পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

বাস্তব জীবনে যেকোনো পরিমাপে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি বা সূচনা বিন্দু ($0$) থাকে। সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে উপরে পাহাড়ের উচ্চতা যদি $+100\text{ m}$ হয়, তবে সমুদ্রের নিচে ডুবোজাহাজের অবস্থানকে আমরা লিখি $-100\text{ m}$। একইভাবে লাভ যদি $+₹৫০$ হয়, তবে ক্ষতি হলো $-₹৫০$। এই বিপরীত অভিমুখী মান নির্দেশ করতেই ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যার আগমন।

সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ($+1, +2, +3, ...$), শূন্য ($0$) এবং সকল ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ($-1, -2, -3, ...$) নিয়ে গঠিত সংখ্যাগোষ্ঠীকে পূর্ণসংখ্যা (Integers, প্রতীক $\mathbb{Z}$) বলে।

$$\mathbb{Z} = \{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...\}$$

• শূন্য ($0$): শূন্য ধনাত্মকও নয়, ঋণাত্মকও নয়; এটি হলো সংখ্যা অক্ষের নিরপেক্ষ মূলবিন্দু।
• সংখ্যারেখার নিয়ম: সংখ্যারেখায় যেকোনো সংখ্যার ডানদিকের সংখ্যাটি সর্বদা বৃহত্তর এবং বাঁদিকের সংখ্যাটি সর্বদা ক্ষুদ্রতর। অতএব: $-10 < -2 < 0 < +3$।
• পরম মান (Absolute Value): সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু ($0$) থেকে কোনো সংখ্যার প্রকৃত জ্যামিতিক দূরত্বকে তার পরম মান বলে। দূরত্ব কখনও ঋণাত্মক হয় না, তাই পরম মান সর্বদা অঋণাত্মক। একে $|x|$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সংখ্যারেখায় হাঁটার কথা ভাবুন: যোগ করার অর্থ হলো সেই দিকে এগিয়ে যাওয়া, আর বিয়োগ করার অর্থ হলো উল্টো দিকে ফিরে যাওয়া। যদি আপনি কাউকে বলেন "পিছিয়ে যেও না", তবে আপনি তাকে কার্যত এগিয়ে যেতে বলছেন! গণিতেও ঠিক তাই: কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগ করার অর্থ হলো ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করা ($a - (-b) = a + b$)।

বিপরীত সংখ্যা (Additive Inverse): দুটি সংখ্যার যোগফল শূন্য ($0$) হলে, সংখ্যা দুটিকে পরস্পরের বিপরীত বা যোগের বিপরীত সংখ্যা বলে। $a$ এর বিপরীত সংখ্যা হলো $-a$, কারণ $a + (-a) = 0$।

পূর্ণসংখ্যার যোগের নিয়মাবলী:

• সমচিহ্নযুক্ত দুটি সংখ্যা যোগ: তাদের পরম মান যোগ করতে হবে এবং সাধারণ চিহ্নটি বসাতে হবে:
  $(+8) + (+5) = +(8 + 5) = +13$
  $(-8) + (-5) = -(8 + 5) = -13$
• বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি সংখ্যা যোগ: বড় পরম মান থেকে ছোট পরম মান বিয়োগ করতে হবে এবং বড় পরম মানের চিহ্নটি ফলাফলের আগে বসাতে হবে:
  $(+12) + (-7) = +(12 - 7) = +5$
  $(-15) + (+6) = -(15 - 6) = -9$

পূর্ণসংখ্যার বিয়োগের সোনালী নীতি:

গুণ হলো মূলত একই সংখ্যার বারবার যোগ। যেমন: $3 \times (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15$। কিন্তু $(-3) \times (-5) = +15$ কেন? বীজগণিতের বিচ্ছেদ নিয়ম অক্ষুণ্ণ রাখতে: $(-3) \times [5 + (-5)] = (-3) \times 0 = 0$। বিস্তার করলে: $(-3) \times 5 + (-3) \times (-5) = 0 \implies -15 + [(-3) \times (-5)] = 0$। $-15$-এর সাথে কী যোগ করলে $0$ হয়? অবশ্যই $+15$! তাই দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল সর্বদা ধনাত্মক হতে বাধ্য।

ভাগ হলো গুণের বিপরীত প্রক্রিয়া। যদি $(-24) \div (-6) = x$ হয়, তবে এর অর্থ হলো $-6$-এর সাথে কত গুণ করলে $-24$ হবে? আমরা জানি $(-6) \times (+4) = -24$, সুতরাং $x = +4$। গুণের চিহ্নের নিয়ম হুবহু ভাগের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য!

পূর্ণসংখ্যার ভাগের চিহ্নের নিয়ম:

• $(+a) \div (+b) = +(a \div b)$ এবং $(-a) \div (-b) = +(a \div b)$ (সমচিহ্নে ভাগফল ধনাত্মক)।
• $(+a) \div (-b) = -(a \div b)$ এবং $(-a) \div (+b) = -(a \div b)$ (বিপরীত চিহ্নে ভাগফল ঋণাত্মক)।

বদ্ধতা ধর্মের ব্যতিক্রম: যোগ, বিয়োগ ও গুণের ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যা বদ্ধ (Closed) হলেও ভাগের ক্ষেত্রে বদ্ধ নয়। কারণ দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল সর্বদা পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে (যেমন: $(-7) \div 2 = -3.5$, যা পূর্ণসংখ্যা নয়)।

যদি আপনাকে বলা হয় $(-45) \times 99$ মান মুখে মুখে বের করতে, আপনি কীভাবে করবেন? বড় গুণের বদলে আপনি লিখতে পারেন: $(-45) \times (100 - 1) = (-45 \times 100) - (-45 \times 1) = -4500 - (-45) = -4500 + 45 = -4455$! এটিই হলো বিচ্ছেদ নিয়ম (Distributive Law)-এর অসামান্য শক্তি।

পূর্ণসংখ্যার মৌলিক বীজগাণিতিক ধর্মসমূহ:

• বিনিময় নিয়ম (Commutative Property):
  যোগ: $a + b = b + a$
  গুণ: $a \times b = b \times a$
  (বিয়োগ ও ভাগে বিনিময় নিয়ম প্রযোজ্য নয়: $a - b \ne b - a$)
• সংযোগ নিয়ম (Associative Property):
  যোগ: $(a + b) + c = a + (b + c)$
  গুণ: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• যোগের অভেদক (Additive Identity): $a + 0 = 0 + a = a$ ($0$ হলো যোগের অভেদ)।
• গুণের অভেদক (Multiplicative Identity): $a \times 1 = 1 \times a = a$ ($1$ হলো গুণের অভেদ)।
• বিচ্ছেদ নিয়ম (Distributive Law):
  যোগের ওপর গুণের বিচ্ছেদ: $\mathbf{a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)}$
  বিয়োগের ওপর গুণের বিচ্ছেদ: $\mathbf{a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)}$