परमाणु (Atoms)

1.1 गाइगर-मार्सडेन / रदरफोर्ड प्रयोग (1911)

एक रेडियोऐक्टिव स्रोत ($^{214}\text{Bi}$) से उत्सर्जित तीव्रगामी $5.5\text{ MeV}$ ऊर्जा वाले $\alpha$-कणों ($^4_2\text{He}^{2+}$) के संकीर्ण पुंज को सोने की अत्यंत पतली पन्नी ($2.1 \times 10^{-7}\text{ m}$ मोटी) पर आपतित कराया गया। जिंक सल्फाइड (ZnS) पर्दे तथा सूक्ष्मदर्शी की सहायता से प्रकीर्णित कणों की संख्या मापी गई।

• 3 मुख्य प्रेक्षण (Observations):
  1. अधिकांश $\alpha$-कण (लगभग $\mathbf{99.86\%}$) बिना किसी विक्षेपण के सोने की पन्नी को पार करके सीधे निकल गए।
  2. लगभग $0.14\%$ कण $1^\circ$ से बड़े कोणों पर विक्षेपित हुए।
  3. अत्यंत दुर्लभ—लगभग $8000$ में से केवल $1$ $\alpha$-कण $90^\circ$ से बड़े कोण पर प्रकीर्णित हुआ, और लगभग $180^\circ$ पर ठीक पीछे लौट आया!

1.2 महत्वपूर्ण निष्कर्ष एवं संघट्ट प्राचल

1. परमाणु का अधिकांश भाग खोखला है: चूंकि $99.86\%$ कण सीधे निकल गए।
2. नाभिक की खोज: परमाणु का संपूर्ण धनावेश एवं लगभग समस्त द्रव्यमान उसके केंद्र में एक अत्यंत सूक्ष्म आयतन में संकेंद्रित है जिसे नाभिक (Nucleus) कहते हैं।
3. निकटतम पहुँच की दूरी (Distance of Closest Approach - $r_0$):
   हेड-ऑन ($180^\circ$) संघट्ट में $\alpha$-कण की संपूर्ण गतिज ऊर्जा नाभिक के ठीक सामने पहुंचकर स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा में बदल जाती है:
   $$K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r_0} \implies \mathbf{r_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Ze^2}{K}}$$
   सोने ($Z = 79$) के लिए $r_0 \approx 4 \times 10^{-14}\text{ m}$ प्राप्त हुआ, जिससे सिद्ध हुआ कि नाभिक की त्रिज्या $10^{-14}\text{ m}$ से भी छोटी होती है।
4. संघट्ट प्राचल (Impact Parameter - $b$): नाभिक के केंद्र से $\alpha$-कण के प्रारंभिक वेग सदिश की लंबवत दूरी:
   $$\mathbf{b = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze^2 \cot(\theta/2)}{K}}$$
   • $b$ बड़ा होने पर विक्षेपण कोण $\theta$ अत्यंत छोटा होता है।
   • हेड-ऑन संघट्ट हेतु $b = 0 \implies \cot(\theta/2) = 0 \implies \theta = 180^\circ$।

1.3 रदरफोर्ड मॉडल की कमियां (Failures of Rutherford Model)

2.1 नील्स बोहर के तीन अभिगृहीत (Three Postulates of Bohr)

1. प्रथम अभिगृहीत (स्थायी कक्षाएं): इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल कुछ निश्चित अ-विकिरणी (Non-radiating) कक्षाओं में चक्कर लगाते हैं जिन्हें स्थायी कक्षाएं (Stationary Orbits) कहते हैं। इनमें घूमते समय इलेक्ट्रॉन ऊर्जा उत्सर्जित नहीं करते। आवश्यक अभिकेंद्रीय बल कूलॉम आकर्षण बल से मिलता है:
   $$\mathbf{\frac{m v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}}$$
2. द्वितीय अभिगृहीत (बोहर की क्वांटम शर्त): इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में चक्कर लगा सकता है जिनमें उसका कक्षीय कोणीय संवेग ($L$) $\frac{h}{2\pi}$ का पूर्ण गुणज (Integral Multiple) हो:
   $$\mathbf{L = m v r = \frac{n h}{2\pi}} \quad (n = 1, 2, 3... \text{ मुख्य क्वांटम संख्या})$$
3. तृतीय अभिगृहीत (बोहर की आवृत्ति शर्त): जब कोई इलेक्ट्रॉन किसी उच्च स्थायी कक्षा ($E_2$) से निम्न स्थायी कक्षा ($E_1$) में संक्रमण करता है, तो दोनों स्तरों के अंतर के बराबर ऊर्जा का एक फोटॉन उत्सर्जित होता है:
   $$\mathbf{E_2 - E_1 = h\nu = \frac{hc}{\lambda}}$$

2.2 हाइड्रोजन परमाणु की कक्षा त्रिज्या एवं वेग का निगमन

• अभिगृहीत (2) से: $v = \frac{n h}{2\pi m r}$
• अभिगृहीत (1) में मान रखने पर: $\frac{m}{r}\left(\frac{n h}{2\pi m r}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
• हल करने पर $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या:
  $$\mathbf{r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m e^2} = n^2 r_1}$$
  प्रथम कक्षा की त्रिज्या ($n = 1$) को बोहर त्रिज्या (Bohr Radius - $a_0$) कहते हैं:
  $$\mathbf{a_0 = r_1 = 0.529\text{ \AA} = 0.0529\text{ nm}}$$
  • त्रिज्या का अनुपात: $r_1 : r_2 : r_3 = 1 : 4 : 9$ ($r_n \propto n^2$)।
• $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की चाल:
  $$\mathbf{v_n = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 n h} \propto \frac{1}{n}}$$
  प्रथम कक्षा में चाल: $v_1 = \frac{c}{137} \approx 2.18 \times 10^6\text{ m/s}$।

3.1 गतिज, स्थितिज एवं कुल ऊर्जा का संपूर्ण निगमन

• गतिज ऊर्जा ($K$): $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$
• स्थितिज ऊर्जा ($U$): $U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$
• कुल ऊर्जा ($E$):
  $$E = K + U = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r}$$
  
  ऊर्जाओं में स्वर्णिम संबंध:
  $$\mathbf{E = -K = \frac{U}{2} \quad \iff \quad U = 2E = -2K}$$
• त्रिज्या $r_n$ का मान रखने पर कुल ऊर्जा का सूत्र:
  $$E_n = -\frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 n^2 h^2}$$
  सभी नियतांकों का मान रखने पर:
  
  $$\mathbf{E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}}$$
  • $n = 1$ (मूल स्तर / Ground State): $\mathbf{E_1 = -13.6\text{ eV}}$
  • $n = 2$ (प्रथम उत्तेजित अवस्था): $\mathbf{E_2 = -3.4\text{ eV}}$
  • $n = 3$ (द्वितीय उत्तेजित अवस्था): $\mathbf{E_3 = -1.51\text{ eV}}$
  • $n = \infty$ (आयनित अवस्था): $\mathbf{E_\infty = 0\text{ eV}}$
  ऋणात्मक चिन्ह का अर्थ: इलेक्ट्रॉन नाभिक के साथ स्थिरवैद्युत बंधन में बंधा हुआ है। इलेक्ट्रॉन को परमाणु से पूरी तरह मुक्त करने हेतु आवश्यक ऊर्जा को आयनन ऊर्जा (Ionization Energy = $+13.6\text{ eV}$) कहते हैं।

3.2 हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की 5 श्रेणियां (Spectral Series)

जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $n_2$ से निम्न ऊर्जा स्तर $n_1$ में कूदता है, तो उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य का रिडबर्ग सूत्र:

जहाँ $R = \frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 c h^3} \approx 1.097 \times 10^7\text{ m}^{-1}$ रिडबर्ग नियतांक है।

4.1 दे ब्रॉग्ली का अपरगामी तरंग मॉडल (1923)

नील्स बोहर यह नहीं समझा सके थे कि कोणीय संवेग केवल $\frac{nh}{2\pi}$ ही क्यों होता है। इसका संतोषजनक स्पष्टीकरण लुई दे ब्रॉग्ली ने दिया:

• नाभिक के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में चक्कर लगाते इलेक्ट्रॉन से संबद्ध द्रव्य-तरंग एक अपरगामी तरंग (Standing Wave) बनाती है।
• कक्षा तभी स्थायी हो सकती है जब इलेक्ट्रॉन तरंग अपने ही ऊपर रचनात्मक व्यतिकरण करे, अर्थात वृत्ताकार कक्षा की परिधि दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य की पूर्ण गुणज हो:
  $$\mathbf{2\pi r = n\lambda} \quad (n = 1, 2, 3...)$$
• दे ब्रॉग्ली सूत्रानुसार $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$ का मान रखने पर:
  $$2\pi r = n \left(\frac{h}{m v}\right) \implies m v r = \frac{n h}{2\pi}$$
  
  $$\mathbf{L = m v r = \frac{n h}{2\pi}}$$ (बोहर का द्वितीय अभिगृहीत इति सिद्धम्)
  अतः बोहर की रहस्यमयी क्वांटम शर्त वास्तव में इलेक्ट्रॉन द्रव्य-तरंगों के अपरगामी स्वरूप का स्वाभाविक परिणाम है!