মাধ্যম নির্বাচন করুন / Select Medium:

Eng (English) Beng (বাংলা) Hindi (हिन्दी)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) • শ্রেণি 7 • Mathematics (গণিত প্রভা) • অধ্যায় 1

আনুমানিক সময়: 55 মিনিট

অগ্রগতি: অধ্যয়নে সক্রিয়

পূর্বপাঠের পুনরাবৃত্তি

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) সপ্তম শ্রেণির গণিত প্রভা পাঠ্যক্রমের প্রথম অধ্যায় "পূর্বপাঠের পুনরাবৃত্তি" (Revision of Previous Lessons)-তে স্বাগত। TargetExams Gold-Standard শিক্ষণপদ্ধতিতে তৈরি এই সমৃদ্ধ অধ্যায়টি প্রাথমিক পাটিগণিতের সাথে মাধ্যমিক স্তরের গাণিতিক বিশ্লেষণের এক অনন্য সেতু বন্ধন তৈরি করে। এখানে বদমাস (VBODMAS) নিয়মের নিখুঁত প্রয়োগ, ভগ্নাংশ ও দশমিকের বহু-ধাপ সরলীকরণ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু-এর মূল সম্পর্ক, ঐকিক নিয়মের সরল ও ব্যস্ত অনুপাতিক যুক্তি এবং প্রাথমিক জ্যামিতির পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও কোণ সংক্রান্ত ধারণাসমূহ গভীরভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে।

অনলাইন CBT টেস্ট দিন সকল অধ্যায় দেখুন

ভূমিকা মূল ধারণা সূত্র ও অভেদ সমাধানকৃত উদাহরণ সাধারণ ভুলত্রুটি অধ্যায় সারসংক্ষেপ স্ব-মূল্যায়ন অনলাইন টেস্ট

🌍 বাস্তব জীবনে গণিতের নিয়ম ও ভিত্তি

কেন $5 + 3 \times 2$ এর মান $11$ হয়, অথচ সাধারণ পকেট ক্যালকুলেটরে কখনো কখনো $16$ দেখায়?

যদি আপনি $5 + 3 \times 2$ সমাধান করতে দুজন শিক্ষার্থীকে দেন, একজন হয়তো প্রথমে যোগ করে ($5 + 3 = 8$) এবং তারপর $2$ দিয়ে গুণ করে উত্তর বের করবে $16$। অন্যজন প্রথমে গুণ করে ($3 \times 2 = 6$) এবং তারপর $5$ যোগ করে উত্তর পাবে $11$। দুজনেই সাধারণ পাটিগণিত ব্যবহার করেছে, তবে কার উত্তরটি সঠিক?

শতাব্দীর পর শতাব্দী ধরে বিশ্বজুড়ে বিজ্ঞানী, গণিতবিদ ও নাবিকেরা এই সমস্যার সম্মুখীন হয়েছিলেন। একটি রকেট উৎক্ষেপণ ব্যবস্থা বা ব্যাংকের লেনদেন প্রোগ্রামে একই রাশিমালার দুটি ভিন্ন ফলাফল হতে পারে না! এই বিভ্রান্তি দূর করতেই বিশ্বব্যাপী তৈরি করা হয় অপরিবর্তনীয় প্রক্রিয়া অগ্রাধিকারের নিয়ম (VBODMAS)। গণিত কেবল সংখ্যার হিসাব নয়—এটি একটি সার্বজনীন যৌক্তিক ভাষা যার সুনির্দিষ্ট নিয়ম আমাদের প্রযুক্তি, পরিকাঠামো এবং আধুনিক জীবনকে নির্ভুল রাখে।

অধ্যায়টির গুরুত্ব

পাঠের পূর্বে প্রয়োজনীয় ধারণা

স্বাভাবিক সংখ্যা, অখণ্ড সংখ্যা ও দশমিক স্থানমানের মৌলিক ধারণা।
পাটিগণিতের চারটি মৌলিক প্রক্রিয়া: যোগ ($+$), বিয়োগ ($-$), গুণ ($\times$), এবং ভাগ ($\div$)-এ দক্ষতা।
ভগ্নাংশের লব ও হরের ধারণা এবং প্রকৃত, অপ্রকৃত ও মিশ্র ভগ্নাংশের রূপান্তর।

শিখন লক্ষ্যমাত্রা ও ফলাফল

রেখা বন্ধনীসহ সম্পূর্ণ VBODMAS নিয়ম প্রয়োগ করে জটিল বীজগাণিতিক ও পাটিগাণিতিক রাশিমালা নির্ভুলভাবে সরল করা।
ভগ্নাংশের অন্যোন্যক, গুণ ও ভাগ এবং সসীম ও আবৃত্ত দশমিকের সঠিক রূপান্তর ও গাণিতিক প্রক্রিয়া সম্পন্ন করা।
মৌলিক উৎপাদক ও ভাগ পদ্ধতিতে ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয় এবং $\text{প্রথম সংখ্যা} \times \text{দ্বিতীয় সংখ্যা} = \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}$ সম্পর্কের সত্যতা যাচাই।
বাস্তব জীবনে সরল সমানুপাত ও ব্যস্ত সমানুপাতের পার্থক্য চিহ্নিত করে দ্বি-স্তরীয় ঐকিক নিয়মের সাহায্যে সমস্যা সমাধান।
আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় এবং পূরক ও সম্পূরক কোণের মান পরিমাপ করা।

অধ্যায়ের বিষয়সূচি ও রূপরেখা

1 ১. গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম ও বন্ধন...

2 ২. ভগ্নাংশ ও দশমিক সংখ্যার মৌলিক প্...

3 ৩. গ.সা.গু ও ল.সা.গু-এর সম্পর্ক এবং...

4 ৪. ঐকিক নিয়ম: সরল সমানুপাত বনাম ব্...

5 ৫. প্রাথমিক পরিমিতি ও কোণ সংক্রান্ত...

সম্পূর্ণ তত্ত্ব ও ধারণাগত আলোচনা

১. গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম ও বন্ধনীর নিয়ম (The VBODMAS Rule)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

একটি গাণিতিক রাশিমালার ভেতরে যখন বন্ধনী, যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ সব একসাথে থাকে, তখন কোনো নির্দিষ্ট ক্রম না মানলে যেকোনো রাশিমালার একাধিক অর্থ তৈরি হতে পারে। এই বিশৃঙ্খলা এড়াতে গণিতে একটি আন্তর্জাতিক ব্যাকরণ তৈরি করা হয়েছে যার নাম VBODMAS।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও কাঠামো (The Formal Concept & Structure)

যেকোনো সরলীকরণে বাম থেকে ডানে কঠোরভাবে নিচের অগ্রাধিকার ক্রম মানতে হবে:

অক্ষর	পূর্ণ রূপ	প্রতীক ও অর্থ	অগ্রাধিকার ক্রম
V	Vinculum (রেখা বন্ধনী)	$\overline{\text{বার}}$ (চিহ্নযুক্ত সংখ্যার উপরে বার)	১ম (সবার আগে সমাধান)
B	Brackets (বন্ধনী)	প্রথম $( )$, দ্বিতীয় $\{ \}$, তৃতীয় $[ ]$	২য় (ভেতর থেকে বাইরে)
O	Of (এর)	'এর' (বিশেষ গুণের কাজ, চিহ্নের আগে)	৩য়
D	Division (ভাগ)	$\div$ (সমান অগ্রাধিকার গুণের সাথে, বাম থেকে ডানে)	৪র্থ
M	Multiplication (গুণ)	$\times$ (ভাগের সাথে একই স্তরে)	৫ম
A	Addition (যোগ)	$+$ (বিয়োগের সাথে একই স্তরে)	৬ষ্ঠ
S	Subtraction (বিয়োগ)	$-$ (সর্বশেষ সমাধান প্রক্রিয়া)	৭ম

স্মরণীয় সোনালী নিয়ম: ভাগ ($\div$) এবং গুণ ($\times$) সমমর্যাদার; যোগ ($+$) এবং বিয়োগ ($-$) সমমর্যাদার। এদের ক্ষেত্রে রাশিমালার বাম দিক থেকে ডান দিকে ক্রমানুসারে সমাধান করতে হবে।

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: সরল করো: $36 - [18 - \{14 - (15 - \overline{4 - 2})\}]$

ধাপ ১ (রেখা বন্ধনীর সমাধান): $\overline{4 - 2} = 2$

রাশিটি দাঁড়ায়: $36 - [18 - \{14 - (15 - 2)\}]$

ধাপ ২ (প্রথম বন্ধনীর সমাধান): $15 - 2 = 13$

রাশিটি দাঁড়ায়: $36 - [18 - \{14 - 13\}]$

ধাপ ৩ (দ্বিতীয় বন্ধনীর সমাধান): $14 - 13 = 1$

রাশিটি দাঁড়ায়: $36 - [18 - 1]$

ধাপ ৪ (তৃতীয় বন্ধনীর সমাধান): $18 - 1 = 17$

ধাপ ৫ (চূড়ান্ত বিয়োগ): $36 - 17 = 19$

উত্তর: $\mathbf{19}$

৪. সাধারণ ভুল ও ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ পরীক্ষকের ফাঁদ: রেখা বন্ধনীর আগের বিয়োগ চিহ্ন
অনেকেই $-(5 - \overline{3 - 1})$ সমাধান করার সময় ভাবে এটি $-3 - 1 = -4$। এটি মারাত্মক ভুল!
সঠিক নিয়ম: রেখা বন্ধনী ($\overline{\text{বার}}$) নিজেই একটি প্রথম বন্ধনীর মতো কাজ করে। তাই প্রথমে ভিতরের অংশ ($3 - 1 = 2$) সমাধান করে নিতে হবে, তারপর সামনের চিহ্নের সঙ্গে তুলনা করতে হবে: $-(5 - 2) = -3$।

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

কম্পিউটার প্রোগ্রামিং (Python, C++, Java), মাইক্রোসফট এক্সেল শিট এবং ব্যাংকের এটিএম সফটওয়্যার এই VBODMAS অগ্রাধিকার নিয়মের ওপর ভিত্তি করেই প্রতিটি হিসাব নিখুঁতভাবে পরিচালনা করে।

২. ভগ্নাংশ ও দশমিক সংখ্যার মৌলিক প্রক্রিয়া (Fractions & Decimals)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগের অর্থ কী? যদি আপনার কাছে $6$টি মিষ্টি থাকে এবং প্রত্যেক শিশুকে $\frac{1}{2}$ অংশ করে দেন, তবে কতজন শিশু পাবে? $6 \div \frac{1}{2} = 6 \times 2 = 12$ জন! অর্থাৎ, ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করার অর্থ হলো সেই ভগ্নাংশের অন্যোন্যক (Reciprocal) দিয়ে গুণ করা।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও নিয়মাবলী (The Formal Concept & Structure)

ভগ্নাংশের প্রক্রিয়া সূত্রসমূহ:

ভগ্নাংশের গুণ: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ (লবের গুণফল বিভক্ত হরের গুণফল)।
ভগ্নাংশের ভাগ ও অন্যোন্যক: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ (ভাজকের লব ও হর উল্টে গুণ করতে হয়)।
দশমিকের রূপান্তর: হরকে $10, 100, 1000$ ইত্যাদি ঘাতে পরিণত করে সরাসরি দশমিকে রূপান্তর করা যায়। যেমন: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0.6$।

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: সরল করো: $\frac{3}{4} \div \frac{9}{16} \text{ এর } \frac{2}{3} + \frac{5}{6}$

ধাপ ১ ('এর' এর কাজ আগে): $\frac{9}{16} \text{ এর } \frac{2}{3} = \frac{9 \times 2}{16 \times 3} = \frac{18}{48} = \frac{3}{8}$

রাশিটি দাঁড়ায়: $\frac{3}{4} \div \frac{3}{8} + \frac{5}{6}$

ধাপ ২ (ভাগের কাজ - অন্যোন্যক গুণ): $\frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{24}{12} = 2$

ধাপ ৩ (যোগের কাজ): $2 + \frac{5}{6} = \frac{12 + 5}{6} = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$

উত্তর: $\mathbf{2\frac{5}{6}}$ বা $\mathbf{\frac{17}{6}}$

৪. সাধারণ ভুল ও ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ মারাত্মক ভুল: 'এর' থাকার পরেও আগে ভাগ করে ফেলা
উপরের প্রশ্নে অনেকে $\frac{3}{4} \div \frac{9}{16}$ আগে করে ফেলে। কিন্তু মনে রাখবেন, VBODMAS-এ "O" (Of / এর) সবসময় "D" (Division)-এর আগে সম্পাদিত হয়!

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

রান্নার রেসিপি পরিমাপ (যেমন আধা কাপ ময়দার এক-তৃতীয়াংশ), ফার্মাসিউটিক্যালস ড্রাগ ডোজেজ এবং স্থাপত্যের নকশা তৈরির স্কেলে ভগ্নাংশের এই নিয়ম প্রতিনিয়ত কাজে লাগে।

৩. গ.সা.গু ও ল.সা.গু-এর সম্পর্ক এবং ভগ্নাংশের প্রয়োগ (HCF & LCM)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

তিনটি মন্দিরের ঘণ্টা যথাক্রমে ১২ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড ও ১৮ সেকেন্ড অন্তর বাজে। তারা একসাথে বাজার পর আবার কতক্ষণ পর পুনরায় একসাথে বাজবে? এটি হলো লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)-এর সমস্যা, যা একাধিক চক্রাকার ঘটনার প্রথম মিলনবিন্দু নির্ধারণ করে।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও সোনালী সূত্রাবলী (The Formal Concept & Structure)

দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার মৌলিক সম্পর্ক:

$$\mathbf{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল} = \text{সংখ্যা দুটির গ.সা.গু} \times \text{সংখ্যা দুটির ল.সা.গু}}$$

অর্থাৎ, একটি সংখ্যা জানা থাকলে অন্য সংখ্যাটি:
$$\text{অপর সংখ্যাটি} = \frac{\text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}}{\text{নির্দিষ্ট সংখ্যাটি}}$$

ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয়ের সার্বজনীন সূত্র:

$$\text{ভগ্নাংশগুলির ল.সা.গু} = \frac{\text{লবগুলির ল.সা.গু}}{\text{হরগুলির গ.সা.গু}}$$

$$\text{ভগ্নাংশগুলির গ.সা.গু} = \frac{\text{লবগুলির গ.সা.গু}}{\text{হরগুলির ল.সা.গু}}$$

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: $\frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{16}{81}$ এর ল.সা.গু এবং গ.সা.গু নির্ণয় করো।

• লবগুলির ($2, 8, 16$) ল.সা.গু $= 16$; লবগুলির গ.সা.গু $= 2$

• হরগুলির ($3, 9, 81$) ল.সা.গু $= 81$; হরগুলির গ.সা.গু $= 3$

অতএব, ভগ্নাংশগুলির ল.সা.গু $= \frac{\text{লবগুলির ল.সা.গু}}{\text{হরগুলির গ.সা.গু}} = \frac{16}{3} = \mathbf{5\frac{1}{3}}$

এবং, ভগ্নাংশগুলির গ.সা.গু $= \frac{\text{লবগুলির গ.সা.গু}}{\text{হরগুলির ল.সা.গু}} = \mathbf{\frac{2}{81}}$

৪. সাধারণ ভুল ও ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ তিন সংখ্যার ক্ষেত্রে সূত্র প্রয়োগের ভুল
$\text{তিনটি সংখ্যার গুণফল} \neq \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}$। এই সূত্রটি কেবলমাত্র দুটি সংখ্যার জন্য কঠোরভাবে প্রযোজ্য! তিনটি সংখ্যার ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য নয়।

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

ট্রাফিক সিগন্যালের সময় মেলানো, মেকানিকাল ইঞ্জিনের গিয়ার দাঁত চক্রাকারে সমন্বয় করা এবং কারখানায় সমমাপের বাক্সে পণ্য প্যাকিংয়ে ল.সা.গু ও গ.সা.গু ব্যবহৃত হয়।

৪. ঐকিক নিয়ম: সরল সমানুপাত বনাম ব্যস্ত সমানুপাত (The Unitary Method)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

ঐকিক কথার অর্থ হলো "একক সংক্রান্ত"। কিন্তু বাস্তব জীবনে সব সম্পর্ক একরকম নয়। বেশি কলম কিনলে বেশি দাম দিতে হয় (সরল সম্পর্ক)। কিন্তু একটি বাড়ি তৈরি করতে বেশি শ্রমিক লাগালে সময় কম লাগে (ব্যস্ত সম্পর্ক)! এই পার্থক্য না বুঝলে যেকোনো হিসাব ভুল হতে বাধ্য।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও দুই প্রকার সম্পর্ক (The Formal Structure)

বৈশিষ্ট্য	সরল সমানুপাতিক সম্পর্ক (Direct)	ব্যস্ত সমানুপাতিক সম্পর্ক (Inverse)
সংজ্ঞা	একটি রাশি বাড়লে অপর রাশিও সমানুপাতে বাড়ে	একটি রাশি বাড়লে অপর রাশি সমানুপাতে কমে
বাস্তব উদাহরণ	পণ্য সংখ্যা ও মোট মূল্য; সময় ও অতিক্রান্ত দূরত্ব	শ্রমিক সংখ্যা ও দিন সংখ্যা; গতিবেগ ও সময়
এককের নিয়ম	১টির মান পেতে ভাগ করতে হয়	১টির মান পেতে গুণ করতে হয়

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: একটি সেনানিবাসে ১২০ জন সৈন্যের ৩০ দিনের খাদ্য মজুত ছিল। ১০ দিন পর ৩০ জন সৈন্য অন্যত্র চলে গেল। অবশিষ্ট খাদ্য বাকি সৈন্যদের কত দিন চলবে?

ধাপ ১ (অবশিষ্ট সময় ও সৈন্য নির্ধারণ):
বাকি দিন $= 30 - 10 = 20$ দিন।
বাকি সৈন্য সংখ্যা $= 120 - 30 = 90$ জন।

ধাপ ২ (ঐকিক নিয়মে হিসাব):
১২০ জন সৈন্যের খাবার চলে $= 20$ দিন।
১ জন সৈন্যের ঐ খাবার চলবে $= 20 \times 120$ দিন (সৈন্য কমলে দিন বেশি লাগবে → ব্যস্ত সম্পর্ক)।
অতএব, ৯০ জন সৈন্যের খাবার চলবে $= \frac{20 \times 120}{90} = \frac{2400}{90} = \mathbf{26\frac{2}{3}\text{ দিন}}$।

উত্তর: বাকি খাদ্য আর $26\frac{2}{3}$ দিন চলবে।

৪. সাধারণ ভুল ও ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ অন্ধভাবে ভাগের ভুল:
অনেকে ব্যস্ত সম্পর্কের বেলাতেও ১ জন সৈন্যের হিসাব করতে $\frac{20}{120}$ করে ফেলে। মনে রাখবেন: ১ জনের সময় বের করতে সর্বদা গুণ হবে, কারণ ১ জনের খাবার শেষ করতে অনেক বেশি দিন লাগবে!

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

বিল্ডিং নির্মাণ প্রকল্পের সময়সীমা ও বাজেট নির্ধারণ, গাড়ির গতি ও গন্তব্যে পৌঁছানোর সময় অনুমান এবং খাদ্য বণ্টনে ঐকিক নিয়ম অপরিহার্য।

৫. প্রাথমিক পরিমিতি ও কোণ সংক্রান্ত ধারণা (Perimeter, Area & Angles)

১. মূল ধারণা ও স্বজ্ঞামূলক উপলব্ধি (The Intuition)

পরিসীমা এবং ক্ষেত্রফলের মধ্যে পার্থক্য কী? একটি মাঠের চারদিকে তারের বেড়া দেওয়া হলো পরিসীমা (Perimeter) যা একমাত্রিক দৈর্ঘ্য। আর মাঠের ভেতরে সবুজ ঘাস বিছানো হলো ক্ষেত্রফল (Area) যা দ্বিমাত্রিক তলীয় পরিমাপ।

২. আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব ও সূত্রাবলী (The Formal Structure)

আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের পরিমিতি সূত্র:

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$ একক; ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$ বর্গ একক।
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা $= 4 \times \text{একটি বাহুর দৈর্ঘ্য}$ একক; ক্ষেত্রফল $= (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2$ বর্গ একক।

কোণ সংক্রান্ত গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা:

পূরক কোণ (Complementary Angles): দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল $90^\circ$ হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। ($\angle A + \angle B = 90^\circ$)
সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles): দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল $180^\circ$ হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। ($\angle A + \angle B = 180^\circ$)

৩. ধাপে ধাপে সমাধানকৃত উদাহরণ (Concrete Worked Example)

উদাহরণ: একটি আয়তাকার মেঝের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার। মেঝেটিতে প্রতি বর্গমিটারে ₹৪৫ হিসেবে টালি বসাতে এবং চারপাশে প্রতি মিটারে ₹১৫ হিসেবে বেড়া দিতে মোট কত খরচ হবে?

• মেঝের ক্ষেত্রফল $= 12 \times 8 = 96\text{ বর্গমিটার}$

• টালি বসানোর মোট খরচ $= 96 \times 45 = \mathbf{₹4,320}$

• মেঝের পরিসীমা $= 2(12 + 8) = 2 \times 20 = 40\text{ মিটার}$

• বেড়া দেওয়ার খরচ $= 40 \times 15 = \mathbf{₹600}$

মোট খরচ: ₹$4,320 + 600 = \mathbf{₹4,920}$

৪. সাধারণ ভুল ও ফাঁদ (Pitfall & Examiner Trap)

⚠️ এককের গোলমাল:
পরিসীমার একক হলো সাধারণ একক (যেমন: মিটার, সেমি), কিন্তু ক্ষেত্রফলের একক সর্বদা বর্গ একক (যেমন: বর্গমিটার, বর্গসেমি)। পরীক্ষায় এই এককের ভুলের জন্য নম্বর কাটা যায়!

৫. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ (Why This Matters in Life)

ঘরের মেঝেতে টাইলস বা কার্পেট বসানো, জমিতে পাঁচিল নির্মাণ এবং জানালার পর্দার মাপ তৈরিতে পরিমিতির এই সূত্র সরাসরি ব্যবহৃত হয়।

গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সূত্র, অভেদ ও উপপাদ্য

VBODMAS প্রক্রিয়া ক্রম

রেখা বার → বন্ধনী → এর → ভাগ → গুণ → যোগ → বিয়োগ

সরলীকরণের সর্বজনীন আন্তর্জাতিক নিয়ম

দুটি সংখ্যার গুণফল

প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু × ল.সা.গু

কেবলমাত্র দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য

ভগ্নাংশের ল.সা.গু

{লবগুলির ল.সা.গু}{হরগুলির গ.সা.গু}

ভগ্নাংশ ল.সা.গু নির্ণয় সূত্র

ভগ্নাংশের গ.সা.গু

{লবগুলির গ.সা.গু}{হরগুলির ল.সা.গু}

ভগ্নাংশ গ.সা.গু নির্ণয় সূত্র

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা

ক্ষেত্রফল = l × b, পরিসীমা = 2(l + b)

l = দৈর্ঘ্য, b = প্রস্থ

পূরক ও সম্পূরক কোণ

A + B = 90^ (পূরক), A + B = 180^ (সম্পূরক)

দুটি কোণের পারস্পরিক জ্যামিতিক সম্পর্ক

সমাধানকৃত উদাহরণ ও প্রয়োগ (Solved Examples)

উদাহরণ 1

সরল করো: $16 \div [4 + \{8 - (6 - \overline{4 - 2})\}]$

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

ধাপ ১ (রেখা বন্ধনী): $\overline{4 - 2} = 2$
রাশিটি দাঁড়ায়: $16 \div [4 + \{8 - (6 - 2)\}]$
ধাপ ২ (প্রথম বন্ধনী): $6 - 2 = 4$
রাশিটি দাঁড়ায়: $16 \div [4 + \{8 - 4\}]$
ধাপ ৩ (দ্বিতীয় বন্ধনী): $8 - 4 = 4$
রাশিটি দাঁড়ায়: $16 \div [4 + 4]$
ধাপ ৪ (তৃতীয় বন্ধনী): $4 + 4 = 8$
ধাপ ৫ (চূড়ান্ত ভাগ): $16 \div 8 = 2$
উত্তর: $\mathbf{2}$

উদাহরণ 2

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু $8$ এবং ল.সা.গু $280$। একটি সংখ্যা $56$ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

আমরা জানি, $\text{সংখ্যা দুটির গুণফল} = \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}$
অতএব, $\text{অপর সংখ্যাটি} = \frac{\text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{8 \times 280}{56} = \frac{2240}{56} = 40$
উত্তর: অপর সংখ্যাটি হলো $\mathbf{40}$।

উদাহরণ 3

একটি নির্দিষ্ট কোণের পরিমাপ $40^\circ$। কোণটির পূরক কোণ এবং সম্পূরক কোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

আমরা জানি, দুটি পূরক কোণের যোগফল $90^\circ$ এবং দুটি সম্পূরক কোণের যোগফল $180^\circ$।
• $40^\circ$-এর পূরক কোণ $= 90^\circ - 40^\circ = \mathbf{50^\circ}$
• $40^\circ$-এর সম্পূরক কোণ $= 180^\circ - 40^\circ = \mathbf{140^\circ}$
উত্তর: পূরক কোণ $50^\circ$ এবং সম্পূরক কোণ $140^\circ$।

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সতর্কতা (Common Traps)

সাধারণ ভুল ধারণা

রেখা বন্ধনী সমাধানের সময় সামনের চিহ্নের ভুল ব্যাখ্যা করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

রেখা বন্ধনীর ভিতরের মানটি প্রথমে স্বতন্ত্রভাবে সমাধান করতে হবে, তারপর বাইরের চিহ্নের সঙ্গে যুক্ত করতে হবে।

সাধারণ ভুল ধারণা

'এর' এবং ভাগের মধ্যে আগে ভাগ সম্পন্ন করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

VBODMAS নিয়মে 'O' (Of / এর)-এর অগ্রাধিকার ভাগ (Division)-এর আগে থাকে।

সাধারণ ভুল ধারণা

তিনটি সংখ্যার ক্ষেত্রে $\text{গুণফল} = \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}$ প্রয়োগ করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

এই সূত্রটি কঠোরভাবে কেবল দুটি সংখ্যার জন্যই সত্য; তিনটি সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

সাধারণ ভুল ধারণা

পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলের এককে ভুল করা।

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

পরিসীমার একক একমাত্রিক (মিটার/সেমি) এবং ক্ষেত্রফলের একক দ্বিমাত্রিক (বর্গমিটার/বর্গসেমি)।

চিত্রগত ব্যাখ্যা ও মডেল

WBBSE গণিত প্রভা: সরলীকরণের VBODMAS অগ্রাধিকার নির্দেশক

সর্বদা বাম থেকে ডানে কঠোরভাবে এই অগ্রাধিকার স্তর অনুযায়ী রাশিমালা সমাধান করো

১. V

রেখা বার $\overline{x}$

সর্বাগ্রে সমাধান

২. B

বন্ধনী $( ) \{ \} [ ]$

ভিতর থেকে বাহিরে

৩. O

'এর' (Of)

চিহ্নের পূর্বে গুণ

৪. D

ভাগ $\div$

বাম থেকে ডানে

৫. M

গুণ $\times$

ভাগের সমমর্যাদা

৬. A

যোগ $+$

বিয়োগের সমমর্যাদা

৭. S

বিয়োগ $-$

সর্বশেষ ধাপ

অধ্যায় সারসংক্ষেপ ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

মূল বিষয় 1

VBODMAS অগ্রাধিকার: সরলীকরণের সঠিক ক্রম হলো রেখা বার $\rightarrow$ বন্ধনী $\rightarrow$ এর $\rightarrow$ ভাগ $\rightarrow$ গুণ $\rightarrow$ যোগ $\rightarrow$ বিয়োগ।

মূল বিষয় 2

ভগ্নাংশের ভাগ: ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার অর্থ হলো দ্বিতীয় ভগ্নাংশের অন্যোন্যক (উল্টো মান) দিয়ে প্রথমটিকে গুণ করা।

মূল বিষয় 3

সোনালী সম্পর্ক: যেকোনো দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য $\text{প্রথম সংখ্যা} \times \text{দ্বিতীয় সংখ্যা} = \text{গ.সা.গু} \times \text{ল.সা.গু}$।

মূল বিষয় 4

ভগ্নাংশের ল.সা.গু/গ.সা.গু: $\text{ল.সা.গু} = \frac{\text{লবগুলির ল.সা.গু}}{\text{হরগুলির গ.সা.গু}}$ এবং $\text{গ.সা.গু} = \frac{\text{লবগুলির গ.সা.গু}}{\text{হরগুলির ল.সা.গু}}$।

মূল বিষয় 5

সরল সমানুপাত: একটি রাশি বাড়লে অন্যটি সমহারে বাড়লে ১টি এককের মান পেতে ভাগ করতে হয়।

মূল বিষয় 6

ব্যস্ত সমানুপাত: একটি রাশি বাড়লে অন্যটি সমহারে কমলে ১টি এককের মান পেতে গুণ করতে হয়।

মূল বিষয় 7

কোণের সম্পর্ক: পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি $90^\circ$ এবং সম্পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$।

স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন (Check Your Understanding)

মূল ধারণাগত স্পষ্টতা যাচাই করার জন্য অনুশীলন প্রশ্ন। উত্তর দেখার আগে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো।

সরল করো: $20 - [5 + \{10 - (8 - \overline{5 - 2})\}]$

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $20 - [5 + \{10 - (8 - 3)\}] = 20 - [5 + \{10 - 5\}] = 20 - [5 + 5] = 20 - 10 = \mathbf{10}$
সবার আগে রেখা বন্ধনী $\overline{5 - 2} = 3$ সমাধান করো, তারপর যথাক্রমে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বন্ধনী খোলো।

$\frac{3}{5}, \frac{6}{25}, \frac{9}{10}$ ভগ্নাংশ তিনটির গ.সা.গু নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $\mathbf{\frac{3}{50}}$ — লবগুলির ($3, 6, 9$) গ.সা.গু $= 3$ এবং হরগুলির ($5, 25, 10$) ল.সা.গু $= 50$। অতএব গ.সা.গু $= \frac{3}{50}$।
ভগ্নাংশের গ.সা.গু সূত্র: (লবগুলির গ.সা.গু) / (হরগুলির ল.সা.গু)।

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু $12$ এবং ল.সা.গু $144$। একটি সংখ্যা $36$ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: $\text{অপর সংখ্যাটি} = \frac{12 \times 144}{36} = \mathbf{48}$
সোনালী সূত্র প্রয়োগ করো: অপর সংখ্যা = (গ.সা.গু × ল.সা.গু) / প্রদত্ত সংখ্যা।

৮ জন লোক একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। ১০ জন লোক ওই কাজটি কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: ৮ জনের লাগে ১৫ দিন $\Rightarrow$ ১ জনের লাগে $15 \times 8 = 120$ দিন $\Rightarrow$ ১০ জনের লাগবে $\frac{120}{10} = \mathbf{12\text{ দিন}}$।
এটি ব্যস্ত সমানুপাতিক সম্পর্ক; লোক সংখ্যা বাড়লে কাজের সময় কমবে।

একটি কোণের মান $65^\circ$ হলে, এর পূরক কোণ ও সম্পূরক কোণের মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: পূরক কোণ $= 90^\circ - 65^\circ = \mathbf{25^\circ}$; সম্পূরক কোণ $= 180^\circ - 65^\circ = \mathbf{115^\circ}$।
পূরক কোণের যোগফল ৯০° এবং সম্পূরক কোণের যোগফল ১৮০°।

অধ্যায় পড়া শেষ হয়েছে?

অনুশীলন শুরু করো