प्रकाशिकी

किरण प्रकाशिकी में गोलीय दर्पणों द्वारा प्रतिबिम्ब निर्माण हेतु नई कार्तीय चिह्न परिपाटी (New Cartesian Sign Convention) का पालन किया जाता है: सभी दूरियां दर्पण के ध्रुव (P) से मुख्य अक्ष के अनुदिश मापी जाती हैं; आपतित प्रकाश की दिशा में मापी गई दूरियां धनात्मक (+) तथा विपरीत दिशा में मापी गई दूरियां ऋणात्मक (-) होती हैं; मुख्य अक्ष के लंबवत ऊपर की ओर ऊंचाई धनात्मक तथा नीचे की ओर ऋणात्मक ली जाती है।

वक्रता त्रिज्या R वाले गोलीय दर्पण की फोकस दूरी f = R / 2 होती है (अवतल दर्पण हेतु f < 0; उत्तल दर्पण हेतु f > 0)। उपाक्षीय किरणों हेतु मौलिक दर्पण सूत्र है:

यहाँ u वस्तु की दूरी तथा v प्रतिबिम्ब की दूरी है। रेखीय आवर्धन (Linear Magnification) निम्नवत् परिभाषित है:

जब प्रकाश किरण माध्यम 1 (अपवर्तनांक n₁) से माध्यम 2 (अपवर्तनांक n₂) में प्रवेश करती है, तो यह स्नेल के नियम (Snell's Law) का पालन करती है:

सघन माध्यम (n > 1) में स्थित वस्तु को विरल माध्यम (वायु) से देखने पर अपवर्तन के कारण वह ऊपर उठी हुई दिखाई देती है:

पूर्ण आंतरिक परावर्तन (Total Internal Reflection - TIR): जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम की ओर संचरित होता है (n₁ > n₂), तो एक विशिष्ट आपतन कोण पर अपवर्तन कोण r = 90° हो जाता है। इस आपतन कोण को क्रांतिक कोण (Critical Angle, θ_c) कहते हैं:

यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक हो (i > θ_c), तो संपूर्ण प्रकाश सघन माध्यम में ही परावर्तित हो जाता है। प्रकाशिक तंतु (Optical Fiber), प्रिज्म पेरिस्कोप तथा हीरे की चमक पूर्ण आंतरिक परावर्तन के प्रमुख अनुप्रयोग हैं।

वक्रता त्रिज्या R वाले किसी उत्तल या अवतल गोलीय अपवर्तक पृष्ठ हेतु जो n₁ तथा n₂ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों को पृथक करता है, उपाक्षीय किरणों के लिए अपवर्तन सूत्र निम्न है:

यह संबंध पतले लेंसों के सूत्रों के निगमन का मूल आधार है।

दो गोलीय पृष्ठों (वक्रता त्रिज्याएं R₁ एवं R₂) से घिरे पतले लेंस के दोनों पृष्ठों पर क्रमशः अपवर्तन सूत्र लागू करने पर लेंस निर्माता सूत्र (Lens Maker's Formula) प्राप्त होता है:

जहाँ n = n_लेंस / n_माध्यम लेंस के पदार्थ का आपेक्षिक अपवर्तनांक है। इसके साथ वस्तु एवं प्रतिबिम्ब दूरियों को संयोजित करने पर पतला लेंस सूत्र प्राप्त होता है:

लेंस की क्षमता (Power of a Lens, P): लेंस द्वारा प्रकाश किरणों को अभिसरित अथवा अपसरित करने के सामर्थ्य को लेंस की क्षमता कहते हैं: P = 1 / f (मीटर)। इसका एसआई मात्रक डायोप्टर (Diopter, D) है (1 D = 1 m⁻¹)। परस्पर संपर्क में रखे दो समाक्षीय पतले लेंसों की संयुक्त फोकस दूरी तथा क्षमता:

अपवर्तक कोण A वाले त्रिभुजाकार प्रिज्म के फलकों पर आपतन कोण i₁ तथा निर्गमन कोण i₂ हो, एवं आंतरिक अपवर्तन कोण क्रमशः r₁ व r₂ हों, तो ज्यामितीय रूप से सिद्ध होता है:

प्रिज्म द्वारा आपतित किरण का कुल विचलन कोण (Angle of Deviation, δ):

आपतन कोण i₁ में वृद्धि करने पर विचलन कोण पहले घटता है, न्यूनतम मान δ_m तक पहुंचता है और पुनः बढ़ता है। न्यूनतम विचलन की सममित स्थिति में:

स्नेल के नियम के अनुप्रयोग से प्रिज्म के अपवर्तनांक का सटीक समीकरण प्रिज्म सूत्र कहलाता है:

छोटे कोण वाले पतले प्रिज्म (A < 10°) हेतु विचलन कोण: δ ≈ (n - 1) A होता है।

कांच में विभिन्न रंगों के प्रकाश का वेग भिन्न होने के कारण अपवर्तनांक तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है (कॉशी का संबंध: n(λ) ≈ a + b/λ²)। बैंगनी रंग हेतु अपवर्तनांक अधिकतम (n_V > n_R) होने के कारण विचलन सर्वाधिक होता है।

• कोणीय विक्षेपण (Angular Dispersion, θ): बैंगनी व लाल निर्गत किरणों के मध्य कोण: θ = δ_V - δ_R = (n_V - n_R) A।
• विक्षेपण क्षमता (Dispersive Power, ω): कोणीय विक्षेपण तथा माध्य रंग (पीला) के विचलन का अनुपात:
  ω = (δ_V - δ_R) / δ_Y = (n_V - n_R) / (n_Y - 1)
  विक्षेपण क्षमता केवल प्रिज्म के पदार्थ पर निर्भर करती है, प्रिज्म कोण A पर नहीं।

१. संयुक्त सूक्ष्मदर्शी (Compound Microscope): इसमें छोटी फोकस दूरी का अभिदृश्यक लेंस (Objective, f_o) तथा अपेक्षाकृत बड़ी फोकस दूरी का अभिनेत्र लेंस (Eyepiece, f_e) होता है।

• स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी (D = 25 cm) पर अंतिम प्रतिबिम्ब बनने की स्थिति में आवर्धन क्षमता:
  m = m_o · m_e = -(v_o / u_o) · (1 + D / f_e) ≈ -(L / f_o) · (1 + D / f_e)
• सामान्य समायोजन (शांत नेत्र / प्रतिबिम्ब अनंत पर): m = -(v_o / u_o) · (D / f_e) ≈ -(L / f_o) · (D / f_e), जहाँ L नली की लम्बाई है।

२. खगोलीय अपवर्ती दूरदर्शी (Astronomical Refracting Telescope): बड़े द्वारक व बड़ी फोकस दूरी का अभिदृश्यक (f_o) तथा छोटी फोकस दूरी का अभिनेत्र (f_e) प्रयुक्त होता है। सामान्य समायोजन में आवर्धन क्षमता एवं नली की लम्बाई:

किसी माध्यम में प्रकाश तरंग के संचरण पथ में समान कला में कंपन करने वाले बिंदुओं के सतत बिंदुपथ को तरंगाग्र (Wavefront) कहते हैं। प्रकाश किरणें सदैव तरंगाग्र के लंबवत संचरित होती हैं। स्रोत की ज्यामिति के आधार पर तरंगाग्र तीन प्रकार के होते हैं:

• गोलीय तरंगाग्र (Spherical Wavefront): बिंदु स्रोत से समांगी माध्यम में निर्गत तरंगाग्र गोलीय होता है। स्रोत से r दूरी पर आयाम A ∝ 1/r तथा तीव्रता I ∝ 1/r² होती है।
• बेलनाकार तरंगाग्र (Cylindrical Wavefront): रैखिक स्रोत अथवा पतली स्लिट से निश्चित दूरी पर समाक्षीय बेलनाकार तरंगाग्र उत्पन्न होता है। आयाम A ∝ 1/√r तथा तीव्रता I ∝ 1/r होती है।
• समतल तरंगाग्र (Plane Wavefront): किसी भी स्रोत से अत्यधिक दूरी पर गोलीय या बेलनाकार तरंगाग्र का लघु भाग समतल तरंगाग्र कहलाता है (आयाम व तीव्रता नियत रहती है)।

क्रिश्चियन हाइगेन्स (1678) ने तरंग संचरण हेतु दो मूलभूत नियम प्रतिपादित किए:

1. किसी प्राथमिक तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु स्वयं एक नए विक्षोभ के स्रोत की भांति कार्य करता है तथा सभी दिशाओं में मूल तरंग की चाल से ही द्वितीयक तरंगिकाएं (Secondary Wavelets) उत्सर्जित करता है।
2. किसी भी परवर्ती क्षण इन द्वितीयक तरंगिकाओं को स्पर्श करता हुआ खींचा गया अग्रगामी पृष्ठ या आवरण (envelope) उस क्षण नए तरंगाग्र की स्थिति व आकृति प्रदर्शित करता है।

जब एक समतल तरंगाग्र AB दो माध्यमों के अंतरापृष्ठ पर i कोण पर आपतित होता है, तो पहले माध्यम में प्रकाश की चाल v₁ तथा दूसरे में v₂ होने पर:

यह सैद्धांतिक उपपत्ति दर्शाती है कि प्रकाशिक सघन माध्यम में प्रकाश की चाल घट जाती है (v₂ < v₁ जब n₂ > n₁), जो न्यूटन के कणिका सिद्धांत के विपरीत तरंग सिद्धांत की निर्णायक विजय थी। इसी प्रकार परावर्तन हेतु v₁ = v₂ होने से आपतन कोण = परावर्तन कोण (i = r) सिद्ध होता है।

जब समान आवृत्ति की दो प्रकाश तरंगें एक साथ किसी माध्यम में संचरित होती हैं, तो किसी बिंदु पर परिणामी विस्थापन दोनों तरंगों के विस्थापनों का सदिश योग होता है: y = y₁ + y₂।

कला-संबद्ध स्रोत (Coherent Sources): वे प्रकाश स्रोत जिनकी आवृत्तियां एवं तरंगदैर्घ्य समान हों तथा जिनके मध्य कलानंतर शून्य अथवा समय के साथ सदैव नियत रहता हो, कला-संबद्ध स्रोत कहलाते हैं। दो स्वतंत्र प्रकाश स्रोत कभी भी कला-संबद्ध नहीं हो सकते, क्योंकि परमाणुओं से फोटॉन उत्सर्जन यादृच्छिक होता है। अतः एक ही स्रोत को विभाजित करके कला-संबद्ध स्रोत बनाए जाते हैं।

थॉमस यंग (1801) ने व्यतिकरण द्वारा प्रकाश की तरंग प्रकृति को अकाट्य रूप से प्रमाणित किया। d दूरी पर स्थित दो संकीर्ण कला-संबद्ध स्लिटों S₁ व S₂ से D दूरी पर रखे पर्दे पर व्यतिकरण प्रतिरूप प्राप्त होता है। पर्दे के केंद्र O से y दूरी पर स्थित बिंदु P पर पथांतर (Path Difference):

• संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज): पथांतर Δx = n λ (जहाँ n = 0, 1, 2, ...):
  y_n = n · (λ · D / d)
• विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज): पथांतर Δx = (2n - 1) λ / 2 (जहाँ n = 1, 2, ...):
  y_n' = (2n - 1) · (λ · D / 2d)

किन्हीं दो क्रमागत दीप्त अथवा दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई (Fringe Width, β) कहते हैं:

समान आयाम a वाली दो कला-संबद्ध तरंगों के मध्य कलानंतर Δφ होने पर परिणामी तीव्रता:

दीप्त फ्रिंजों पर अधिकतम तीव्रता I_max = 4I₀ तथा अदीप्त फ्रिंजों पर न्यूनतम तीव्रता I_min = 0 होती है। व्यतिकरण में ऊर्जा का न तो सृजन होता है और न ही विनाश; यह केवल अदीप्त बिंदुओं से दीप्त बिंदुओं पर पुनर्वितरित होती है, जो ऊर्जा संरक्षण नियम की पुष्टि करता है।

प्रकाश तरंगों का किसी सूक्ष्म अवरोधक अथवा रेखाछिद्र के तीक्ष्ण किनारों से ज्यामितीय छाया क्षेत्र में मुड़ जाना प्रकाश का विवर्तन (Diffraction) कहलाता है। विवर्तन के दो मुख्य प्रकार हैं:

• फ्रेनेल विवर्तन (Fresnel Diffraction): प्रकाश स्रोत एवं पर्दा दोनों विवर्तक अवरोधक से सीमित दूरी पर स्थित होते हैं। तरंगाग्र गोलीय या बेलनाकार होता है और किसी लेंस की आवश्यकता नहीं होती।
• फ्रॉनहोफर विवर्तन (Fraunhofer Diffraction): प्रकाश स्रोत एवं पर्दा दोनों विवर्तक स्लिट से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं (समतल तरंगाग्र प्राप्त करने हेतु उत्तल लेंसों का उपयोग किया जाता है)। यह उच्चतर माध्यमिक पाठ्यक्रम का मुख्य विषय है।

a चौड़ाई की एकल स्लिट पर λ तरंगदैर्घ्य का समतल तरंगाग्र अभिलंबवत आपतित होने पर पर्दे पर एक अत्यंत चमकीला केंद्रीय उच्चिष्ठ (Central Maximum) तथा उसके दोनों ओर घटती तीव्रता के क्रमागत निम्निष्ठ व द्वितीयक उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं। विवर्तन कोण θ होने पर:

• निम्निष्ठ की शर्त (Diffraction Minima): स्लिट के सिरों के मध्य पथांतर a sin θ = n λ (जहाँ n = ±1, ±2, ±3, ...)। प्रथम निम्निष्ठ हेतु a sin θ₁ = λ ⟹ θ₁ ≈ λ / a।
• द्वितीयक उच्चिष्ठ की शर्त (Secondary Maxima): a sin θ = (2n + 1) λ / 2 (जहाँ n = 1, 2, 3, ...)।
• केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय अर्द्ध-चौड़ाई एवं कुल रैखिक चौड़ाई:
  कोणीय अर्द्ध-चौड़ाई: θ₀ = λ / a, कुल रैखिक चौड़ाई: β₀ = 2 y₁ = 2 · (λ · D / a)
  केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई सामान्य द्वितीयक उच्चिष्ठों से दोगुनी होती है तथा दूरी के साथ तीव्रता अत्यधिक तीव्रता से घटती है।

रेले की कसौटी (Rayleigh's Criterion): दो समीपवर्ती बिंदु वस्तुएं ठीक विभेदित (just resolved) कही जाती हैं जब एक के विवर्तन प्रतिरूप का केंद्रीय उच्चिष्ठ दूसरे के प्रथम निम्निष्ठ पर संपाती हो। D_aperture द्वारक वाले दूरदर्शी की कोणीय विभेदन सीमा:

प्रकाश एक विद्युत-चुंबकीय तरंग है जिसमें विद्युत क्षेत्र सदिश (E) तथा चुंबकीय क्षेत्र सदिश (B) तरंग संचरण की दिशा के लंबवत तलों में कंपन करते हैं। सामान्य प्राकृतिक प्रकाश में विद्युत सदिश के कंपन संचरण रेखा के लंबवत तल में सभी दिशाओं में सममित रूप से वितरित होते हैं—इसे अध्रुवित प्रकाश (Unpolarized Light) कहते हैं।

वह प्रक्रिया जिसके द्वारा प्रकाश के विद्युत सदिश के कंपनों को केवल एक विशिष्ट तल में सीमित कर दिया जाता है, प्रकाश का ध्रुवण (Polarization) कहलाती है। ध्रुवण की परिघटना यह अकाट्य प्रमाण प्रस्तुत करती है कि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग (Transverse Wave) है, अनुदैर्घ्य नहीं (ध्वनि तरंगों का ध्रुवण संभव नहीं है)।

जब एक ध्रुवक (Polarizer) से निर्गत पूर्णतः समतल-ध्रुवित प्रकाश किसी विश्लेषक (Analyzer) से होकर गुजरता है, तो विश्लेषक से निर्गत प्रकाश की तीव्रता I ध्रुवक एवं विश्लेषक के संचरण अक्षों के मध्य कोण θ की कोज्या के वर्ग के समानुपाती होती है:

• जब θ = 0° (अक्ष समानांतर हों): cos 0° = 1 ⟹ I = I₀ (अधिकतम संचरण)।
• जब θ = 90° (क्रॉसित पोलेरॉइड): cos 90° = 0 ⟹ I = 0 (प्रकाश का पूर्ण विलोपन)।

सन् 1811 में सर डेविड ब्रूस्टर ने खोज की कि जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी माध्यम के पृष्ठ पर एक विशिष्ट आपतन कोण पर आपतित होता है, तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल-ध्रुवित हो जाता है। इस आपतन कोण को ध्रुवण कोण या ब्रूस्टर कोण (θ_p अथवा i_p) कहते हैं।

पूर्ण ध्रुवण की स्थिति: ब्रूस्टर कोण पर परावर्तित किरण तथा अपवर्तित किरण परस्पर लंबवत होती हैं:

स्नेल के नियम के प्रयोग से ब्रूस्टर का नियम प्राप्त होता है:

कांच हेतु (n = 1.5): θ_p = tan⁻¹(1.5) ≈ 56.3°; जल हेतु (n = 1.33): θ_p ≈ 53.1°। परावर्तित किरण में विद्युत कंपन आपतन तल के लंबवत होते हैं।

• पोलेरॉइड धूप के चश्मे (Sunglasses): गीली सड़कों अथवा जलीय सतहों से परावर्तित प्रकाश क्षैतिज रूप से ध्रुवित होकर तीव्र चकाचौंध उत्पन्न करता है। ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले पोलेरॉइड चश्मे इस परावर्तित चमक को पूरी तरह समाप्त कर देते हैं।
• एलसीडी डिस्प्ले (Liquid Crystal Displays): एलसीडी स्क्रीन में द्रव क्रिस्टल के अणु विद्युत वोल्टेज द्वारा प्रकाश के ध्रुवण तल को घुमाकर पिक्सलों की चमक को नियंत्रित करते हैं।
• प्रकाशिक प्रतिबल विश्लेषण (Photoelasticity): पारदर्शी प्लास्टिक प्रतिरूपों पर यांत्रिक प्रतिबल लगाकर ध्रुवित प्रकाश में देखने पर रंगीन फ्रिंजें उत्पन्न होती हैं, जिनसे आंतरिक प्रतिबल सांद्रता ज्ञात की जाती है।