क) R में अधिकतम शक्ति क्षय की शर्त स्थापित कीजिए। (ख) अधिकतम शक्ति का संख्यात्मक मान परिकलित कीजिए। (ग) अधिकतम शक्ति संचरण की स्थिति में बैटरी की विद्युत दक्षता क्या है?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

भाग (क): अधिकतम शक्ति की शर्त: परिपथ में धारा I = E / (R + r)। लोड प्रतिरोध R द्वारा उपभुक्त शक्ति: P(R) = I² R = E² R / (R + r)² अधिकतम शक्ति हेतु dP/dR = 0: dP/dR = E² [(R + r)²(1) - R · 2(R + r)] / (R + r)⁴ = E² (r - R) / (R + r)³ = 0 ==> r - R = 0 ==> R = r = 2.0 Ω अतः बाह्य लोड प्रतिरोध का मान सेल के आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए। भाग (ख): अधिकतम शक्ति का मान: P_max = E² / (4r) = (12)² / (4 × 2.0) = 144 / 8 = 18.0 W भाग (ग): बैटरी की दक्षता: बैटरी द्वारा उत्पन्न कुल शक्ति P_total = E I = E² / (R + r) = (12)² / 4 = 36.0 W लोड को प्राप्त शक्ति P_load = 18.0 W दक्षता η = (P_load / P_total) × 100% = (18.0 / 36.0) × 100% = 50.0% उत्तर: शर्त R = r = 2.0 Ω; अधिकतम शक्ति = 18.0 W; दक्षता = 50%।

उदाहरण 4

दो बैटरियों के वि.वा.बल क्रमशः E₁ = 6.0 V (आंतरिक प्रतिरोध r₁ = 1.0 Ω) तथा E₂ = 4.0 V (आंतरिक प्रतिरोध r₂ = 2.0 Ω) हैं। इनके धनात्मक सिरों को एक साथ तथा ऋणात्मक सिरों को एक साथ समांतर क्रम में जोड़ा गया है। यह संयोजन R = 5.0 Ω के बाह्य प्रतिरोध को धारा देता है। किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके: (क) प्रत्येक बैटरी द्वारा प्रदत्त धारा ज्ञात कीजिए। (ख) लोड प्रतिरोध से प्रवाहित कुल धारा तथा उसके सिरों का टर्मिनल विभवांतर ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

परिपथ एवं धारा विश्लेषण: माना प्रथम सेल E₁ से निर्गत धारा I₁, द्वितीय सेल E₂ से निर्गत धारा I₂। किरचॉफ के प्रथम नियम से बाह्य लोड R में कुल धारा I = I₁ + I₂ होगी। किरचॉफ का लूप नियम (KVL) लागू करने पर: लूप 1 (E₁ व लोड R युक्त लूप): E₁ - I₁ r₁ - (I₁ + I₂) R = 0 6 - 1·I₁ - 5(I₁ + I₂) = 0 ==> 6 I₁ + 5 I₂ = 6 --- (समीकरण 1) लूप 2 (E₂ व लोड R युक्त लूप): E₂ - I₂ r₂ - (I₁ + I₂) R = 0 4 - 2·I₂ - 5(I₁ + I₂) = 0 ==> 5 I₁ + 7 I₂ = 4 --- (समीकरण 2) युगपत समीकरण हल करने पर: समीकरण 1 को 5 से गुणा: 30 I₁ + 25 I₂ = 30 समीकरण 2 को 6 से गुणा: 30 I₁ + 42 I₂ = 24 घटाने पर: -17 I₂ = 6 ==> I₂ = -6 / 17 A = -0.353 A (ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि 4V वाली बैटरी धारा दे नहीं रही बल्कि 6V वाली बैटरी द्वारा आवेशन (चार्ज) हो रही है!) I₂ का मान समीकरण 1 में रखने पर: 6 I₁ + 5(-6/17) = 6 ==> 6 I₁ = 6 + 30/17 = 132/17 ==> I₁ = 22 / 17 A ≈ 1.294 A लोड धारा I = I₁ + I₂ = (22/17) - (6/17) = 16 / 17 A ≈ 0.941 A टर्मिनल विभवांतर: V = I R = (16/17) × 5 = 80 / 17 V ≈ 4.706 V उत्तर: 6V बैटरी की धारा = 1.294 A (विसर्जन); 4V बैटरी की धारा = -0.353 A (आवेशन); कुल लोड धारा = 0.941 A; टर्मिनल विभवांतर = 4.71 V।

उदाहरण 5

एक मीटर सेतु प्रयोग में बाएं गैप में अज्ञात प्रतिरोध X तथा दाएं गैप में R = 6.0 Ω का मानक प्रतिरोध बॉक्स लगाया गया है। शून्य सिरे से l₁ = 40.0 cm दूरी पर शून्य-विक्षेप संतुलन बिंदु प्राप्त होता है। (क) अज्ञात प्रतिरोध X का मान ज्ञात कीजिए। (ख) यदि बाएं व दाएं सिरों पर अंत्य त्रुटियां (End Corrections) क्रमशः α = +0.4 cm तथा β = +0.6 cm हों, तो X का संशोधित मान क्या होगा? (ग) संतुलन बिंदु को मध्य भाग (40 cm से 60 cm) में रखने से आनुपातिक त्रुटि न्यूनतम क्यों होती है?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

भाग (क): सामान्य स्थिति में X का मान: मीटर सेतु सूत्र: X / R = l₁ / (100 - l₁) X = R · [l₁ / (100 - l₁)] = 6.0 × [40.0 / (100 - 40.0)] = 6.0 × (40.0 / 60.0) = 4.0 Ω भाग (ख): अंत्य त्रुटि सहित संशोधित मान: बाईं भुजा की प्रभावी लंबाई l₁' = l₁ + α = 40.0 + 0.4 = 40.4 cm दाईं भुजा की प्रभावी लंबाई l₂' = (100 - l₁) + β = 60.0 + 0.6 = 60.6 cm संशोधित प्रतिरोध X_corr = R · (l₁' / l₂') = 6.0 × (40.4 / 60.6) = 4.00 Ω भाग (ग): मध्य भाग में त्रुटि न्यूनतम होने का कारण: चूंकि X = R [l / (100 - l)], दोनों पक्षों का लघुगणक लेकर अवकलन करने पर: |ΔX / X| = (Δl / l) + [Δl / (100 - l)] = Δl · [100 / (l(100 - l))] पैमाने के पाठ्यांक की दी गई अनिश्चितता Δl के लिए भिन्नात्मक त्रुटि हर f(l) = l(100 - l) के व्युत्क्रमानुपाती होती है। f(l) = 100l - l² का उच्चिष्ठ मान df/dl = 100 - 2l = 0 ==> l = 50.0 cm पर प्राप्त होता है। अतः l = 50 cm के निकट हर अधिकतम होने से भिन्नात्मक त्रुटि |ΔX/X| न्यूनतम होती है। इसलिए संतुलन बिंदु 40-60 cm के मध्य रखना चाहिए।

उदाहरण 6

एक विभवमापी तार AB की लंबाई L = 10.0 m तथा प्रतिरोध R_wire = 20.0 Ω है। यह E_0 = 4.0 V वि.वा.बल वाली संचायक बैटरी (नगण्य आंतरिक प्रतिरोध) तथा R_s = 60.0 Ω के श्रेणी प्रतिरोध से जुड़ा है। (क) विभवमापी तार की विभव प्रवणता परिकलित कीजिए। (ख) एक प्राथमिक सेल खुले परिपथ में l₁ = 6.0 m पर संतुलन बिंदु देता है। सेल के सिरों पर R_sh = 10.0 Ω का शंट जोड़ने पर संतुलन लंबाई l₂ = 4.8 m हो जाती है। सेल का वि.वा.बल (E) तथा आंतरिक प्रतिरोध (r) ज्ञात कीजिए। (ग) वि.वा.बल के मापन में विभवमापी वोल्टमीटर की तुलना में सैद्धांतिक रूप से क्यों श्रेष्ठ है?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

भाग (क): विभव प्रवणता का परिकलन: प्राथमिक परिपथ का कुल प्रतिरोध: R_total = R_wire + R_s = 20.0 + 60.0 = 80.0 Ω प्राथमिक धारा: I_0 = E_0 / R_total = 4.0 / 80.0 = 0.05 A तार AB पर कुल विभव पतन: V_AB = I_0 × R_wire = 0.05 A × 20.0 Ω = 1.0 V विभव प्रवणता k: k = V_AB / L = 1.0 V / 10.0 m = 0.10 V/m = 1.0 mV/cm

भाग (ख): सेल का वि.वा.बल एवं आंतरिक प्रतिरोध:

खुले परिपथ में संतुलन लंबाई l₁ = 6.0 m होने पर: E = k l₁ = (0.10 V/m) × 6.0 m = 0.60 V
शंट प्रतिरोध R_sh = 10.0 Ω जोड़ने पर संतुलन लंबाई l₂ = 4.8 m होने से टर्मिनल विभवांतर: V = k l₂ = (0.10 V/m) × 4.8 m = 0.48 V
आंतरिक प्रतिरोध सूत्र से: r = [(l₁ - l₂) / l₂] × R_sh = [(6.0 - 4.8) / 4.8] × 10.0 Ω = (1.2 / 4.8) × 10.0 = 0.25 × 10.0 = 2.5 Ω

भाग (ग): विभवमापी की वोल्टमीटर पर श्रेष्ठता:

वोल्टमीटर की सीमा: वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध ससीम होता है, अतः विक्षेप दर्शाने के लिए यह सेल से कुछ धारा (i_v) खींचता है। परिणामस्वरूप यह खुले परिपथ के शुद्ध वि.वा.बल E के स्थान पर टर्मिनल विभवांतर V = E - i_v r मापता है, जो वास्तविक वि.वा.बल से सदैव कम होता है।
विभवमापी का शून्य-विक्षेप सिद्धांत: संतुलन की स्थिति में गैल्वेनोमीटर में शून्य धारा बहती है (I_g = 0)। इस प्रकार विभवमापी परीक्षण सेल से बिना कोई धारा लिए पूर्णतः शुद्ध खुले परिपथ का वि.वा.बल मापता है।
अतः विभवमापी अनंत प्रतिरोध वाले एक आदर्श वोल्टमीटर की तरह कार्य करता है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

इलेक्ट्रॉनों के अनुगमन वेग तथा विद्युत संकेत के संचरण वेग को समान समझना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

मुक्त इलेक्ट्रॉनों का वास्तविक अनुगमन वेग अत्यंत धीमा (~0.1 मिमी/सेकंड) होता है। किंतु स्विच चालू करते ही विद्युत क्षेत्र प्रकाश की चाल (~3 × 10⁸ मी/सेकंड) के निकट वेग से पूरे परिपथ में तुरंत संचरित होता है और सभी इलेक्ट्रॉनों को एक साथ गतिमान कर देता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

तार को खींचकर n गुना लंबा करने पर नया प्रतिरोध R' = nR लिखना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

तार का आयतन सदैव संरक्षित रहता है (V = A·l = नियतांक)। लंबाई n गुना करने पर क्षेत्रफल A/n रह जाता है। अतः नया प्रतिरोध R' = ρ(nl) / (A/n) = n²(ρl/A) = n²R होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

यह मान लेना कि अधिक वाट का बल्ब सभी परिपथों में सदैव अधिक चमकेगा।

सही वैज्ञानिक तथ्य

बल्ब का फिलामेंट प्रतिरोध R = V²/P होता है। कम वाट के बल्ब का प्रतिरोध अधिक होता है (R_40W > R_100W)। श्रेणी क्रम में धारा समान होने से P = I²R के अनुसार 40 W का बल्ब अधिक चमकेगा। समांतर क्रम में वोल्टेज समान होने से P = V²/R के अनुसार 100 W का बल्ब अधिक चमकेगा।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

सेल का टर्मिनल विभवांतर सदैव उसके वि.वा.बल से कम होना अनिवार्य मानना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

सेल को बाह्य स्रोत से चार्ज (आवेशन) करते समय धनात्मक टर्मिनल में धारा भेजी जाती है। तब टर्मिनल विभवांतर V = E + Ir > E होता है। खुले परिपथ में V = E होता है। केवल सामान्य विसर्जन में ही V < E होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

अधिकतम शक्ति संचरण प्रमेय का अर्थ 100% परिपथ दक्षता समझना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

जब R = r होता है, तो लोड को अधिकतम शक्ति P_max = E²/(4r) प्राप्त होती है, किंतु सेल के आंतरिक प्रतिरोध में भी उतनी ही शक्ति ऊष्मा के रूप में व्यय होती है। अतः कुल उत्पन्न शक्ति का केवल 50% ही लोड को मिलता है (दक्षता η = 50%)। उच्च दक्षता प्राप्त करने हेतु R >> r आवश्यक है, किंतु तब प्राप्त शक्ति घट जाती है।

पश्चिम बंगाल उच्च माध्यमिक भौतिक विज्ञान: धारा विद्युत अध्याय की समग्र अवधारणात्मक एवं सूत्र रूपरेखा

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

विद्युत धारा एक अदिश राशि है (I = dq/dt), जबकि धारा घनत्व एक सदिश राशि है (dI = J·dA)।

मुख्य बिंदु 2

मुक्त इलेक्ट्रॉनों का औसत ऊष्मीय वेग शून्य होता है, किंतु बाह्य विद्युत क्षेत्र में वे एक धीमा अनुगमन वेग v_d = eEτ/m प्राप्त करते हैं।

मुख्य बिंदु 3

सूक्ष्मदर्शीय ओम नियम J = σE है, जहाँ चालकता σ = ne²τ/m तथा प्रतिरोधकता ρ = m/(ne²τ) होती है।

मुख्य बिंदु 4

इलेक्ट्रॉन गतिशीलता μ = v_d/E = eτ/m मध्यम विद्युत क्षेत्रों के लिए क्षेत्र के मान से स्वतंत्र होती है।

मुख्य बिंदु 5

आयतन संरक्षण के अधीन तार को खींचकर n गुना लंबा करने पर उसका प्रतिरोध n² गुना बढ़ जाता है।

मुख्य बिंदु 6

धातुओं में ताप बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है (α > 0), जबकि अर्धचालकों में मुक्त वाहक घनत्व चरघातांकी रूप से बढ़ने के कारण प्रतिरोध घटता है (α < 0)।

मुख्य बिंदु 7

जूल तापन नियम H = I²Rt और बल्ब रेटिंग R = V²/P यह स्पष्ट करते हैं कि कम वाट के उपकरणों का फिलामेंट प्रतिरोध अधिक होता है।

मुख्य बिंदु 8

अधिकतम शक्ति संचरण प्रमेय के अनुसार बाह्य प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोध के बराबर (R = r) होने पर लोड को अधिकतम शक्ति P_max = E²/(4r) मिलती है (50% दक्षता)।

मुख्य बिंदु 9

किरचॉफ का संधि नियम (ΣI = 0) आवेश संरक्षण तथा लूप नियम (ΣΔV = 0) ऊर्जा संरक्षण के सार्वभौमिक नियमों पर आधारित हैं।

मुख्य बिंदु 10

विभवमापी शून्य-विक्षेप विधि पर कार्य करते हुए परिपथ से बिना कोई धारा लिए वि.वा.बल मापता है, जिससे यह एक आदर्श वोल्टमीटर की भांति व्यवहार करता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

एक कार्बन प्रतिरोधक पर रंगीन पट्टियों का क्रम पीला, बैंगनी, भूरा तथा सुनहरा है। इसका प्रतिरोध एवं सहनशीलता मान बताइए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 470 Ω ± 5% (पीला=4, बैंगनी=7, भूरा=10¹, सुनहरा=±5%)।
BBROY कोड का उपयोग करें: Black=0, Brown=1, Red=2, Orange=3, Yellow=4, Green=5, Blue=6, Violet=7। सुनहरा (Gold) सहनशीलता ±5% है।

16 Ω प्रतिरोध के एक एकसमान तार को मोड़कर एक पूर्ण वृत्त बनाया गया है। वृत्त के किसी भी व्यास के सम्मुख बिंदुओं के बीच प्रभावी तुल्य प्रतिरोध क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 4.0 Ω (प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रतिरोध 8 Ω; समांतर तुल्य प्रतिरोध = 8 × 8 / (8 + 8) = 4 Ω)।
वृत्त का व्यास तार को दो समान अर्धवृत्तों में विभाजित करता है, जो आपस में समांतर क्रम में जुड़े होते हैं।

1.5 V वि.वा.बल और 0.5 Ω आंतरिक प्रतिरोध वाले तीन सर्वसम सेलों को श्रेणी क्रम में जोड़कर 3.0 Ω के बाह्य प्रतिरोध से जोड़ा गया है। परिपथ की धारा तथा प्रत्येक सेल का टर्मिनल विभवांतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: I = 1.0 A; V_cell = 1.0 V (कुल E = 4.5 V, R_tot = 3.0 + 1.5 = 4.5 Ω। प्रत्येक सेल में V = 1.5 - 1.0 × 0.5 = 1.0 V)।
कुल वि.वा.बल = 3E, कुल प्रतिरोध = R + 3r। प्रत्येक सेल का टर्मिनल विभव V = E - Ir।

एक व्हीटस्टोन सेतु की चार भुजाओं के प्रतिरोध P = 10 Ω, Q = 20 Ω, R = 15 Ω तथा S = 30 Ω हैं। 6.0 V की बैटरी जोड़ने पर गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा कितनी होगी?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 0 A (P/Q = 10/20 = 1/2 तथा R/S = 15/30 = 1/2; सेतु पूर्णतः संतुलित होने के कारण गैल्वेनोमीटर में शून्य धारा बहेगी)।
संतुलन शर्त P/Q = R/S की जांच करें।

एक विभवमापी प्रयोग में 1.25 V वि.वा.बल वाले सेल के लिए संतुलन बिंदु 35.0 cm पर प्राप्त होता है। यदि दूसरा सेल 63.0 cm पर संतुलन बिंदु दे, तो दूसरे सेल का वि.वा.बल ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 2.25 V (E₂ = E₁ × (l₂ / l₁) = 1.25 × (63.0 / 35.0) = 1.25 × 1.8 = 2.25 V)।
समानुपात सूत्र E₁/E₂ = l₁/l₂ का उपयोग करें।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

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पदार्थ श्रेणी	\(\alpha\) का चिह्न	भौतिक कारण	महत्वपूर्ण उदाहरण
धात्विक चालक	\(\alpha > 0\) (धनात्मक)	आवेश घनत्व \(n\) स्थिर रहता है; आयनों के कंपन बढ़ने से श्रांतिकाल \(\tau\) घटता है (\(\rho \propto 1/\tau\))।	तांबा, एल्युमिनियम, चांदी, टंगस्टन
प्रमाणिक मिश्र धातुएं	\(\alpha \approx 0\) (नगण्य)	उच्च प्रतिरोधकता और ताप परिवर्तन पर लगभग स्थिर प्रतिरोध, अतः मानक प्रतिरोध बॉक्स में प्रयुक्त।	मैंगनीन, कॉन्स्टेंटन (यूरेका), नाइक्रोम
अर्धचालक एवं कार्बन	\(\alpha < 0\) (ऋणात्मक)	सहसंयोजक बंध टूटने से मुक्त आवेश वाहकों का घनत्व \(n(T)\) चरघातांकी रूप से बढ़ता है।	सिलिकॉन, जर्मेनियम, थर्मिस्टर, ग्रेफाइट
अतिचालक (Superconductors)	तीव्र गिरावट	क्रांतिक ताप (\(T_c\)) पर प्रतिरोध एकाएक शून्य हो जाता है (कूपर युग्म निर्माण)।	पारा (\(4.2 \text{ K}\)), सीसा (\(7.2 \text{ K}\))

धारा विद्युत

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

मॉड्यूल 1: विद्युत धारा, अनुगमन वेग एवं सूक्ष्मदर्शीय ओम नियम

मॉड्यूल 2: प्रतिरोध, प्रतिरोधकता, तार का खिंचाव एवं ताप निर्भरता

मॉड्यूल 3: प्रतिरोध संयोजन, जूल तापन एवं शक्ति संचरण

मॉड्यूल 4: विद्युत वाहक बल, आंतरिक प्रतिरोध एवं सेलों का संयोजन

मॉड्यूल 5: किरचॉफ के नियम एवं परिपथ विश्लेषण

मॉड्यूल 6: मापन यंत्र: मीटर सेतु एवं विभवमापी

प्रमुख भौतिक सूत्र, नियम एवं नियतांक

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

सही वैज्ञानिक तथ्य

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सही वैज्ञानिक तथ्य

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सही वैज्ञानिक तथ्य

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