মহাকর্ষ

জ্যোতির্বিজ্ঞানী টাইকো ব্রাহের পর্যবেক্ষণমূলক তথ্যের ভিত্তিতে জোহানেস কেপলার গ্রহগুলির গতির তিনটি মৌলিক সূত্র প্রণয়ন করেন:

1. প্রথম সূত্র (কক্ষপথের সূত্র - Law of Orbits): প্রতিটি গ্রহ সূর্যকে একটি নাভিতে (ফোকাসে) রেখে উপবৃত্তাকার কক্ষপথে প্রদক্ষিণ করে।

   উপবৃত্তের পরাক্ষ $2a$, উপাক্ষ $2b$ এবং উৎকেন্দ্রতা $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$ ($0 \le e < 1$)। সূর্যের নিকটতম অবস্থানকে অনুসূর (Perihelion) বলে, যার দূরত্ব $r_p = a(1 - e)$; এবং দূরতম অবস্থানকে অপসূর (Aphelion) বলে, যার দূরত্ব $r_a = a(1 + e)$।

2. দ্বিতীয় সূত্র (ক্ষেত্রফলের সূত্র - Law of Areas): সূর্য ও গ্রহের সংযোগকারী ব্যাসার্ধ ভেক্টর সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। অর্থাৎ, গ্রহের ক্ষেত্রীয় বেগ (Areal Velocity) সর্বদা ধ্রুবক থাকে:$$\frac{dA}{dt} = \text{ধ্রুবক}$$
   কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণের সাহায্যে প্রমাণ: সূর্যের সাপেক্ষে $m$ ভরের কোনো গ্রহের অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}$ এবং বেগ $\vec{v}$ হলে $dt$ সময়ে অতিক্রান্ত ক্ষেত্রফল $dA = \frac{1}{2}|\vec{r} \times d\vec{r}| = \frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{v}|\,dt$। সুতরাং ক্ষেত্রীয় বেগ:$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{v}| = \frac{|\vec{r} \times m\vec{v}|}{2m} = \frac{L}{2m}$$যেহেতু সূর্যের মহাকর্ষীয় বল একটি কেন্দ্রীয় বল (যা সর্বদা অবস্থান ভেক্টর বরাবর ক্রিয়াশীল), তাই সূর্যের সাপেক্ষে টর্কের মান শূন্য: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g = 0$। ফলে কৌণিক ভরবেগ $\vec{L}$ সংরক্ষিত থাকে এবং $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{ধ্রুবক}$ প্রমাণিত হয়।

   এর প্রত্যক্ষ ফল হলো গ্রহটি যখন সূর্যের সবচেয়ে কাছে (অনুসূরে) থাকে তখন তার দ্রুতি সর্বাধিক এবং অপসূরে সর্বনিম্ন হয় ($v_p r_p = v_a r_a$)।

3. তৃতীয় সূত্র (আবর্তনকালের সূত্র - Law of Periods): সূর্যের চারদিকে যেকোনো গ্রহের আবর্তনকালের ($T$) বর্গ তার উপবৃত্তাকার কক্ষপথের পরাক্ষের অর্ধাংশের ($a$) ঘনফলের সমানুপাতিক:$$T^2 \propto a^3 \implies \frac{T^2}{a^3} = \text{ধ্রুবক}$$

$M_s$ ভরের সূর্যের চারদিকে $r$ ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার কক্ষপথে $m$ ভরের একটি গ্রহ $v$ দ্রুতি ও $T$ পর্যায়কালে আবর্তন করলে প্রয়োজনীয় অভিকেন্দ্র বল:

কেপলারের তৃতীয় সূত্রানুসারে $T^2 = k r^3$ বসিয়ে পাই:

নিউটনের তৃতীয় গতিসূত্রানুসারে এই আকর্ষণ বল সূর্যের ভর $M_s$-এর ওপরও সমভাবে সমানুপাতিক হতে হবে, যা সার্বজনীন মহাকর্ষ সূত্রের জন্ম দেয়: $F = G\frac{M_s m}{r^2}$।

মহাবিশ্বের প্রতিটি বস্তু বা কণা অপর যেকোনো কণিকাকে নিজের কেন্দ্রের দিকে আকর্ষণ করে। এই আকর্ষণ বলের মান কণাদ্বয়ের ভরের গুণফলের সমানুপাতিক এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক:

ভেক্টর রূপ: $m_2$ কণার সাপেক্ষে $m_1$ কণার অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}_{12}$ হলে $m_1$-এর ওপর প্রযুক্ত আকর্ষণ বল:

অনুরূপভাবে, $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$। এটি ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া জোড়া গঠন করে এবং নিউটনের তৃতীয় গতিসূত্র সম্পূর্ণভাবে মেনে চলে।

মহাকর্ষীয় বলের অপরিহার্য বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• এটি সর্বদা পারস্পরিক আকর্ষণধর্মী।
• এটি একটি কেন্দ্রীয় বল (কণাদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা বরাবর ক্রিয়া করে)।
• এটি সংরক্ষণশীল বল (যেকোনো বদ্ধ পথে কৃতকার্য শূন্য: $\oint \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$)।
• এটি মধ্যবর্তী মাধ্যমের প্রকৃতির ওপর সম্পূর্ণ স্বাধীন।
• এটি উপরিবাতন নীতি (Superposition Principle) মেনে চলে: $\vec{F}_{\text{net}} = \sum_{i=2}^N \vec{F}_{1i}$।

একক দূরত্বের ব্যবধানে অবস্থিত দুটি একক ভরের কণার পারস্পরিক মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বলের সাংখ্যমানকে সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক বলে।

• SI মান: $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 = 6.6743 \times 10^{-11}\,\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$
• CGS মান: $6.6743 \times 10^{-8}\,\text{dyn}\cdot\text{cm}^2/\text{g}^2$
• মাত্রীয় সংকেত: $[G] = \frac{[F][r^2]}{[m^2]} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$

১৭৯৮ সালে বিজ্ঞানী হেনরি ক্যাভেন্ডিশ সংবেদনশীল টরশন ব্যালেন্সের সাহায্যে সর্বপ্রথম $G$-এর পরীক্ষামূলক মান নির্ণয় করেন।

জড় ভর ($m_i$): বাহ্যিক বল প্রয়োগে বস্তুর ত্বরণ প্রতিরোধ করার ক্ষমতার পরিমাপ ($F = m_i a$)। ভারবাহী ভর ($m_g$): মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে বস্তুর ওপর প্রযুক্ত মহাকর্ষ বলের পরিমাপ ($F_g = G\frac{M m_g}{r^2}$)।

আইনস্টাইনের সমতুল্যতার নীতি (Principle of Equivalence) অনুসারে যে কোনো বস্তুর জড় ভর ও ভারবাহী ভর সর্বদা পরস্পর সমান ($m_i = m_g$)। এই কারণেই অভিকর্ষের প্রভাবে পতনের সময় সমস্ত বস্তু একই ত্বরণে নিচে নামে, যা বস্তুর নিজস্ব ভরের ওপর একেবারেই নির্ভর করে না।

$M$ ভর ও $R$ ব্যাসার্ধের পৃথিবীর পৃষ্ঠে অবস্থিত $m$ ভরের কোনো বস্তুর ওপর কার্যকর মহাকর্ষ বলই তার ওজন:

পৃথিবীর গড় ঘনত্ব $\rho$ হলে $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ বসিয়ে পাই:

ভূ-পৃষ্ঠে এর প্রমাণ মান ধরা হয় $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2 = 980\,\text{cm/s}^2$।

ভূ-পৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায় কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $r = R + h$:

যখন $h \ll R$ (কয়েকশো কিলোমিটার উচ্চতা পর্যন্ত), দ্বিপদ উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:

আনুপাতিক হ্রাস: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ এবং শতকরা হ্রাস $= \frac{2h}{R} \times 100\%$।

ভূ-পৃষ্ঠ থেকে $d$ গভীরতায় কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $(R - d)$। গাউসের মহাকর্ষীয় উপপাদ্য অনুসারে $d$ বেদযুক্ত বাইরের খোলকের কোনো মহাকর্ষীয় বল ভেতরের বিন্দুতে থাকে না; কেবল $(R - d)$ ব্যাসার্ধের অভ্যন্তরীণ গোলকটি আকর্ষণ করে:

গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্তসমূহ:

• পৃথিবীর কেন্দ্রে ($d = R$): $g_{\text{center}} = g(1 - R/R) = 0$। অর্থাৎ পৃথিবীর কেন্দ্রে কোনো বস্তুর ওজন শূন্য বা বস্তু ওজনহীন হয়।
• উচ্চতা ও গভীরতার তুলনা ($h = d$ হলে): $\Delta g_h = 2\Delta g_d$। একই ক্ষুদ্র দূরত্বের জন্য ভূ-পৃষ্ঠ থেকে উপরে উঠলে $g$-এর মান গভীরে নামার চেয়ে দ্বিগুণ হারে কমে।

পৃথিবী তার মেরু অক্ষের সাপেক্ষে $\omega \approx 7.27 \times 10^{-5}\,\text{rad/s}$ কৌণিক বেগে আবর্তন করায় $\lambda$ অক্ষাংশে অবস্থিত কোনো বস্তু $r = R\cos\lambda$ ব্যাসার্ধের বৃত্তে আবর্তন করে এবং অপকেন্দ্র বল অনুভব করে। এর ফলে কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণ হয়:

• বিষুবরেখায় ($\lambda = 0^\circ$): $g_{\text{eq}} = g - \omega^2 R$ (সর্বনিম্ন মান)।
• মেরুতে ($\lambda = 90^\circ$): $g_{\text{pole}} = g$ (সর্বাধিক মান, আহ্নিক গতির কোনো প্রভাব নেই)।
• আহ্নিক গতির জন্য বিষুব ও মেরুর পার্থক্য: $g_{\text{pole}} - g_{\text{eq}} = \omega^2 R \approx 0.034\,\text{m/s}^2$।

পৃথিবী সম্পূর্ণ গোলক নয়, বরং মেরু অঞ্চলে কিছুটা চাপা ও বিষুব অঞ্চলে স্ফীত (কমলালেবুর মতো): $R_{\text{eq}} - R_{\text{pole}} \approx 21\,\text{km}$। যেহেতু $g \propto 1/R^2$, তাই মেরু ব্যাসার্ধ কম হওয়ায় মেরুতে $g$-এর মান বিষুবের চেয়ে প্রায় $0.018\,\text{m/s}^2$ বেশি। আহ্নিক গতি ও আকৃতি উভয় মিলে মোট পার্থক্য হয় $\approx 0.052\,\text{m/s}^2$ ($g_{\text{pole}} \approx 9.83\,\text{m/s}^2$, $g_{\text{eq}} \approx 9.78\,\text{m/s}^2$)।

মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে রাখা একটি একক ধনাত্মক পরীক্ষামূলক ভর যে মহাকর্ষীয় বল অনুভব করে, তাকে ওই বিন্দুর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র প্রাবল্য বলে:

এটি একটি ভেক্টর রাশি যার দিক আকর্ষণকারী ভর $M$-এর কেন্দ্রের দিকে। একক: $\text{N/kg}$ বা $\text{m/s}^2$, মাত্রীয় সংকেত: $[LT^{-2}]$। ভূ-পৃষ্ঠে $\vec{E}_g = \vec{g}$।

অসীম দূরত্ব থেকে একটি একক ভরকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ত্বরণহীনভাবে আনতে যে পরিমাণ কার্য করতে হয়, তাকে ওই বিন্দুর মহাকর্ষীয় বিভব বলে:

মহাকর্ষীয় বিভবের বৈশিষ্ট্য:

• এটি একটি স্কেলার রাশি।
• এটি সর্বদা ঋণাত্মক হয় এবং অসীম দূরত্বে এর সর্বোচ্চ মান শূন্য ($V_\infty = 0$)। ঋণাত্মক চিহ্নের অর্থ হলো মহাকর্ষ বল আকর্ষণধর্মী এবং ক্ষেত্র নিজেই বস্তুটিকে কাছে টেনে আনতে কার্য করে।
• একক: $\text{J/kg}$, মাত্রীয় সংকেত: $[L^2T^{-2}]$।
• প্রাবল্যের সাথে সম্পর্ক: $\vec{E}_g = -\frac{dV}{dr}\hat{r}$।

অসীম দূরত্ব থেকে $m$ ভরের কোনো বস্তুকে $M$ ভরের আকর্ষণ ক্ষেত্রের মধ্যে $r$ দূরত্বে আনতে যে কার্য করতে হয়, তা সংস্থায় মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি হিসেবে সঞ্চিত থাকে:

ভূ-পৃষ্ঠে স্থিতিশক্তি $U_1 = -\frac{GMm}{R}$ এবং $h$ উচ্চতায় $U_2 = -\frac{GMm}{R + h}$।

স্থিতিশক্তির বৃদ্ধি (প্রয়োজনীয় কার্য):

$GM = gR^2$ বসিয়ে পাই:

যখন $h \ll R$, তখন $\Delta U \approx mgh$। কিন্তু উচ্চতা ব্যাসার্ধের সমান হলে ($h = R$), $\Delta U = \frac{mgh}{1 + 1} = \frac{1}{2}mgh$ হয়।

যে সর্বনিম্ন প্রারম্ভিক বেগে কোনো বস্তুকে কোনো জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক বস্তুর (যেমন পৃথিবী) পৃষ্ঠ থেকে নিক্ষেপ করলে বস্তুটি তার মহাকর্ষীয় আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে চলে যায় এবং আর কখনোই ফিরে আসে না, তাকে মুক্তিবেগ ($v_e$) বলে।

$M$ ভর ও $R$ ব্যাসার্ধের গ্রহ থেকে $m$ ভরের বস্তুকে $v_e$ বেগে নিক্ষেপ করা হলে ভূপৃষ্ঠে মোট যান্ত্রিক শক্তি:

অসীম দূরত্বে মহাকর্ষ বল শূন্য হওয়ায় স্থিতিশক্তি শূন্য ($U_f = 0$), এবং সর্বনিম্ন মুক্তির শর্তে অন্তিম গতিশক্তি শূন্য ($K_f = 0$)। যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ সূত্রানুসারে:

$GM = gR^2$ এবং $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ বসিয়ে পাই:

পৃথিবীর ক্ষেত্রে ($R = 6.4 \times 10^6\,\text{m}$, $g = 9.8\,\text{m/s}^2$):

মুক্তিবেগের মূল বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• নিক্ষিপ্ত বস্তুর ভরের ওপর স্বাধীন: একটি হালকা পালক এবং একটি বিশালাকার রকেটের মুক্তিবেগ হুবহু একই ($11.2\,\text{km/s}$)।
• নিক্ষেপ কোণের ওপর স্বাধীন: বস্তুকে উলম্বভাবে, অনুভূমিকভাবে বা $45^\circ$ কোণে নিক্ষেপ করা হোক না কেন, বায়ুর বাধা উপেক্ষা করলে মুক্তিবেগের মান একই থাকে।
• এটি কেবল গ্রহের ভর ও ব্যাসার্ধের (বা ঘনত্ব ও ব্যাসার্ধের) ওপর নির্ভর করে।

চাঁদের ক্ষেত্রে ভর ও ব্যাসার্ধ কম হওয়ায় মুক্তিবেগের মান অত্যন্ত কম: $v_{e,\text{moon}} \approx 2.38\,\text{km/s}$। চাঁদের দিনের বেলার তাপমাত্রায় ($T \approx 400\,\text{K}$) বিভিন্ন গ্যাসীয় অণুর ($O_2, N_2, CO_2$) মূল-গড়-বর্গ বেগ ($v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}$) চাঁদের এই স্বল্প মুক্তিবেগের চেয়ে বেশি হয়। ফলে কোটি কোটি বছরের বিবর্তনে সমস্ত গ্যাস অণু চাঁদের আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে মিলিয়ে গেছে, যার ফলে চাঁদে কোনো বায়ুমণ্ডল নেই।

কোনো মৃত নক্ষত্রের মহাকর্ষীয় পতনের ফলে তার মুক্তিবেগ যদি আলোর দ্রুতি $c = 3 \times 10^8\,\text{m/s}$-এর সমান বা বেশি হয়ে যায় ($v_e \ge c$):

$R_s$-কে সোয়ার্জশিল্ড ব্যাসার্ধ বলে। এই ব্যাসার্ধের ভেতর থেকে আলোসহ কোনো বস্তুই বেরিয়ে আসতে পারে না, যা কৃষ্ণগহ্বর বা ব্ল্যাক হোল সৃষ্টি করে।

পৃথিবীর চারদিকে $h$ উচ্চতায় $r = R + h$ ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার কক্ষপথে $m$ ভরের উপগ্রহ প্রদক্ষিণ করলে মহাকর্ষ বলই প্রয়োজনীয় অভিকেন্দ্র বল জোগায়:

ভূ-পৃষ্ঠের নিকটবর্তী কক্ষপথের ক্ষেত্রে ($h \ll R$):

আবর্তনকাল ($T$):

নিকটবর্তী কক্ষপথের জন্য: $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.6\,\text{মিনিট} \approx 1.41\,\text{ঘণ্টা}$।

উপগ্রহের শক্তির সমীকরণ:

• গতিশক্তি: $K = \frac{1}{2}m v_o^2 = \frac{GMm}{2r} = \frac{|U|}{2}$
• স্থিতিশক্তি: $U = -\frac{GMm}{r}$
• মোট যান্ত্রিক শক্তি: $E = K + U = -\frac{GMm}{2r} = -K = \frac{U}{2}$
• বন্ধন শক্তি: $\text{BE} = -E = \frac{GMm}{2r}$ (উপগ্রহকে মুক্ত করতে প্রয়োজনীয় শক্তি)

একটি সাধারণ ভুল ধারণা হলো যে মহাশূন্যে বা কক্ষপথে "মহাকর্ষ বল শূন্য হয়ে যায়"। বাস্তবে, ৪০০ কিমি উচ্চতায় আন্তর্জাতিক মহাকাশ স্টেশনে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $g_h \approx 8.7\,\text{m/s}^2$, যা ভূপৃষ্ঠের মানের প্রায় ৮৯%!

ওজনহীনতার প্রকৃত কারণ হলো উপগ্রহ এবং তার ভেতরের নভোচারী উভয়েই একই অভিকর্ষজ ত্বরণে অবিরাম পৃথিবীর দিকে মুক্ত পতনের (free fall) অবস্থায় গতিশীল থাকে। ফলে মহাকাশযানের মেঝে নভোচারীর ওপর কোনো প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করে না: $N = m(g_h - a) = 0$। যেহেতু মানবদেহে ওজনের অনুভূতি মেঝের প্রতিক্রিয়া বল $N$-এর মাধ্যমেই তৈরি হয়, প্রতিক্রিয়া বল শূন্য হওয়ায় নভোচারী নিজেকে সম্পূর্ণ ভারহীন বা ওজনহীন অনুভব করেন।