प्रत्यावर्ती धारा (AC)

1.1 प्रत्यावर्ती धारा एवं वोल्टता की परिभाषा

प्रत्यावर्ती धारा (Alternating Current - AC): वह धारा जिसका परिमाण समय के साथ निरंतर बदलता रहता है तथा जिसकी दिशा एक निश्चित समयांतराल के पश्चात आवर्ती रूप से उलटती रहती है:

1.2 प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान (Mean / Average Value)

1. पूर्ण चक्र (Full Cycle) के लिए औसत मान:
   चूंकि प्रथम धनात्मक अर्ध-चक्र का औसत मान $+ \frac{2I_0}{\pi}$ तथा द्वितीय ऋणात्मक अर्ध-चक्र का औसत मान $- \frac{2I_0}{\pi}$ होता है, अतः एक पूर्ण चक्र में प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान सदैव शून्य होता है:
   $$I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_0^T I_0 \sin(\omega t) dt = \mathbf{0}$$
   निष्कर्ष: सामान्य DC चल-कुंडली अमीटर या वोल्टमीटर AC परिपथ में शून्य पाठ्यांक दर्शाते हैं।
2. अर्ध-चक्र (Half Cycle) के लिए औसत मान:
   $$I_{\text{mean}} = \frac{1}{T/2} \int_0^{T/2} I_0 \sin(\omega t) dt = \mathbf{\frac{2 I_0}{\pi} \approx 0.637 I_0}$$$$V_{\text{mean}} = \mathbf{\frac{2 V_0}{\pi} \approx 0.637 V_0}$$

1.3 वर्ग माध्य मूल मान (Root Mean Square - RMS Value / Virtual Value)

2.1 केवल शुद्ध प्रतिरोध ($R$) युक्त परिपथ

जब $V = V_0 \sin(\omega t)$ को शुद्ध प्रतिरोध $R$ से जोड़ा जाता है: $I = \frac{V}{R} = \frac{V_0}{R}\sin(\omega t) = I_0 \sin(\omega t)$।

• कला संबंध: वोल्टता $V$ तथा धारा $I$ समान कला (In Phase, $\phi = 0$) में होते हैं।
• फेजर आरेख: $V$ और $I$ के सदिश एक ही दिशा में होते हैं।

2.2 केवल शुद्ध प्रेरकत्व ($L$) युक्त परिपथ

जब परिपथ में शुद्ध प्रेरक $L$ लगा हो, तो स्वप्रेरित विरोधी EMF $\mathcal{E} = -L \frac{dI}{dt}$ उत्पन्न होता है: $V - L\frac{dI}{dt} = 0 \implies dI = \frac{V_0}{L}\sin(\omega t) dt$।

• समाकलन करने पर: $I = -\frac{V_0}{\omega L} \cos(\omega t) = \mathbf{I_0 \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)}$
• कला संबंध: वोल्टता $V$, धारा $I$ से कला में $\frac{\pi}{2}$ (या $90^\circ$) अग्रगामी (Leads) होती है (अर्थात धारा $90^\circ$ पश्चगामी होती है)।
• प्रेरकीय प्रतिघात (Inductive Reactance - $X_L$): प्रेरक द्वारा धारा के मार्ग में प्रस्तुत किया गया अवरोध:
  $$\mathbf{X_L = \omega L = 2\pi \nu L} \quad (\text{SI मात्रक: } \text{ओम - } \Omega)$$• दिष्ट धारा (DC) के लिए: $\nu = 0 \implies \mathbf{X_L = 0}$ (प्रेरक DC के लिए शून्य प्रतिरोध प्रस्तुत करता है)।

2.3 केवल शुद्ध धारिता ($C$) युक्त परिपथ

जब शुद्ध संधारित्र $C$ पर वोल्टता $V = V_0 \sin(\omega t)$ लगाई जाती है: $q = C V = C V_0 \sin(\omega t)$।

• धारा $I = \frac{dq}{dt} = C V_0 \omega \cos(\omega t) = \mathbf{I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)}$
• कला संबंध: धारा $I$, वोल्टता $V$ से कला में $\frac{\pi}{2}$ (या $90^\circ$) अग्रगामी (Leads) होती है।
• धारितीय प्रतिघात (Capacitive Reactance - $X_C$): संधारित्र द्वारा धारा के मार्ग में प्रस्तुत अवरोध:
  $$\mathbf{X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi \nu C}} \quad (\text{SI मात्रक: } \text{ओम - } \Omega)$$• दिष्ट धारा (DC) के लिए: $\nu = 0 \implies \mathbf{X_C = \frac{1}{0} = \infty}$ (संधारित्र DC को पूर्णतः अवरुद्ध / Block कर देता है)।

3.1 श्रेणी LCR परिपथ की प्रतिबाधा ($Z$) का फेजर निगमन

जब प्रतिरोध $R$, प्रेरकत्व $L$, तथा धारिता $C$ श्रेणीक्रम में प्रत्यावर्ती स्रोत $V = V_0 \sin(\omega t)$ से जुड़े हों:

• $R$ के सिरों पर विभवांतर: $V_R = I R$ (धारा $I$ की कला में)
• $L$ के सिरों पर विभवांतर: $V_L = I X_L$ (धारा $I$ से $90^\circ$ अग्रगामी)
• $C$ के सिरों पर विभवांतर: $V_C = I X_C$ (धारा $I$ से $90^\circ$ पश्चगामी)
• फेजर आरेख में $V_L$ तथा $V_C$ परस्पर विपरीत दिशा में हैं, अतः उनका परिणामी $(V_L - V_C)$ धारा से $90^\circ$ पर है।
• पायथागोरस प्रमेय से परिणामी वोल्टता:$$V_0^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2 = (I_0 R)^2 + (I_0 X_L - I_0 X_C)^2 = I_0^2 [R^2 + (X_L - X_C)^2]$$$$V_0 = I_0 \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$
• परिपथ का कुल प्रभावी अवरोध प्रतिबाधा (Impedance - $Z$) कहलाता है:$$\mathbf{Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}} \quad (\text{मात्रक: } \Omega)$$
• कलांतर (Phase Angle - $\phi$): वोल्टता तथा धारा के मध्य कला कोण:$$\mathbf{\tan\phi = \frac{V_L - V_C}{V_R} = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}}$$• यदि $X_L > X_C$: परिपथ प्रेरकीय है (वोल्टता अग्रगामी)।
  • यदि $X_C > X_L$: परिपथ धारितीय है (धारा अग्रगामी)।

3.2 श्रेणी LCR अनुनाद (Resonance in Series LCR Circuit)

4.1 प्रत्यावर्ती परिपथ में औसत शक्ति एवं शक्ति गुणांक

यदि $V = V_0 \sin(\omega t)$ तथा $I = I_0 \sin(\omega t - \phi)$ हो, तो एक पूर्ण चक्र में औसत शक्ति व्यय:

• शुद्ध प्रतिरोध में: $\phi = 0 \implies \cos\phi = 1 \implies P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ (अधिकतम शक्ति व्यय)।
• शुद्ध प्रेरकत्व या धारिता में: $\phi = 90^\circ \implies \cos 90^\circ = 0 \implies \mathbf{P_{\text{avg}} = 0}$ (शून्य शक्ति व्यय)।

4.2 वाटहीन धारा (Wattless Current) एवं चोक कुंडली (Choke Coil)

5.1 ट्रांसफॉर्मर का सिद्धांत एवं प्रकार

परिभाषा: अन्योन्य प्रेरण (Mutual Induction) के सिद्धांत पर आधारित वह स्थिर वैद्युत युक्ति जो प्रत्यावर्ती वोल्टता को बिना आवृत्ति बदले उच्च वोल्टता से निम्न वोल्टता में अथवा निम्न वोल्टता से उच्च वोल्टता में परिवर्तित करती है। (चेतावनी: यह केवल AC पर कार्य करता है, DC पर कभी नहीं)।

• 1. उच्चायी ट्रांसफॉर्मर (Step-up Transformer): निम्न प्रत्यावर्ती वोल्टता को उच्च प्रत्यावर्ती वोल्टता में बदलता है ($N_s > N_p$ तथा $V_s > V_p$ परंतु $I_s < I_p$)।
• 2. अपचायी ट्रांसफॉर्मर (Step-down Transformer): उच्च प्रत्यावर्ती वोल्टता को निम्न प्रत्यावर्ती वोल्टता में बदलता है ($N_s < N_p$ तथा $V_s < V_p$ परंतु $I_s > I_p$)।

5.2 परिणमन अनुपात (Transformation Ratio - $K$) का निगमन

प्राथमिक कुंडली में फेरे $N_p$ तथा द्वितीयक में $N_s$ हैं। यदि कोई फ्लक्स क्षरण न हो, तो प्रति फेरा फ्लक्स परिवर्तन $\frac{d\Phi}{dt}$ समान होगा:

एक आदर्श ट्रांसफॉर्मर में निवेशी शक्ति = निर्गत शक्ति ($V_p I_p = V_s I_s \implies \frac{V_s}{V_p} = \frac{I_p}{I_s}$)।

5.3 ट्रांसफॉर्मर में ऊर्जा हानियां एवं दक्षता

ट्रांसफॉर्मर की दक्षता (Efficiency - $\eta$): $\mathbf{\eta = \frac{\text{निर्गत शक्ति}}{\text{निवेशी शक्ति}} \times 100\% = \frac{V_s I_s}{V_p I_p} \times 100\%}$ (व्यावहारिक ट्रांसफॉर्मर में $\eta \approx 90-98\%$)。