মাধ্যম নির্বাচন করুন / Select Medium:

Eng (English) Beng (বাংলা) Hindi (हिन्दी)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) • শ্রেণি 7 • Mathematics (গণিত প্রভা) • অধ্যায় 3

আনুমানিক সময়: 50 মিনিট

অগ্রগতি: অধ্যয়নে সক্রিয়

সমানুপাত

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) সপ্তম শ্রেণির গণিত প্রভা পাঠ্যক্রমের তৃতীয় অধ্যায় "সমানুপাত" (Proportion)-এ স্বাগতম। TargetExams Gold-Standard শিক্ষণপদ্ধতিতে তৈরি এই অধ্যায়ে চারটি রাশির সমতার সম্পর্ক, প্রান্তীয় পদ ও মধ্যপদের মূল সূত্রাবলী, অজ্ঞাত চতুর্থ ও তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয়, ক্রমিক সমানুপাত এবং বাস্তব জীবনের ঐকিক ও আনুপাতিক সমস্যাবলীর পুঙ্খানুপুঙ্খ ব্যাখ্যা ও সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

অনলাইন CBT টেস্ট দিন সকল অধ্যায় দেখুন

ভূমিকা মূল ধারণা সূত্র ও অভেদ সমাধানকৃত উদাহরণ সাধারণ ভুলত্রুটি অধ্যায় সারসংক্ষেপ স্ব-মূল্যায়ন অনলাইন টেস্ট

🌍 বাস্তব জীবনে সমানুপাতের জাদু

প্রাচীন যুগে বিজ্ঞানী এরাতোস্থেনিস কীভাবে মাত্র একটি লাঠি ও ছায়ার সাহায্যে পৃথিবীর পরিধি মেপেছিলেন?

খ্রিস্টপূর্ব ২৪০ অব্দে গ্রিক পণ্ডিত এরাতোস্থেনিস কোনো স্যাটেলাইট বা বিমান ছাড়াই শুধুমাত্র সমানুপাত ($a : b :: c : d$) ব্যবহার করে পৃথিবীর সঠিক পরিধি নির্ণয় করেছিলেন! তিনি লক্ষ্য করেন যে দুপুরে সাইন শহরে যখন সূর্যের আলো সরাসরি কুয়োর তলায় পড়ত, তখন ৫০০ মাইল দূরের আলেকজান্দ্রিয়ায় একটি উল্লম্ব লাঠি ৭.২ ডিগ্রি কোণে ছায়া ফেলত। তিনি বললেন: $\frac{7.2^\circ}{360^\circ} = \frac{500\text{ মাইল}}{\text{পৃথিবীর পরিধি}}$।

একটি সাধারণ সমানুপাতের হিসাব দিয়ে তিনি নির্ণয় করলেন পৃথিবীর পরিধি প্রায় ২৫,০০০ মাইল—যা আধুনিক স্যাটেলাইট পরিমাপের প্রায় ৯৯% নির্ভুল! ফটোগ্রাফের জুম, ব্লুপ্রিন্ট স্কেল এবং ওষুধ তৈরির অনুপাতে সমানুপাত হলো প্রকৃতির সবচেয়ে শক্তিশালী গাণিতিক নিয়ম।

অধ্যায়টির গুরুত্ব

পাঠের পূর্বে প্রয়োজনীয় ধারণা

অনুপাতের মৌলিক ধারণা, পূর্বপদ ও উত্তরপদ শনাক্তকরণ।
ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠকরণ ও বজ্রগুণন (Cross-Multiplication) প্রক্রিয়া।
সমজাতীয় এককে রূপান্তরের নিয়মাবলী (যেমন কিমি থেকে মিটার, টাকা থেকে পয়সা)।

শিখন লক্ষ্যমাত্রা ও ফলাফল

চারটি রাশি সমানুপাতে থাকার শর্ত পরীক্ষা করা এবং প্রান্তীয় ও মধ্যপদ শনাক্ত করা।
সমানুপাতের মৌলিক সূত্র: $\text{প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল} = \text{মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল}$ ($a \times d = b \times c$) প্রয়োগ করে অজ্ঞাত পদ নির্ণয় করা।
ক্রমিক সমানুপাত ও মধ্য সমানুপাতীর সম্পর্ক ($b^2 = ac$) নির্ভুলভাবে গণনা করা।
বাস্তব জীবনে সরল ও ব্যস্ত সমানুপাতিক সমস্যা চিহ্নিত করে সমানুপাত আকারে সাজিয়ে সমাধান করা।
মানচিত্রের স্কেল, ছায়ার দৈর্ঘ্য ও প্রাসঙ্গিক ক্ষেত্রে সমানুপাতের অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করা।

অধ্যায়ের বিষয়সূচি ও রূপরেখা

1 ১. সমানুপাতের ধারণা ও মৌলিক সূত্র (...

2 ২. অজ্ঞাত পদ ও চতুর্থ সমানুপাতী নির...

3 ৩. ক্রমিক সমানুপাত ও মধ্য সমানুপাতী...

4 ৪. বাস্তব সমস্যায় সমানুপাত: সরল ও...

5 ৫. জ্যামিতিক সমানুপাত, ছায়ার দৈর্ঘ...

সম্পূর্ণ তত্ত্ব ও ধারণাগত আলোচনা

১. সমানুপাতের ধারণা ও মৌলিক সূত্র (The Fundamental Law of Proportion)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

দুটি অনুপাত যখন সমমানের হয়, তখন রাশি চারটি পরস্পরের সাথে সমানুপাতে (in Proportion) থাকে। যেমন: ২ কেজি চালের দাম ₹৮০ ($২:৮০ = ১:৪০$) এবং ৫ কেজি চালের দাম ₹২০০ ($৫:২০০ = ১:৪০$)। উভয় ক্ষেত্রেই অনুপাত সমান, তাই $২, ৮০, ৫, ২০০$ সমানুপাতে রয়েছে।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও গাণিতিক কাঠামো (The Formal Structure)

চারটি রাশি $a, b, c, d$ সমানুপাতে থাকলে লেখা হয়: $\mathbf{a : b :: c : d}$ বা $\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{c}{d}}$।

এখানে $a$ হলো ১ম পদ, $b$ হলো ২য় পদ, $c$ হলো ৩য় পদ, এবং $d$ হলো ৪র্থ পদ।
$a$ এবং $d$ রাশিমালাটির দুই প্রান্তে অবস্থিত, তাই এদের প্রান্তীয় পদ (Extremes) বলে।
$b$ এবং $c$ রাশিমালাটির মাঝে অবস্থিত, তাই এদের মধ্যপদ (Means) বলে।

সমানুপাতের সোনালী সূত্র:
$$\mathbf{\text{প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল} = \text{মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল}}$$ $$\mathbf{a \times d = b \times c}$$

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: $8, 10, 16, 20$ সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে কিনা পরীক্ষা করো।

পদ্ধতি ১ (অনুপাতের সমতা): ১ম পদ : ২য় পদ $= 8 : 10 = 4 : 5$ এবং ৩য় পদ : ৪র্থ পদ $= 16 : 20 = 4 : 5$। যেহেতু উভয় অনুপাত সমান, তাই সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

পদ্ধতি ২ (মূল সূত্রের প্রয়োগ):

প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল $= 8 \times 20 = 160$

মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল $= 10 \times 16 = 160$

যেহেতু $\text{প্রান্তীয় গুণফল} = \text{মধ্য গুণফল} = 160$, অতএব $8 : 10 :: 16 : 20$ সমানুপাতে রয়েছে।

৪. সাধারণ ভুল ও পরীক্ষকের ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ ফাঁদ: ক্রম পরিবর্তন করে ভুল সিদ্ধান্ত নেওয়া
যদি বলা হয় $8, 20, 10, 16$ সমানুপাতে আছে কি? প্রান্তীয় গুণফল $8 \times 16 = 128$ এবং মধ্য গুণফল $20 \times 10 = 200$। এখানে $128 \ne 200$, তাই এরা সমানুপাতে নেই! সমানুপাতে পদের ক্রম (Order of terms) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

ফটোগ্রাফি ও ভিডিও সম্পাদনায় অ্যাসপেক্ট রেশিও (16:9 বা 4:3) ঠিক রাখতে এই সমানুপাতের মূল নিয়ম ব্যবহৃত হয়, যাতে ছবির কোনো বিকৃতি না ঘটে।

২. অজ্ঞাত পদ ও চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় (Finding Unknown Terms)

১. মূল ধারণা (The Intuition)

সমানুপাতের ৪টি পদের মধ্যে যেকোনো ৩টি পদ জানা থাকলে, অপর অজ্ঞাত পদটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে নিশ্চিত হয়ে যায়। এটি গণিতের অন্যতম সেরা সমীকরণ সমাধান পদ্ধতি।

২. আনুষ্ঠানিক সূত্রসমূহ (The Mathematical Formulas)

সমানুপাতের সূত্র $a \times d = b \times c$ থেকে পাই:

নির্ণেয় পদ	সরাসরি নির্ণয়ের সূত্র
৪র্থ পদ ($d$) (চতুর্থ সমানুপাতী)	$$d = \frac{b \times c}{a} = \frac{\text{২য় পদ} \times \text{৩য় পদ}}{\text{১ম পদ}}$$
১ম পদ ($a$)	$$a = \frac{b \times c}{d} = \frac{\text{২য় পদ} \times \text{৩য় পদ}}{\text{৪র্থ পদ}}$$
২য় পদ ($b$)	$$b = \frac{a \times d}{c} = \frac{\text{১ম পদ} \times \text{৪র্থ পদ}}{\text{৩য় পদ}}$$
৩য় পদ ($c$)	$$c = \frac{a \times d}{b} = \frac{\text{১ম পদ} \times \text{৪র্থ পদ}}{\text{২য় পদ}}$$

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: $9, 12, 18$-এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করো।

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হলো $x$।

অতএব, $9 : 12 :: 18 : x$

সমানুপাতের সূত্রানুযায়ী: $\text{প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল} = \text{মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল}$

$$9 \times x = 12 \times 18 \implies x = \frac{12 \times 18}{9}$$

লঘিষ্ঠ করে পাই: $x = 12 \times 2 = 24$

উত্তর: নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতীটি হলো $\mathbf{24}$।

৪. সাধারণ ভুল ও পরীক্ষকের ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ ভুল কাটাকুটি ও ক্রস মাল্টিপ্লিকেশন বিভ্রান্তি:
অনেকে $x = \frac{9 \times 18}{12}$ লিখে ভুল করে। মনে রাখবেন: $x$ যদি প্রান্তে থাকে, তবে দুটি মধ্যপদের গুণফলকে অপর প্রান্তের পদ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

মুদ্রা বিনিময় হার (Currency Exchange Rate): যেমন $1\text{ USD} = 83\text{ INR}$ হলে $450\text{ USD} = x\text{ INR}$—ব্যাংকিং সফটওয়্যারে এই সূত্রেই অজ্ঞাত অর্থ হিসাব হয়।

৩. ক্রমিক সমানুপাত ও মধ্য সমানুপাতী (Continued Proportion)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

যদি প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের অনুপাত হুবহু সমান হয়, তবে পদ তিনটি একটি অবিচ্ছিন্ন শৃঙ্খল বা ক্রমিক সমানুপাত (Continued Proportion) তৈরি করে। যেমন: $4, 8, 16$ এর ক্ষেত্রে $\frac{4}{8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও সূত্রাবলী (The Formal Structure)

তিনটি ধনাত্মক রাশি $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে:

$$\mathbf{a : b :: b : c \implies \frac{a}{b} = \frac{b}{c}}$$

বজ্রগুণন করে পাই: $\mathbf{b^2 = a \times c}$

এখানে $b$-কে বলা হয় $a$ এবং $c$-এর মধ্য সমানুপাতী (Mean Proportional): $$\mathbf{b = \sqrt{a \times c}}$$
$c$-কে বলা হয় $a$ এবং $b$-এর তৃতীয় সমানুপাতী (Third Proportional): $$\mathbf{c = \frac{b^2}{a}}$$

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: $4$ এবং $25$-এর মধ্য সমানুপাতী এবং $8$ ও $12$-এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করো।

অংশ ১ (মধ্য সমানুপাতী):
ধরি মধ্য সমানুপাতীটি $b$।
$b^2 = 4 \times 25 = 100 \implies b = \sqrt{100} = \mathbf{10}$

অংশ ২ (তৃতীয় সমানুপাতী):
ধরি তৃতীয় সমানুপাতীটি $c$।
$8 : 12 :: 12 : c \implies 8 \times c = 12 \times 12 \implies c = \frac{144}{8} = \mathbf{18}$

উত্তর: মধ্য সমানুপাতী $= \mathbf{10}$, তৃতীয় সমানুপাতী $= \mathbf{18}$।

৪. সাধারণ ভুল ও পরীক্ষকের ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ তৃতীয় সমানুপাতীর সঙ্গে চতুর্থ সমানুপাতী গুলিয়ে ফেলা:
প্রশ্নে দুটি সংখ্যা দিয়ে তৃতীয় সমানুপাতী চাইলে অনেকে ভাবে ৩টি সংখ্যা আছে। দুটি সংখ্যা ($a, b$) থাকলে ক্রমিক সমানুপাত তৈরি হয়: $a : b :: b : c$। মাঝে $b$ দুবার ব্যবহার হবে!

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

বিজ্ঞানের জ্যামিতিক প্রগতি (Geometric Progression), সোনার কারুকার্যের অনুপাত এবং ব্যাকটেরিয়ার দ্বিগুণ হারে বিস্তার ক্রমিক সমানুপাতের নিয়মেই চলে।

৪. বাস্তব সমস্যায় সমানুপাত: সরল ও ব্যস্ত রূপ (Real-World Applications)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

বাস্তব জীবনে সমস্যা সমাধানের জন্য সমানুপাত সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য হাতিয়ার। কিন্তু প্রশ্ন হলো: রাশি দুটি কি সরল সমানুপাত (Direct) না ব্যস্ত সমানুপাত (Inverse)?

২. আনুষ্ঠানিক তুলনামূলক ছক (The Classification Table)

সম্পর্কের ধরন	অনুপাত গঠনের নিয়ম	বাস্তব দৃষ্টান্ত
সরল সমানুপাত (Direct) (একটির বৃদ্ধিতে অপরটি বৃদ্ধি)	$x_1 : x_2 :: y_1 : y_2$	দূরত্ব ও সময়; দ্রব্যের ওজন ও দাম; কাজের পরিমাণ ও সময়
ব্যস্ত সমানুপাত (Inverse) (একটির বৃদ্ধিতে অপরটি হ্রাস)	$x_1 : x_2 :: y_2 : y_1$	গতিবেগ ও সময়; শ্রমিক সংখ্যা ও কার্যকাল; পাম্প সংখ্যা ও চৌবাচ্চা ভরার সময়

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: ১৫ জন কৃষক একটি মাঠের ফসল ১২ দিনে কাটতে পারেন। ৯ দিনে ফসল কাটতে হলে কতজন অতিরিক্ত কৃষক নিয়োগ করতে হবে?

ধাপ ১ (সম্পর্ক বিশ্লেষণ): দিন সংখ্যা কমলে কৃষক সংখ্যা বাড়াতে হবে → এটি ব্যস্ত সমানুপাত।

ধাপ ২ (সমানুপাত গঠন):

দিন সংখ্যার অনুপাত :: কৃষকের ব্যস্ত অনুপাত

$$12 : 9 :: x : 15$$

ধাপ ৩ (মূল সূত্র প্রয়োগ):

$$9 \times x = 12 \times 15 \implies x = \frac{180}{9} = 20\text{ জন কৃষক}$$

ধাপ ৪ (অতিরিক্ত কৃষক নির্ণয়):

অতিরিক্ত কৃষক প্রয়োজন $= 20 - 15 = \mathbf{5\text{ জন}}$।

৪. সাধারণ ভুল ও পরীক্ষকের ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ "মোট" বনাম "অতিরিক্ত" গুলিয়ে ফেলা:
পরীক্ষায় অনেক শিক্ষার্থী $20$ পর্যন্ত সমাধান করে উত্তর লিখে ফেলে। কিন্তু প্রশ্নে চেয়েছে "কতজন অতিরিক্ত কৃষক"! প্রশ্ন মনোযোগ দিয়ে পড়ে $20 - 15 = 5$ জন বের করা আবশ্যক।

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

হাইওয়ে এক্সপ্রেসওয়ে নির্মাণ এবং আইটি সফটওয়্যার স্প্রিন্ট প্রজেক্টের ডেলিভারি ডেডলাইন ঠিক রাখতে এই ব্যস্ত সমানুপাত ব্যবহার করা হয়।

৫. জ্যামিতিক সমানুপাত, ছায়ার দৈর্ঘ্য ও স্কেল মডেল (Scale & Geometry)

১. মূল ধারণা (The Intuition)

সূর্যের আলোর উপস্থিতিতে একই সময়ে যেকোনো বস্তুর উচ্চতা এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সরল সমানুপাতে থাকে। এই জ্যামিতিক সমানুপাত দিয়েই গাছে বা মিনারে না উঠে তার উচ্চতা মেপে ফেলা যায়।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও স্কেলের সূত্র (The Formal Structure)

ছায়ার সমানুপাত সূত্র:

$$\frac{\text{১ম বস্তুর উচ্চতা}}{\text{১ম বস্তুর ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{\text{২য় বস্তুর উচ্চতা}}{\text{২য় বস্তুর ছায়ার দৈর্ঘ্য}}$$

মানচিত্রের স্কেল (Map Scale):

$$\text{স্কেল অনুপাত} = \frac{\text{মানচিত্রের দূরত্ব}}{\text{বাস্তব ভূমির দূরত্ব}}$$

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: একটি উল্লম্ব খুঁটির উচ্চতা $৬\text{ মিটার}$ এবং এর ছায়ার দৈর্ঘ্য $৮\text{ মিটার}$। একই সময়ে একটি সুবিশাল গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য $২৪\text{ মিটার}$ হলে গাছটির প্রকৃত উচ্চতা কত?

ধরি গাছটির উচ্চতা $h\text{ মিটার}$।

যেহেতু উচ্চতা ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সরল সমানুপাতী:

$$6 : 8 :: h : 24 \implies 8 \times h = 6 \times 24$$

$$h = \frac{6 \times 24}{8} = 6 \times 3 = 18\text{ মিটার}$$

উত্তর: গাছটির উচ্চতা $\mathbf{18\text{ মিটার}}$।

৪. সাধারণ ভুল ও পরীক্ষকের ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ এককের অমিল:
খুঁটির দৈর্ঘ্য সেমিতে এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া থাকলে সরাসরি সমানুপাত বসালে ভুল হবে। সমস্ত রাশিকে একই এককে নিয়ে আসতে হবে।

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

গুগল ম্যাপে জুম করা, আর্কিটেকচারাল থ্রি-ডি মডেল তৈরি এবং বিমানচালনায় দিকনির্ণয়ে স্কেল সমানুপাত ভিত্তি হিসেবে কাজ করে।

গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সূত্র, অভেদ ও উপপাদ্য

সমানুপাতের মূল সূত্র

$$a \times d = b \times c$$

প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল

চতুর্থ সমানুপাতী

$$d = \frac{b \times c}{a}$$

১ম, ২য় ও ৩য় পদ জানা থাকলে

মধ্য সমানুপাতী

$$b = \sqrt{a \times c}$$

ক্রমিক সমানুপাতে a:b :: b:c

তৃতীয় সমানুপাতী

$$c = \frac{b^2}{a}$$

ক্রমিক সমানুপাত a, b এর তৃতীয় পদ

সরল সমানুপাত সম্পর্ক

$$x_1 : x_2 :: y_1 : y_2$$

দুটি রাশি সমহারে বাড়লে

ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক

$$x_1 : x_2 :: y_2 : y_1$$

একটি বাড়লে অন্যটি সমহারে কমলে

সমাধানকৃত উদাহরণ ও প্রয়োগ (Solved Examples)

উদাহরণ 1

যদি $7, x, 35, 45$ সমানুপাতে থাকে, তবে $x$-এর মান নির্ণয় করো।

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

যেহেতু পদ চারটি সমানুপাতে আছে:
$\text{প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল} = \text{মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল}$
$x \times 35 = 7 \times 45$
$$x = \frac{7 \times 45}{35} = \frac{45}{5} = \mathbf{9}$$
উত্তর: $x$-এর মান $\mathbf{9}$।

উদাহরণ 2

$16$ এবং $36$-এর মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় করো।

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

ধরি মধ্য সমানুপাতীটি হলো $b$।
ক্রমিক সমানুপাতের সূত্রানুযায়ী: $b^2 = 16 \times 36$
$$b = \sqrt{16 \times 36} = 4 \times 6 = \mathbf{24}$$
উত্তর: নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতী হলো $\mathbf{24}$।

উদাহরণ 3

৬ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ওই কাজটি ৮ দিনে সম্পন্ন করতে কতজন লোক লাগবে?

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

দিন সংখ্যা কমলে লোক সংখ্যা বাড়বে → ব্যস্ত সমানুপাত।
সমানুপাতটি হবে: $12 : 8 :: x : 6$
$$8 \times x = 12 \times 6 \implies x = \frac{72}{8} = \mathbf{9\text{ জন লোক}}$$
উত্তর: মোট $\mathbf{9}$ জন লোক লাগবে।

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সতর্কতা (Common Traps)

সাধারণ ভুল ধারণা

সমানুপাতের পদের ক্রম উল্টে ফেলা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সমানুপাতে পদের অবস্থান অত্যন্ত কঠোর: ১ম × ৪র্থ = ২য় × ৩য় সর্বদা বজায় রাখতে হবে।

সাধারণ ভুল ধারণা

ক্রমিক সমানুপাতে তৃতীয় সমানুপাতী বের করতে চতুর্থ পদের সূত্র ব্যবহার করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

ক্রমিক সমানুপাতে মধ্যপদ ($b$) দুবার গণনা হয়: $a : b :: b : c \implies c = \frac{b^2}{a}$।

সাধারণ ভুল ধারণা

ব্যস্ত সমানুপাতের প্রশ্নে সরল সমানুপাতের মতো সাজানো।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

ব্যস্ত সম্পর্কে দ্বিতীয় অনুপাতের পদ দুটি উল্টে ($y_2 : y_1$) সমানুপাত গঠন করতে হবে।

চিত্রগত ব্যাখ্যা ও মডেল

WBBSE গণিত প্রভা: সমানুপাতের মূল ভারসাম্য ও রূপরেখা কম্পাস

প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল সর্বদা মধ্যপদদ্বয়ের গুণফলের সমান হতে হবে ($a \times d = b \times c$)

১ম পদ (1st)

$a$

প্রান্তীয় পদ

২য় পদ (2nd)

$b$

মধ্যপদ

৩য় পদ (3rd)

$c$

মধ্যপদ

৪র্থ পদ (4th)

$d$

প্রান্তীয় পদ

ভারসাম্য সমীকরণ: $\mathbf{(১ম \times ৪র্থ) = (২য় \times ৩য়) \implies a \times d = b \times c}$ | ক্রমিক সমানুপাত: $\mathbf{b = \sqrt{ac}}$

অধ্যায় সারসংক্ষেপ ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

মূল বিষয় 1

সমানুপাতের সংজ্ঞা: দুটি অনুপাত সমান হলে চারটি রাশিকে সমানুপাতী বলা হয় ($a:b :: c:d$)।

মূল বিষয় 2

সোনালী সূত্র: প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল সর্বদা মধ্যপদদ্বয়ের গুণফলের সমান ($a \times d = b \times c$)।

মূল বিষয় 3

চতুর্থ সমানুপাতী: চতুর্থ পদ $d = \frac{b \times c}{a}$।

মূল বিষয় 4

ক্রমিক সমানুপাত: $a : b :: b : c \implies b^2 = ac$, যেখানে $b$ হলো মধ্য সমানুপাতী ($b = \sqrt{ac}$)।

মূল বিষয় 5

তৃতীয় সমানুপাতী: দুটি সংখ্যা $a, b$-এর তৃতীয় সমানুপাতী হলো $c = \frac{b^2}{a}$।

মূল বিষয় 6

সরল বনাম ব্যস্ত: সরল সম্পর্কে $x_1 : x_2 :: y_1 : y_2$ এবং ব্যস্ত সম্পর্কে $x_1 : x_2 :: y_2 : y_1$।

মূল বিষয় 7

বাস্তব স্কেল: সূর্যালোকে ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং বস্তুর উচ্চতা সরল সমানুপাতে থাকে।

স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন (Check Your Understanding)

মূল ধারণাগত স্পষ্টতা যাচাই করার জন্য অনুশীলন প্রশ্ন। উত্তর দেখার আগে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো।

$4, 6, 10, x$ সমানুপাতে থাকলে $x$-এর মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $4 \times x = 6 \times 10 \implies x = \frac{60}{4} = \mathbf{15}$
প্রান্তীয় গুণফল = মধ্য গুণফল সূত্র প্রয়োগ করো: ১ম × ৪র্থ = ২য় × ৩য়।

$9$ এবং $25$-এর মধ্য সমানুপাতী নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $b = \sqrt{9 \times 25} = 3 \times 5 = \mathbf{15}$
মধ্য সমানুপাতী সূত্র: $b = \sqrt{ac}$।

$4$ এবং $12$-এর তৃতীয় সমানুপাতী কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $c = \frac{12^2}{4} = \frac{144}{4} = \mathbf{36}$
ক্রমিক সমানুপাত সাজাও: $4 : 12 :: 12 : c$।

একটি মানচিত্রে ২ সেমি দূরত্ব মাটিতে ৫০ কিমি নির্দেশ করে। মানচিত্রে ৫ সেমি দূরত্ব মাটিতে কত কিমি হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $2 : 5 :: 50 : x \implies 2 \times x = 5 \times 50 \implies x = \mathbf{125\text{ কিমি}}$
মানচিত্রের দূরত্ব এবং মাটির বাস্তব দূরত্ব সরল সমানুপাতে থাকে।

১২ জন শ্রমিক একটি দেয়াল ২০ দিনে গাঁথতে পারেন। ১৫ জন শ্রমিক ওই দেয়াল কত দিনে গাঁথবেন?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $20 : x :: 15 : 12 \implies 15 \times x = 20 \times 12 \implies x = \frac{240}{15} = \mathbf{16\text{ দিন}}$
শ্রমিক ও দিন সংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক রয়েছে।

অধ্যায় পড়া শেষ হয়েছে?

অনুশীলন শুরু করো