गुरुत्वाकर्षण

खगोलशास्त्री टाइको ब्राहे के सूक्ष्म प्रेक्षणों के आधार पर जोहान्स केप्लर ने 1609 से 1619 के बीच ग्रहीय गति के तीन नियम प्रतिपादित किए:

1. प्रथम नियम (कक्षाओं का नियम - Law of Orbits): सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में परिक्रमण करते हैं तथा सूर्य इस दीर्घवृत्त के किसी एक फोकस (नाभि) पर स्थित होता है।

   दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$, अर्ध-लघु अक्ष $b$ तथा उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$ ($0 \le e < 1$) होती है। सूर्य के निकटतम बिंदु को उपसौर (Perihelion) कहते हैं, जिसकी दूरी $r_p = a(1 - e)$ होती है; और सबसे दूरस्थ बिंदु को अपसौर (Aphelion) कहते हैं, जिसकी दूरी $r_a = a(1 + e)$ होती है।

2. द्वितीय नियम (क्षेत्रफल का नियम - Law of Areas): किसी ग्रह को सूर्य से मिलाने वाली त्रिज्य रेखा (त्रिज्या सदिश) समान समयांतरालों में समान क्षेत्रफल तय करती है। अर्थात् ग्रह का क्षेत्रीय वेग (Areal Velocity) नियत रहता है:$$\frac{dA}{dt} = \text{नियत (Constant)}$$
   कोणीय संवेग संरक्षण द्वारा उपपत्ति: मान लीजिए सूर्य के सापेक्ष $m$ द्रव्यमान के ग्रह का स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग $\vec{v}$ है। सूक्ष्म समय $dt$ में विस्थापन $d\vec{r} = \vec{v}\,dt$ होता है। त्रिज्या सदिश द्वारा तय किया गया त्रिभुजाकार क्षेत्रफल $dA = \frac{1}{2}|\vec{r} \times d\vec{r}| = \frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{v}|\,dt$ होगा। अतः क्षेत्रीय वेग:$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{v}| = \frac{|\vec{r} \times m\vec{v}|}{2m} = \frac{L}{2m}$$चूंकि सूर्य द्वारा आरोपित गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है (जो सदैव सूर्य की दिशा में क्रियाशील होता है), अतः सूर्य के परितः बल आघूर्ण शून्य होता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g = 0$। फलस्वरूप, ग्रह का कुल कोणीय संवेग $\vec{L}$ नियत रहता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{नियत}$।

   इसका प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि जब ग्रह सूर्य के निकटतम (उपसौर पर) होता है तो उसकी चाल अधिकतम तथा अपसौर पर न्यूनतम होती है ($v_p r_p = v_a r_a$)।

3. तृतीय नियम (परिक्रमण कालों का नियम - Law of Periods): किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग ($T^2$) उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन ($a^3$) के अनुक्रमानुपाती होता है:$$T^2 \propto a^3 \implies \frac{T^2}{a^3} = \text{नियत}$$

माना $M_s$ द्रव्यमान के सूर्य के परितः $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान का एक ग्रह $v$ चाल तथा $T$ परिक्रमण काल से गति कर रहा है। ग्रह को वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्रीय बल:

केप्लर के तृतीय नियम से $T^2 = k r^3$ प्रतिस्थापित करने पर:

न्यूटन के तृतीय नियमानुसार यह आकर्षण बल सूर्य के द्रव्यमान $M_s$ के भी अनुक्रमानुपाती होना चाहिए। अतः सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र प्राप्त होता है: $F = G\frac{M_s m}{r^2}$।

ब्रह्मांड में प्रत्येक पदार्थ कण अन्य प्रत्येक कण को एक बल से आकर्षित करता है, जो कणों के द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती तथा उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

सदिश रूप: यदि कण 2 के सापेक्ष कण 1 का स्थिति सदिश $\vec{r}_{12}$ हो, तो कण 1 पर कण 2 द्वारा आरोपित गुरुत्वाकर्षण बल:

इसी प्रकार, $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$। यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गति के तृतीय नियम का पूर्णतः पालन करता है तथा क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म बनाता है।

गुरुत्वाकर्षण बल की प्रमुख विशेषताएं:

• यह सदैव आकर्षण प्रकृति का होता है (प्रतिकर्षण कभी नहीं होता)।
• यह एक केंद्रीय बल है (कणों के द्रव्यमान केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है)।
• यह एक संरक्षी बल है (बंद लूप में किया गया कार्य शून्य होता है: $\oint \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$)।
• यह दोनों पिंडों के बीच उपस्थित माध्यम पर निर्भर नहीं करता।
• यह अध्यारोपण के सिद्धांत (Principle of Superposition) का पालन करता है: किसी एक कण पर अन्य कई कणों के कारण परिणामी बल सभी स्वतंत्र बलों के सदिश योग के बराबर होता है: $\vec{F}_{\text{net}} = \sum_{i=2}^N \vec{F}_{1i}$।

यदि $m_1 = m_2 = 1\,\text{kg}$ तथा $r = 1\,\text{m}$ हो, तो $F = G$। अतः सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक संख्यात्मक रूप से उस आकर्षण बल के बराबर होता है जो परस्पर 1 मीटर की दूरी पर स्थित 1 किलोग्राम के दो एकांक बिंदु द्रव्यमानों के मध्य कार्य करता है।

• SI मान: $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 = 6.6743 \times 10^{-11}\,\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$
• CGS मान: $G = 6.6743 \times 10^{-8}\,\text{dyn}\cdot\text{cm}^2/\text{g}^2$
• विमीय सूत्र: $[G] = \frac{[F][r^2]}{[m_1 m_2]} = \frac{[\text{M}\text{L}\text{T}^{-2}][\text{L}^2]}{[\text{M}^2]} = [\text{M}^{-1}\text{L}^3\text{T}^{-2}]$

पृथ्वी की सतह पर स्थित $m$ द्रव्यमान के किसी पिंड पर पृथ्वी ($M$, त्रिज्या $R$) द्वारा आरोपित गुरुत्वाकर्षण खिंचाव उस पिंड के भार के बराबर होता है:

यदि पृथ्वी का औसत घनत्व $\rho$ हो, तो $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ रखने पर:

विशेष ध्यान दें: गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान गिरने वाले पिंड के द्रव्यमान $m$, आकृति या पदार्थ पर निर्भर नहीं करता। निर्वात में सभी पिंड समान त्वरण $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$ से गिरते हैं।

पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर स्थित बिंदु पर गुरुत्वीय त्वरण:

सन्निकट सूत्र (जब $h \ll R$ हो): द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) के विस्तार द्वारा:

ऊंचाई पर $g$ में भिन्नात्मक कमी: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{g - g_h}{g} = \frac{2h}{R}$।

प्रतिशत कमी: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \frac{2h}{R} \times 100\%$।

पृथ्वी को एकसमान घनत्व $\rho$ का ठोस गोला मानने पर, $d$ गहराई पर स्थित पिंड केवल $(R - d)$ त्रिज्या वाले आंतरिक ठोस गोले द्वारा आकर्षित होता है (बाहरी गोलीय कोश का परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है):

गहराई के साथ महत्वपूर्ण निष्कर्ष:

• यह सूत्र सभी गहराइयों $0 \le d \le R$ के लिए पूर्णतः यथार्थ (Exact) है, इसमें कोई सन्निकटन नहीं है।
• पृथ्वी के केंद्र पर ($d = R$): $g_{\text{center}} = g(1 - R/R) = 0$। अतः पृथ्वी के केंद्र पर किसी भी वस्तु का भार शून्य होता है।
• गहराई पर $g$ में भिन्नात्मक कमी: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{d}{R}$।
• समान परिवर्तन के लिए: सतह से समान अल्प दूरी पर ऊंचाई में कमी गहराई की तुलना में दोगुनी तेजी से होती है (अर्थात् यदि $h = d$ हो, तो $\Delta g_h = 2\Delta g_d$)।

पृथ्वी अपने अक्ष के परितः कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{24\times 3600} \approx 7.29 \times 10^{-5}\,\text{rad/s}$ से पश्चिम से पूर्व की ओर घूर्णन करती है। $\lambda$ अक्षांश पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड पर त्रिज्या $r = R\cos\lambda$ के वृत्ताकार पथ पर अभिकेंद्रित गति के कारण बाहर की ओर अपकेंद्री बल $F_c = m\omega^2 R\cos\lambda$ कार्य करता है।

गुरुत्वीय खिंचाव और अपकेंद्री बल के घटक का सदिश संयोजन करने पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण:

• विषुवतीय रेखा / भूमध्य रेखा पर (Equator, $\lambda = 0^\circ$): $\cos 0^\circ = 1 \implies g_e = g - \omega^2 R$ (न्यूनतम मान)।
• ध्रुवों पर (Poles, $\lambda = 90^\circ$): $\cos 90^\circ = 0 \implies g_p = g$ (अधिकतम मान, घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं)।
• ध्रुव और भूमध्य रेखा के बीच अंतर: $\Delta g = g_p - g_e = \omega^2 R \approx 0.034\,\text{m/s}^2$।

पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है, बल्कि ध्रुवों पर चपटी तथा भूमध्य रेखा पर उभरी हुई लध्वक्ष गोलाभ (Oblate Spheroid) है। भूमध्यरेखीय त्रिज्या ध्रुवीय त्रिज्या से लगभग $21\,\text{km}$ अधिक है ($R_e - R_p \approx 21\,\text{km}$)।

आकृति और घूर्णन दोनों के संयुक्त प्रभाव के कारण ध्रुवों पर किसी वस्तु का भार भूमध्य रेखा की तुलना में अधिकतम होता है।

किसी भारी द्रव्यमान के चारों ओर स्थित गुरुत्वीय क्षेत्र में किसी बिंदु पर रखा गया एकांक परीक्षण द्रव्यमान ($m_0 \to 0$) जितने गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करता है, उसे उस बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता कहते हैं:

• यह एक सदिश राशि है, जिसकी दिशा सदैव स्रोत द्रव्यमान की ओर होती है।
• SI मात्रक: $\text{N/kg}$ या $\text{m/s}^2$। विमीय सूत्र: $[\text{L}\text{T}^{-2}]$ (यह गुरुत्वीय त्वरण $g$ के सर्वसम है)।

एकांक द्रव्यमान के किसी परीक्षण पिंड को अनंत से गुरुत्वीय क्षेत्र के किसी बिंदु तक बिना त्वरण के लाने में बाह्य कारक द्वारा किए गए कार्य को (अथवा गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के ऋणात्मक मान को) उस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव कहते हैं:

• यह एक अदिश राशि है।
• SI मात्रक: $\text{J/kg}$ या $\text{m}^2/\text{s}^2$। विमीय सूत्र: $[\text{L}^2\text{T}^{-2}]$।
• ऋणात्मक चिह्न का भौतिक अर्थ: अनंत पर गुरुत्वीय विभव शून्य (अधिकतम) माना जाता है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षक होता है, इसलिए पिंड को अनंत से क्षेत्र के अंदर लाने में गुरुत्वाकर्षण बल स्वतः कार्य करता है, अतः विभव सदैव ऋणात्मक होता है। यह दर्शाता है कि द्रव्यमान गुरुत्वीय क्षेत्र में बद्ध (Bound) अवस्था में है।

गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता विभव की ऋणात्मक प्रवणता (Negative Potential Gradient) के बराबर होती है:

$m$ द्रव्यमान के किसी पिंड को अनंत से $M$ द्रव्यमान के गुरुत्वीय क्षेत्र में परस्पर $r$ दूरी पर लाने में किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा कहलाता है:

पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर ले जाने में स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

चूंकि $GM = g R^2$, अतः:

यदि $h \ll R$ हो, तो $\frac{h}{R} \approx 0$ रखने पर परिचित सूत्र प्राप्त होता है: $\Delta U \approx mgh$।

पलायन वेग वह न्यूनतम प्रारंभिक वेग है जिससे किसी पिंड को किसी खगोलीय पिंड की सतह से ऊपर की ओर प्रक्षेपित करने पर वह उसके गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को पूर्णतः पार कर जाता है और कभी वापस नहीं लौटता।

यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा व्युत्पत्ति:

माना $M$ द्रव्यमान तथा $R$ त्रिज्या की पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान के पिंड को पलायन वेग $v_e$ से प्रक्षेपित किया जाता है।

• सतह पर गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2}m v_e^2$
• सतह पर स्थितिज ऊर्जा: $U_i = -\frac{GMm}{R}$
• सतह पर कुल यांत्रिक ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}m v_e^2 - \frac{GMm}{R}$

अनंत ($\\infty$) पर पहुंचकर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र समाप्त हो जाता है, अतः $U_f = 0$ तथा न्यूनतम पलायन वेग हेतु वहां गतिज ऊर्जा $K_f \ge 0$ होनी चाहिए। अतः कुल ऊर्जा $E_f = 0$।

ऊर्जा संरक्षण $E_i = E_f$ से:

पलायन वेग के मुख्य गुणधर्म:

• यह प्रक्षेपित पिंड के द्रव्यमान $m$ अथवा उसकी बनावट पर निर्भर नहीं करता (हाथी और चींटी दोनों के लिए समान है)।
• यह प्रक्षेपण कोण (Angle of Projection) पर निर्भर नहीं करता (ऊर्ध्वाधर, $45^\circ$ या क्षैतिज फेंकने पर पलायन वेग समान रहता है, बशर्ते वायु प्रतिरोध उपेक्षणीय हो)।
• यह केवल स्रोत ग्रह के द्रव्यमान $M$, त्रिज्या $R$ अथवा घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है।

किसी ग्रह पर वायुमंडल की उपस्थिति गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल ($v_{\text{rms}}$) तथा उस ग्रह के पलायन वेग ($v_e$) के तुलनात्मक अनुपात पर निर्भर करती है:

चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या कम होने के कारण चंद्रमा की सतह पर पलायन वेग अत्यंत न्यून होता है ($v_{e,\text{moon}} \approx 2.38\,\text{km/s}$)।

चंद्रमा के दिन का तापमान ($T \approx 370\,\text{K}$ से $400\,\text{K}$) होने पर हाइड्रोजन, ऑक्सीजन और नाइट्रोजन जैसी प्रमुख गैसों के अधिकांश अणुओं की तापीय चाल $v_{\text{rms}}$ चंद्रमा के पलायन वेग से अधिक हो जाती है ($v_{\text{rms}} > v_e$)। परिणामस्वरूप, ये गैसीय अणु चंद्रमा के क्षीण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से हमेशा के लिए पलायित हो गए। यही कारण है कि चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है।

पृथ्वी ($M$, $R$) की सतह से $h$ ऊंचाई पर $r = R + h$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में चक्कर लगा रहे $m$ द्रव्यमान के कृत्रिम उपग्रह को आवश्यक अभिकेंद्रीय बल गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से प्राप्त होता है:

पृथ्वी की सतह के अत्यंत निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह हेतु ($h \ll R \implies r \approx R$):

एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगा समय:

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right)r^3 \implies T^2 \propto r^3$ (केप्लर का तृतीय नियम सिद्ध होता है)।

सतह के निकट उपग्रह हेतु ($h \approx 0$): $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{6.4\times 10^6}{9.8}} \approx 5078\,\text{s} \approx 84.6\,\text{मिनट}$।

• गतिज ऊर्जा ($K$): $K = \frac{1}{2}m v_o^2 = \frac{GMm}{2r}$
• स्थितिज ऊर्जा ($U$): $U = -\frac{GMm}{r}$
• कुल यांत्रिक ऊर्जा ($E$): $E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$
• महत्वपूर्ण ऊर्जा संबंध: $E = -K = \frac{U}{2}$
• बंधन ऊर्जा (Binding Energy): उपग्रह को उसकी कक्षा से मुक्त करके अनंत तक भेजने हेतु आवश्यक बाह्य ऊर्जा: $\text{B.E.} = -E = +\frac{GMm}{2r}$।

प्रायः यह भ्रांति होती है कि उपग्रह में अंतरिक्ष यात्री भारहीनता इसलिए महसूस करते हैं क्योंकि वहां "गुरुत्वाकर्षण शून्य" होता है। यह पूर्णतः असत्य है!

सतह से $400\,\text{km}$ की ऊंचाई पर (जहां ISS परिक्रमा करता है):

अर्थात् वहां गुरुत्वाकर्षण अभी भी धरातल का लगभग $89\%$ सक्रिय रहता है!

भारहीनता का वास्तविक भौतिक कारण: उपग्रह और उसके अंदर स्थित अंतरिक्ष यात्री दोनों ही पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में समान त्वरण ($a = g_h$) से पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त पतन (Free Fall) की स्थिति में होते हैं। अतः फर्श द्वारा यात्री पर लगाया जाने वाला अभिलंब प्रतिक्रिया बल शून्य हो जाता है:

चूंकि भार की अनुभूति प्रतिक्रिया बल $N$ के कारण होती है, अतः $N = 0$ होने पर व्यक्ति भारहीनता महसूस करता है।