আলোকবিজ্ঞান

জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানে গোলীয় দর্পণে প্রতিবিম্ব গঠনের ক্ষেত্রে নতুন কার্তেসীয় চিহ্নরীতি (New Cartesian Sign Convention) কঠোরভাবে মেনে চলা হয়: সমস্ত দূরত্ব দর্পণের মেরু (P) থেকে প্রধান অক্ষ বরাবর পরিমাপ করা হয়; আপতিত আলোক রশ্মির অভিমুখে পরিমাপকৃত দূরত্ব ধনাত্মক (+) এবং বিপরীত অভিমুখে ঋণাত্মক (-); প্রধান অক্ষের লম্বভাবে উপরের দিকের উচ্চতা ধনাত্মক এবং নিচের দিকের উচ্চতা ঋণাত্মক ধরা হয়।

বক্রতা ব্যাসার্ধ R বিশিষ্ট গোলীয় দর্পণের ফোকাস দূরত্ব f = R / 2 (অবতল দর্পণে f < 0; উত্তল দর্পণে f > 0)। উপাক্ষীয় রশ্মির (paraxial rays) ক্ষেত্রে মৌলিক দর্পণ সমীকরণ হলো:

যেখানে u হলো বস্তু দূরত্ব, v হলো প্রতিবিম্ব দূরত্ব। রৈখিক বিবর্ধন (Lateral Magnification) সংজ্ঞায়িত হয়:

যখন আলোক রশ্মি এক মাধ্যম (প্রতিসরাঙ্ক n₁) থেকে অন্য মাধ্যমে (প্রতিসরাঙ্ক n₂) প্রবেশ করে, তখন এটি স্নেলের সূত্র (Snell's Law) অনুসরণ করে:

ঘন মাধ্যম (n > 1) থেকে লঘু মাধ্যমে (বায়ু) দেখলে প্রতিসরণের কারণে তল উপরের দিকে উঠে এসেছে বলে মনে হয়:

অভ্যন্তরীণ পূর্ণ প্রতিফলন (Total Internal Reflection - TIR): আলো যখন ঘন মাধ্যম থেকে লঘু মাধ্যমের দিকে অগ্রসর হয় (n₁ > n₂), তখন আপতন কোণের একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য প্রতিসরণ কোণ r = 90° হয়। এই আপতন কোণকে সংকট কোণ (Critical Angle, θ_c) বলা হয়:

আপতন কোণ সংকট কোণের চেয়ে বেশি হলে (i > θ_c), সম্পূর্ণ আলো প্রথম মাধ্যমে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসে। অপটিক্যাল ফাইবার, প্রিজম পেরিস্কোপ এবং হীরকের উজ্জ্বলতা অভ্যন্তরীণ পূর্ণ প্রতিফলনের সরাসরি প্রয়োগ।

R বক্রতা ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি উত্তল বা অবতল প্রতিসারক তল যদি n₁ ও n₂ প্রতিসরাঙ্কের দুটি মাধ্যমকে পৃথক করে, তবে ক্ষুদ্র কোণের উপাক্ষীয় অনুমানের জন্য প্রতিসরণ সমীকরণটি হয়:

এই মৌলিক সমীকরণটি ব্যবহার করে পাতলা লেন্সের সূত্র প্রতিপাদন করা হয়।

দুটি গোলীয় তল (বক্রতা ব্যাসার্ধ R₁ ও R₂) দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি পাতলা লেন্সের ক্ষেত্রে পর পর দুটি তলে প্রতিসরণের সমীকরণ প্রয়োগ করে পাওয়া যায় লেন্স প্রস্তুতকারকের সূত্র (Lens Maker's Formula):

যেখানে n = n_লেন্স / n_পারিপার্শ্বিক হলো লেন্স উপাদানের আপেক্ষিক প্রতিসরাঙ্ক। এর সাথে বস্তু ও প্রতিবিম্ব দূরত্বের সম্পর্ক যুক্ত করলে গঠিত হয় পাতলা লেন্সের সমীকরণ:

লেন্সের ক্ষমতা (Power of a Lens, P): লেন্সের আলোক রশ্মিকে অভিসারী বা অপসারী করার সামর্থ্যকে লেন্সের ক্ষমতা বলে, যা ফোকাস দূরত্বের অন্যোন্যক: P = 1 / f (মিটার)। এর এসআই একক ডায়প্টার (Diopter, D) (1 D = 1 m⁻¹)। পরস্পরের সংস্পর্শে রাখা দুটি সমাক্ষীয় পাতলা লেন্সের তুল্য ফোকাস দূরত্ব ও ক্ষমতা:

একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমে প্রতিসারক কোণ A এবং প্রতিসারক তলদ্বয়ে আপতন কোণ i₁ এবং নির্গমন কোণ i₂ হলে, অন্তর্বর্তী প্রতিসরণ কোণদ্বয় r₁ ও r₂-এর ক্ষেত্রে জ্যামিতিকভাবে প্রমাণিত হয়:

প্রিজমে আলোক রশ্মির মোট চ্যুতি কোণ (Angle of Deviation, δ):

আপতন কোণ i₁ ক্রমশ বৃদ্ধি করলে চ্যুতি কোণ প্রথমে হ্রাস পায়, একটি ন্যূনতম মান δ_m-এ পৌঁছায় এবং পুনরায় বৃদ্ধি পায়। এই ন্যূনতম চ্যুতি অবস্থানে আলোক রশ্মি প্রিজমের মধ্য দিয়ে প্রতিসমভাবে গমন করে:

স্নেলের সূত্রানুসারে প্রিজমের প্রতিসরাঙ্কের সুনির্দিষ্ট রাশিমালা হলো প্রিজম সূত্র:

ক্ষুদ্র কোণী পাতলা প্রিজমের (A < 10°) ক্ষেত্রে চ্যুতি কোণ হয়: δ ≈ (n - 1) A।

কাচ মাধ্যমে বিভিন্ন বর্ণের আলোর বেগ বিভিন্ন হওয়ায় প্রতিসরাঙ্ক তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ওপর নির্ভরশীল (কোশির সম্পর্ক: n(λ) ≈ a + b/λ²)। বেগুনি আলোর প্রতিসরাঙ্ক সর্বাধিক (n_V > n_R) হওয়ায় চ্যুতি সর্বাধিক হয়।

• কৌণিক বিচ্ছুরণ (Angular Dispersion, θ): বেগুনি ও লাল বর্ণের নির্গমন রশ্মির মধ্যবর্তী কোণ: θ = δ_V - δ_R = (n_V - n_R) A।
• বিচ্ছুরণ ক্ষমতা (Dispersive Power, ω): কৌণিক বিচ্ছুরণ ও গড় বর্ণের (হলুদ) বিচ্যুতির অনুপাত:
  ω = (δ_V - δ_R) / δ_Y = (n_V - n_R) / (n_Y - 1)
  বিচ্ছুরণ ক্ষমতা শুধুমাত্র প্রিজমের উপাদানের ওপর নির্ভর করে, প্রতিসারক কোণ A-এর ওপর নয়।

১. জটিল অনুবীক্ষণ যন্ত্র (Compound Microscope): এটি স্বল্প ফোকাস দূরত্বের একটি অভিলক্ষ্য লেন্স (Objective, f_o) এবং অপেক্ষাকৃত বৃহত্তর ফোকাস দূরত্বের একটি অভিনেত্ৰ লেন্স (Eyepiece, f_e) দ্বারা গঠিত।

• স্পষ্ট দর্শনের ন্যূনতম দূরত্বে (D = 25 cm) অন্তিম প্রতিবিম্ব গঠনের ক্ষেত্রে বিবর্ধন ক্ষমতা:
  m = m_o · m_e = -(v_o / u_o) · (1 + D / f_e) ≈ -(L / f_o) · (1 + D / f_e)
• স্বাভাবিক সমন্বয় বা অসীমে প্রতিবিম্ব গঠনের ক্ষেত্রে: m = -(v_o / u_o) · (D / f_e) ≈ -(L / f_o) · (D / f_e), যেখানে L হলো নলের দৈর্ঘ্য।

২. নভোদূরবীক্ষণ যন্ত্র (Astronomical Refracting Telescope): বৃহৎ উন্মেষ ও দীর্ঘ ফোকাস দূরত্বের অভিলক্ষ্য (f_o) এবং ক্ষুদ্র ফোকাস দূরত্বের অভিনেত্ৰ (f_e) ব্যবহৃত হয়। স্বাভাবিক সমন্বয়ে (অন্তিম প্রতিবিম্ব অসীমে) বিবর্ধন ক্ষমতা ও নলদৈর্ঘ্য:

কোনো আলোক তরঙ্গের গতিপথে সমদশায় স্পন্দিত কণা বা বিন্দুসমূহের অবস্থানজনিত অবিচ্ছিন্ন সঞ্চারপথকে তরঙ্গমুখ (Wavefront) বলা হয়। আলোক রশ্মি সর্বদা তরঙ্গমুখের সাথে লম্বভাবে অগ্রসর হয়। উৎসের জ্যামিতিক আকারের ভিত্তিতে তিন ধরনের তরঙ্গমুখ দেখা যায়:

• গোলীয় তরঙ্গমুখ (Spherical Wavefront): একটি বিন্দু উৎস থেকে সমসত্ত্ব মাধ্যমে নির্গত আলো গোলীয় তরঙ্গমুখ গঠন করে। উৎস থেকে r দূরত্বে তরঙ্গের বিস্তার A ∝ 1/r এবং তীব্রতা I ∝ 1/r²।
• চোঙাকৃতি তরঙ্গমুখ (Cylindrical Wavefront): একটি রৈখিক বা চিদ্রাকৃতি উৎস থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে সমাক্ষীয় চোঙাকার তরঙ্গমুখ সৃষ্টি হয়। বিস্তার A ∝ 1/√r এবং তীব্রতা I ∝ 1/r।
• সমতল তরঙ্গমুখ (Plane Wavefront): যেকোনো উৎস থেকে অত্যন্ত দূরবর্তী স্থানে গোলীয় বা চোঙাকার তরঙ্গমুখের ক্ষুদ্র অংশকে সমতল তরঙ্গমুখ হিসেবে গণ্য করা হয় (বিস্তার ও তীব্রতা প্রায় ধ্রুবক থাকে)।

ক্রিশ্চিয়ান হাইগেনস (১৬৭৮) তরঙ্গ সঞ্চালনের দুটি মৌলিক নীতি উপস্থাপন করেন:

1. কোনো প্রাথমিক তরঙ্গমুখের প্রতিটি বিন্দু নিজে একটি নতুন গৌণ তরঙ্গের উৎস হিসেবে আচরণ করে এবং চারপাশের মাধ্যমে মূল তরঙ্গের দ্রুতিতেই গৌণ তরঙ্গিকা (Secondary Wavelets) নির্গমন করে।
2. যেকোনো পরবর্তী সময়ে এই গৌণ তরঙ্গিকাগুলিকে স্পর্শ করে অঙ্কিত সম্মুখবর্তী স্পর্শক তল বা আচ্ছাদন (envelope) সেই নির্দিষ্ট সময়ে নতুন তরঙ্গমুখের অবস্থান ও আকৃতি নির্দেশ করে।

একটি সমতল তরঙ্গমুখ AB যখন দুটি মাধ্যমের বিভেদতলে i কোণে আপতিত হয়, তখন দ্বিতীয় মাধ্যমে আলোর বেগ v₂ এবং প্রথম মাধ্যমে v₁ হলে:

এই তাত্ত্বিক প্রমাণটি প্রতিষ্ঠিত করে যে আলোকীয় ঘন মাধ্যমে আলোর বেগ হ্রাস পায় (v₂ < v₁ যখন n₂ > n₁), যা নিউটনের কণা তত্ত্বের বিপরীত এবং তরঙ্গ তত্ত্বের ঐতিহাসিক বিজয়। অনুরূপভাবে প্রতিফলনের ক্ষেত্রে v₁ = v₂ হওয়ায় প্রতিপন্ন হয় আপতন কোণ = প্রতিফলন কোণ (i = r)।

যখন একই কম্পাঙ্কের দুটি আলোক তরঙ্গ কোনো মাধ্যমে একই সাথে অগ্রসর হয়, তখন যেকোনো বিন্দুতে লব্ধি সরণ হয় পৃথক সরণদ্বয়ের ভেক্টর যোগফল: y = y₁ + y₂।

সুসঙ্গত উৎস (Coherent Sources): যে দুটি আলোক উৎসের কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের মধ্যে দশা পার্থক্য সর্বদা শূন্য অথবা সময়ের সাথে ধ্রুবক থাকে, তাদের সুসঙ্গত উৎস বলে। দুটি স্বাধীন আলোক উৎস কখনো সুসঙ্গত হতে পারে না, কারণ পরমাণু থেকে ফোটন নিঃসরণ এলোমেলোভাবে ঘটে। তাই একটি মূল উৎস থেকেই বিভাজনের মাধ্যমে সুসঙ্গত উৎস তৈরি করা হয়।

টমাস ইয়ং (১৮০১) ব্যতিচারের সাহায্যে আলোর তরঙ্গ রূপ প্রমাণ করেন। d ব্যবধানে অবস্থিত দুটি সুসঙ্গত চিদ্র S₁ ও S₂ থেকে D দূরত্বে অবস্থিত পর্দায় আলো উপরিপাতিত হয়ে একান্তর উজ্জ্বল ও অন্ধকার ব্যতিচার ঝালর সৃষ্টি করে। পর্দাটির কেন্দ্রীয় বিন্দু O থেকে y দূরত্বে অবস্থিত যেকোনো বিন্দু P-তে পথ পার্থক্য (Path Difference):

• গঠনমূলক ব্যতিচার (উজ্জ্বল পটি): পথ পার্থক্য Δx = n λ (যেখানে n = 0, 1, 2, ...):
  y_n = n · (λ · D / d)
• ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার (অন্ধকার পটি): পথ পার্থক্য Δx = (2n - 1) λ / 2 (যেখানে n = 1, 2, ...):
  y_n' = (2n - 1) · (λ · D / 2d)

দুটি ক্রমিক উজ্জ্বল বা দুটি ক্রমিক অন্ধকার পটির মধ্যবর্তী রৈখিক দূরত্বকে ঝালর প্রস্থ (Fringe Width, β) বলা হয়:

সমান বিস্তার a বিশিষ্ট দুটি সুসঙ্গত তরঙ্গের দশা পার্থক্য Δφ হলে পর্দায় লব্ধি তীব্রতা হয়:

উজ্জ্বল পটিতে সর্বোচ্চ তীব্রতা I_max = 4I₀ এবং অন্ধকার পটিতে সর্বনিম্ন তীব্রতা I_min = 0। সমগ্র ব্যতিচার সজ্জায় শক্তির কোনো সৃষ্টি বা বিনাশ ঘটে না; অন্ধকার বিন্দু থেকে শক্তি স্থানান্তরিত হয়ে উজ্জ্বল বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত হয়, যা শক্তির নিত্যতা সূত্রকে সমর্থন করে।

আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে তুলনীয় মাত্রার কোনো তীক্ষ্ণ প্রতিবন্ধক বা ছিদ্রের ধার ঘেঁষে আলোক তরঙ্গের জ্যামিতিক ছায়া অঞ্চলের মধ্যে বেঁকে যাওয়ার ঘটনাকে আলোর অপবর্তন (Diffraction) বলে। অপবর্তন মূলত দুই প্রকার:

• ফ্রেনেল অপবর্তন (Fresnel Diffraction): উৎস এবং পর্দা উভয়ই অপবর্তন সৃষ্টিকারী প্রতিবন্ধক থেকে সসীম দূরত্বে অবস্থান করে। তরঙ্গমুখ গোলীয় বা চোঙাকার হয় এবং কোনো লেন্স ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না।
• ফ্রনহফার অপবর্তন (Fraunhofer Diffraction): উৎস এবং পর্দা প্রতিবন্ধক থেকে অসীম দূরত্বে থাকে (ব্যবহারিক ক্ষেত্রে সমান্তরাল রশ্মিগুচ্ছ তৈরি করতে উত্তল লেন্স ব্যবহৃত হয়)। তরঙ্গমুখ সমতল হয়। উচ্চমাধ্যমিক পাঠ্যক্রমে এটি প্রধান আলোচ্য।

a প্রস্থের একটি একক রেখাচিদ্রে λ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সমতল তরঙ্গমুখ লম্বভাবে আপতিত হলে অপবর্তিত রশ্মিসমূহ পর্দায় একটি অতি উজ্জ্বল কেন্দ্রীয় চরম পটি (Central Maximum) এবং তার উভয়পাশে পর্যায়ক্রমিক গৌণ অবম ও গৌণ চরম পটি তৈরি করে। অপবর্তন কোণ θ হলে:

• অবম বিন্দুর শর্ত (Diffraction Minima): চিদ্রের দুই প্রান্তের রশ্মির পথ পার্থক্য a sin θ = n λ (যেখানে n = ±1, ±2, ±3, ...)। প্রথম অবম বিন্দুর ক্ষেত্রে a sin θ₁ = λ ⟹ θ₁ ≈ λ / a।
• গৌণ চরম বিন্দুর শর্ত (Secondary Maxima): a sin θ = (2n + 1) λ / 2 (যেখানে n = 1, 2, 3, ...)।
• কেন্দ্রীয় চরম পটির কৌণিক বিস্তার ও রৈখিক প্রস্থ:
  কৌণিক অর্ধ-প্রস্থ: θ₀ = λ / a, মোট রৈখিক প্রস্থ: β₀ = 2 y₁ = 2 · (λ · D / a)
  কেন্দ্রীয় চরম পটির প্রস্থ সাধারণ গৌণ পটির দ্বিগুণ এবং তীব্রতা দূরত্বের সাথে অত্যন্ত দ্রুত হ্রাস পায়।

র্যালের মানদণ্ড (Rayleigh's Criterion): দুটি নিকটবর্তী বিন্দু উৎসের প্রতিবিম্ব ঠিক পৃথকযোগ্য (just resolved) হবে যদি একটির অপবর্তন প্যাটার্নের কেন্দ্রীয় চরম বিন্দু অপরটির প্রথম অবম বিন্দুর ওপর সমাপতিত হয়। D_aperture উন্মেষযুক্ত দূরবীক্ষণের কৌণিক বিভেদন সীমা:

আলো একটি তড়িৎচৌম্বকীয় তরঙ্গ যেখানে তড়িৎক্ষেত্র ভেক্টর (E) এবং চৌম্বকক্ষেত্র ভেক্টর (B) তরঙ্গ সঞ্চালনের অভিমুখের সাথে লম্বভাবে স্পন্দিত হয়। সাধারণ প্রাকৃতিক আলোতে তড়িৎক্ষেত্রের স্পন্দন সঞ্চালন রেখার সাথে লম্ব তলের সকল অভিমুখে সুষমভাবে বিন্যস্ত থাকে—একে অসমবর্তিত আলো (Unpolarized Light) বলে।

যে প্রক্রিয়ায় আলোর তড়িৎ ভেক্টরের স্পন্দনকে কেবল একটি নির্দিষ্ট তলে সীমাবদ্ধ করা হয়, তাকে আলোর সমবর্তন (Polarization) বলে। সমবর্তন ঘটনাটি সন্দেহাতীতভাবে প্রমাণ করে যে আলোক তরঙ্গ একটি তির্যক তরঙ্গ (Transverse Wave), অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ নয় (শব্দ তরঙ্গে সমবর্তন সম্ভব নয়)।

একটি সমবর্তক (Polarizer) থেকে নির্গত সম্পূর্ণ সমবর্তিত আলো যখন অপর একটি বিশ্লেষক (Analyzer)-এর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে, তখন বিশ্লেষক থেকে নির্গত আলোর তীব্রতা I সমবর্তক ও বিশ্লেষকের সঞ্চালন অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ-এর কোসাইনের বর্গের সমানুপাতিক:

• যখন θ = 0° (অক্ষ দুটি সমান্তরাল): cos 0° = 1 ⟹ I = I₀ (সর্বোচ্চ তীব্রতা)।
• যখন θ = 90° (অক্ষ দুটি পরস্পর লম্ব বা ক্রশড): cos 90° = 0 ⟹ I = 0 (আলো সম্পূর্ণ অবলুপ্ত হয়)।

১৮১১ সালে বিজ্ঞানী ডেভিড ব্রুস্টার আবিষ্কার করেন যে যখন অসমবর্তিত আলো কোনো স্বচ্ছ মাধ্যমের বিভেদতলে একটি নির্দিষ্ট কোণে আপতিত হয়, তখন প্রতিফলিত রশ্মি সম্পূর্ণভাবে সমতল-সমবর্তিত হয়। এই কোণকে সমবর্তন কোণ বা ব্রুস্টার কোণ (θ_p বা i_p) বলে।

পূর্ণ সমবর্তনের শর্ত: ব্রুস্টার কোণে প্রতিফলিত রশ্মি এবং প্রতিসরিত রশ্মি পরস্পর লম্ব হয়:

স্নেলের সূত্রে এই মান বসালে পাওয়া যায় ব্রুস্টারের সূত্র:

কাচের ক্ষেত্রে (n = 1.5): θ_p = tan⁻¹(1.5) ≈ 56.3°; জলের ক্ষেত্রে (n = 1.33): θ_p ≈ 53.1°। প্রতিফলিত আলোর তড়িৎ ভেক্টর আপতন তলের সাথে সম্পূর্ণ লম্বভাবে স্পন্দিত হয়।

• পোলারয়েড সানগ্লাস: ভেজা রাস্তা বা জলের উপরিপৃষ্ঠ থেকে প্রতিফলিত আলো অনুভূমিকভাবে সমবর্তিত হয়ে তীব্র চোখ-ধাঁধানো ঝলকানি (glare) সৃষ্টি করে। উল্লম্ব সঞ্চালন অক্ষযুক্ত পোলারয়েড চশমা এই ঝলকানি দূর করে।
• এলসিডি ডিসপ্লে (LCD Displays): লিকুইড ক্রিস্টাল ডিসপ্লেতে তরল কেলাসের অণুগুলি বৈদ্যুতিক ভোল্টেজের মাধ্যমে আলোর সমবর্তন তলকে ঘুরিয়ে প্রতিটি পিক্সেলের উজ্জ্বলতা নিয়ন্ত্রণ করে।
• ফটোইলাস্টিক বিশ্লেষণ: কৃত্রিম প্লাস্টিক মডেলে যান্ত্রিক পীড়ন প্রয়োগ করে পোলারাইজড আলোতে পর্যবেক্ষণ করলে উৎপন্ন রঙিন ঝালর থেকে অভ্যন্তরীণ পীড়ন বণ্টন নিখুঁতভাবে জানা যায়।