প্রতিসাম্য

যদি কোনো চিত্রকে একটি সরলরেখা বরাবর ভাঁজ করলে তার এক পাশ অপর পাশের সাথে পুরোপুরি মিলে যায়, তবে চিত্রটিকে রৈখিক প্রতিসম চিত্র এবং ভাঁজের রেখাটিকে প্রতিসাম্য অক্ষ (Line/Axis of Symmetry) বলা হয়।

প্রতিসাম্য অক্ষের উপর একটি সমতল দর্পণ রাখলে চিত্রের এক পাশের প্রতিবিম্ব অপর পাশের সাথে সম্পূর্ণ সমাপতিত হয়। তাই একে দর্পণ প্রতিসাম্যও বলে।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অসমান বাহুর উপর শীর্ষবিন্দু থেকে লম্ব টানলে সেই মধ্যরেখা বরাবর ভাঁজ করলে ত্রিভুজটির দুটি অর্ধাংশ হুবহু মিলে যায় (১টি প্রতিসাম্য অক্ষ)।

বিষমবাহু ত্রিভুজের কোনো প্রতিসাম্য অক্ষ থাকে না (অক্ষ সংখ্যা = ০)।

মানবদেহ ও প্রকৃতি: মানুষের মুখমণ্ডল, প্রজাপতি এবং গাছের পাতার কেন্দ্রীয় শিরা এই রৈখিক প্রতিসাম্যের নিখুঁত নিদর্শন।

• বিষমবাহু ত্রিভুজ: ০টি• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ: ১টি• সমবাহু ত্রিভুজ: ৩টি (প্রতিটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক বা মধ্যমা)।

• আয়তক্ষেত্র: ২টি (বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা)• রম্বস: ২টি (কর্ণদ্বয়)• বর্গক্ষেত্র: ৪টি (২টি বাহু মধ্যরেখা + ২টি কর্ণ)• সামান্তরিক: ০টি• সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম: ১টি।

$n$-বাহুবিশিষ্ট যে কোনো সুষম বহুভুজের ঠিক $n$-টি প্রতিসাম্য অক্ষ থাকে (যেমন সুষম পঞ্চভুজ = ৫টি, সুষম ষড়ভুজ = ৬টি)। বৃত্তের কেন্দ্রগামী যে কোনো রেখাই অক্ষ, তাই বৃত্তে অসীম সংখ্যক প্রতিসাম্য অক্ষ বিদ্যমান।

আয়তক্ষেত্রকে কর্ণের সাপেক্ষে ভাঁজ করে দেখবেন, অংশ দুটি কখনোই মেলে না! তাই আয়তক্ষেত্রের কর্ণ প্রতিসাম্য অক্ষ নয়।

মেঝের মোজাইক: বর্গাকার ও ষড়ভুজাকার টালির প্রতিসাম্যের কারণে মেঝেতে কোনো ফাঁক ছাড়াই সম্পূর্ণ তল ভরাট করা যায়।

একটি নির্দিষ্ট স্থির বিন্দুকে কেন্দ্র করে কোনো চিত্রকে ঘোরালে যদি $৩৬০^\circ$-র কম কোণে চিত্রটি হুবহু তার আদি রূপ ফিরে পায়, তবে চিত্রটির ঘূর্ণন প্রতিসাম্য আছে।
• নির্দিষ্ট বিন্দুটি হলো ঘূর্ণন কেন্দ্র (Centre of Rotation)।
• ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ঘূর্ণন কোণ (Angle of Rotation)।

$$\text{ঘূর্ণন মাত্রা (Order)} = \frac{360^\circ}{\text{ঘূর্ণন কোণ}}$$ একটি পূর্ণ ঘূর্ণনে ($৩৬০^\circ$) চিত্রটি যতবার আদি রূপের সাথে সমাপতিত হয়, সেটাই তার মাত্রা।

• সমবাহু ত্রিভুজ: কোণ ১২০°, মাত্রা ৩• বর্গক্ষেত্র: কোণ ৯০°, মাত্রা ৪• আয়তক্ষেত্র: কোণ ১৮০°, মাত্রা ২• রম্বস: কোণ ১৮০°, মাত্রা ২• সামান্তরিক: কোণ ১৮০°, মাত্রা ২।

যদি কোনো চিত্র কেবল ৩৬০° ঘুরলেই নিজের সাথে মেলে এবং এর আগে কখনো না মেলে, তবে তার ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা ১ বলা হয়, কিন্তু গণিতে তাকে "ঘূর্ণন প্রতিসাম্যহীন" হিসেবে গণ্য করা হয়।

মোটরগাড়ির চাকা ও গিয়ার: ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কারণেই চাকা ও গিয়ার মসৃণভাবে ঘোরে এবং ঝাঁকুনি প্রতিরোধ করে।

কিছু চিত্রের রৈখিক অক্ষও রয়েছে এবং ঘূর্ণন মাত্রাও একের বেশি। যেমন: সমবাহু ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, রম্বস ও বৃত্ত।

• বর্গক্ষেত্র: রৈখিক অক্ষ = ৪, ঘূর্ণন মাত্রা = ৪• আয়তক্ষেত্র: রৈখিক অক্ষ = ২, ঘূর্ণন মাত্রা = ২• সামান্তরিক: রৈখিক অক্ষ = ০, ঘূর্ণন মাত্রা = ২• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ: রৈখিক অক্ষ = ১, ঘূর্ণন মাত্রা = ১ (ঘূর্ণন প্রতিসাম্য নেই)।

• H, I, O, X: ২টি রৈখিক অক্ষ + মাত্রা ২ ঘূর্ণন প্রতিসাম্য।
• S, N, Z: ০টি রৈখিক অক্ষ + মাত্রা ২ ঘূর্ণন প্রতিসাম্য।

ইংরেজি বর্ণ S-কে আয়নায় দেখলে উল্টো দেখায়, কিন্তু ১৮০° ঘোরালে একই থাকে। এটিকে শিক্ষার্থীরা প্রায়ই রৈখিক প্রতিসম ভেবে ভুল করে।

ব্র্যান্ড লোগো: মার্সিডিজ-বেঞ্জ, অডি ও অলিম্পিক বলয়ের লোগো এই দ্বৈত প্রতিসাম্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি।

১. নির্দিষ্ট চিত্রের প্রতিসাম্য অক্ষ এঁকে দেখানো।
২. ঘূর্ণন কোণ থেকে ঘূর্ণন মাত্রা নির্ণয় করা।
৩. এমন একটি চিত্রের নাম লিখতে বলা যার ঘূর্ণন প্রতিসাম্য আছে কিন্তু রৈখিক প্রতিসাম্য নেই (উত্তর: সামান্তরিক)।

প্রতিসাম্য অক্ষ আঁকার সময় ড্যাশ রেখা (---) ব্যবহার করুন এবং ঘূর্ণন কোণ লেখার সময় ডিগ্রি ($^\circ$) চিহ্ন দিতে ভুলবেন না।

একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের রৈখিক অক্ষ ১টি (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখা), কিন্তু এর কোনো ঘূর্ণন প্রতিসাম্য নেই।

ঘূর্ণন মাত্রা সর্বদা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ($২, ৩, ৪, \dots$) হবে। এটি কখনো ভগ্নাংশ হতে পারে না।

গ্রুপ থিওরি ও কোয়ান্টাম ফিজিক্স: প্রতিসাম্য আধুনিক পদার্থবিদ্যার কণা বিজ্ঞানের মূল ভিত্তি।