আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

পরিসীমা (Perimeter): একটি আবদ্ধ ক্ষেত্রের চারপাশের সীমারেখার মোট রৈখিক দৈর্ঘ্য। একক: সেমি, মিটার।
ক্ষেত্রফল (Area): সীমাবদ্ধ তল দ্বারা অধিকৃত স্থানের পরিমাপ। একক: বর্গসেমি, বর্গমিটার ($m^2$)।

• $১\text{ মিটার} = ১০০\text{ সেমি} \implies ১\text{ বর্গমিটার} = ১০০ \times ১০০ = ১০,০০০\text{ বর্গসেমি}$।
• $১\text{ হেক্টর} = ১০,০০০\text{ বর্গমিটার}$ (কৃষিজমির পরিমাপের একক)।
• $১\text{ এয়র} = ১০০\text{ বর্গমিটার}$।

একটি বর্গাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে, মেঝেটির ক্ষেত্রফল $৪ \times ৪ = ১৬\text{ বর্গমিটার} = ১৬০,০০০\text{ বর্গসেমি}$।

কখনো মিটারকে বর্গমিটারে সরাসরি রূপান্তর করবেন না। ১ মিটার সমান ১০০ সেমি হলেও ১ বর্গমিটার সমান ১০০ বর্গসেমি নয়, বরং ১০,০০০ বর্গসেমি!

ভূমি রাজস্ব দপ্তর: জমিজমার দলিল ও খতিয়ানে জমির পরিমাপ হেক্টর ও শতকে হিসাব করা হয়।

আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$), তাই যে কোনো কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে। অতএব, $\text{কর্ণ}^2 = \text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2$।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান ($a$), তাই $\text{কর্ণ} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$।
কর্ণ দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল $= \frac{১}{২} \times (\text{কর্ণ})^২$।

একটি বর্গাকার রুমের কর্ণ $১০\sqrt{২}\text{ মিটার}$ হলে, তার ক্ষেত্রফল $= \frac{১}{২} \times (১০\sqrt{২})^২ = \frac{১}{২} \times ২০০ = ১০০\text{ বর্গমিটার}$।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ বের করার সময় ক্ষেত্রফলকে অপর বাহু দিয়ে ভাগ করতে হয়, কিন্তু পরিসীমা দেওয়া থাকলে আগে অর্ধ-পরিসীমা ($P/2$) বের করে বিয়োগ করতে হয়।

টেলিভিশন ও মোবাইল স্ক্রিন: ৫৫ ইঞ্চি টিভি স্ক্রিন হলো তার কর্ণের দৈর্ঘ্য ($d$), যা দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের বর্গের যোগফলের বর্গমূল।

মাঠের বাইরে চারদিকে $w$ চওড়া রাস্তা থাকলে, রাস্তার বাইরের মোট দৈর্ঘ্য হয় $(l + 2w)$ এবং প্রস্থ হয় $(b + 2w)$।
$\text{রাস্তার ক্ষেত্রফল} = (l+2w)(b+2w) - lb$।

মাঠের ভেতরের চারদিকে রাস্তা কাটা হলে, ভেতরের অবশিষ্ট অংশের দৈর্ঘ্য হয় $(l - 2w)$ এবং প্রস্থ হয় $(b - 2w)$।
$\text{রাস্তার ক্ষেত্রফল} = lb - (l-2w)(b-2w)$।

একটি ৪০ মি × ২৫ মি মাঠের ভেতরে ২ মি চওড়া রাস্তা থাকলে, ভেতরের ফাঁকা অংশের দৈর্ঘ্য $= ৪০ - ৪ = ৩৬\text{ মি}$, প্রস্থ $= ২৫ - ৪ = ২১\text{ মি}$। রাস্তার ক্ষেত্রফল $= (৪০ \times ২৫) - (৩৬ \times ২১) = ১০০০ - ৭৫৬ = ২৪৪\text{ বর্গমিটার}$।

প্রশ্নে "বাইরে চারদিকে" নাকি "ভেতরে চারদিকে" লেখা আছে তা মনোযোগ দিয়ে পড়ুন। বাইরে হলে যোগ ($+2w$), ভেতরে হলে বিয়োগ ($-2w$)।

পৌরসভা ড্রেনেজ ও ফুটপাত: রাস্তার দুই পাশে ফুটপাত নির্মাণে এই জ্যামিতিক নীতি প্রয়োগ করা হয়।

একটি আয়তাকার মাঠের ঠিক মাঝখান দিয়ে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সমান্তরাল দুটি রাস্তা একে অপরকে সমকোণে ছেদ করলে চারটি সমান কোণ তৈরি হয়।

• দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল $= l \times w$।
• প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল $= b \times w$।
• কেন্দ্রে মিলনস্থল হলো $w \times w = w^2$ ক্ষেত্রফলের বর্গ, যা দুইবার অন্তর্ভুক্ত হয়।
অতএব, মোট রাস্তার ক্ষেত্রফল $= lw + bw - w^2 = w(l + b - w)$।

রাস্তা বাদে মাঠের বাকি অংশের ক্ষেত্রফল $= (l - w)(b - w)$।

মাঝের $w^2$ অংশ বাদ না দিলে পুরো অংক কাটা যাবে।

মুঘল চারবাগ শৈলী: তাজমহলের বাগান এই ক্রস-রোড জ্যামিতিতে ৪টি সমান চত্বরে বিভক্ত।

১. সীমানা সংক্রান্ত কাজ (বেড়া দেওয়া, প্রাচীর তোলা): $\text{খরচ} = \text{পরিসীমা} \times \text{প্রতি মিটার দর}$।
২. তল সংক্রান্ত কাজ (ঘাস বসানো, বাঁধাই, রং করা): $\text{খরচ} = \text{ক্ষেত্রফল} \times \text{প্রতি বর্গমিটার দর}$।

$$\text{প্রয়োজনীয় টালির সংখ্যা} = \frac{\text{মেঝের মোট ক্ষেত্রফল}}{\text{একটি টালির ক্ষেত্রফল}}$$ লক্ষ্য রাখতে হবে উভয় ক্ষেত্রফল যেন একই এককে (যেমন উভয়ই বর্গসেমিতে) থাকে।

একটি ৬ মি × ৪ মি মেঝেতে ২০ সেমি × ২০ সেমি মাপের টালি বসাতে টালির সংখ্যা $= \frac{৬০০ \times ৪০০}{২০ \times ২০} = \frac{২৪০,০০০}{৪০০} = ৬০০\text{ টি}$।

মেঝের মাপ মিটারে এবং টালির মাপ সেমিতে দেওয়া থাকলে রূপান্তর না করে কাটাকাটি করা একটি মারাত্নক ভুল।

গৃহনির্মাণ প্রকৌশল: বাড়ি তৈরির মার্বেল, টাইলস ও পেইন্টিং বাজেটে এই ক্ষেত্রফল সূত্র ব্যবহৃত হয়।