দোলন ও তরঙ্গ

যদি কোনো গতিশীল কণার গতি একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর পুনরাবৃত্ত হয়, তবে তাকে পর্যাবৃত্ত গতি (Periodic Motion) বলে। আর যদি কোনো কণা একটি নির্দিষ্ট সাম্যাবস্থানের দুপাশে একই সরলরেখায় সামনে-পেছনে নিয়মিত যাতায়াত করে, তবে তাকে স্পন্দন বা দোলন গতি (Oscillatory Motion) বলে। সমস্ত স্পন্দন গতিই পর্যাবৃত্ত, কিন্তু সমস্ত পর্যাবৃত্ত গতি (যেমন সূর্যের চারদিকে পৃথিবীর কক্ষপথ) স্পন্দন নয়।

সরল ছন্দিত গতি (Simple Harmonic Motion - SHM): এটি স্পন্দন গতির সবচেয়ে সরল রূপ। যদি কোনো কণার ওপর ক্রিয়াশীল প্রত্যয়ক বল (বা ত্বরণ) কণাটির সাম্যাবস্থান থেকে সরণের সমানুপাতিক হয় এবং সর্বদা সাম্যাবস্থানমুখী হয়, তবে কণাটির গতিকে সরল ছন্দিত গতি বলে:

যেখানে $k$ হলো বল ধ্রুবক (Spring Constant) এবং $\omega = \sqrt{k/m}$ হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক।

সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কণার তাৎক্ষণিক সরণ $x(t)$ সময়ের সাইনুসয়ডাল অপেক্ষক হিসেবে প্রকাশিত হয়:

• বিস্তার ($A$): সাম্যাবস্থান থেকে কণাটির যে কোনো একদিকে সর্বাধিক সরণ।
• পর্যায়কাল ($T$): একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে কণাটির যে সময় লাগে: $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$।
• কম্পাঙ্ক ($\nu$ বা $f$): প্রতি সেকেন্ডে সম্পন্ন পূর্ণ দোলনের সংখ্যা: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$ (একক: হার্টজ বা $\text{s}^{-1}$)।
• দশা ($(\omega t + \phi)$): ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের কোণটি, যা যে কোনো মুহূর্তে কণাটির অবস্থান ও গতির অভিমুখ নির্দেশ করে।
• আদি দশা বা দশা ধ্রুবক ($\phi$): প্রারম্ভিক মুহূর্তে ($t = 0$) কণার দশা।

সরণকে সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করলে কণার তাৎক্ষণিক বেগ ($v$) পাওয়া যায়:

• সাম্যাবস্থানে ($x = 0$): বেগ সর্বোচ্চ: $v_{\max} = \omega A$।
• প্রান্তীয় অবস্থানে ($x = \pm A$): বেগ শূন্য: $v = 0$।

বেগকে সময়ের সাপেক্ষে পুনরায় অবকলন করলে কণার তাৎক্ষণিক ত্বরণ ($a$) পাওয়া যায়:

• সাম্যাবস্থানে ($x = 0$): ত্বরণ শূন্য: $a = 0$।
• প্রান্তীয় অবস্থানে ($x = \pm A$): ত্বরণ সর্বোচ্চ: $a_{\max} = \omega^2 A$।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র $F = m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ প্রয়োগ করে পাওয়া যায়:

আদর্শ অবমন্দাহীন সরল ছন্দিত গতিতে ঘর্ষণ না থাকায় মোট যান্ত্রিক শক্তি সর্বদা সংরক্ষিত থাকে এবং গতিশক্তি ($K$) ও স্থিতিশক্তির ($U$) মধ্যে নিরবচ্ছিন্ন রূপান্তর ঘটে:

• গতিশক্তি ($K$): বেগের কারণে উদ্ভূত শক্তি:$$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$$
• স্থিতিশক্তি ($U$): প্রত্যয়ক বলের বিরুদ্ধে কণাটিকে সাম্যাবস্থান থেকে $x$ দূরত্বে সরাতে কৃতকার্য:$$U = \int_0^x kx\,dx = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$$
• মোট যান্ত্রিক শক্তি ($E$):$$E = K + U = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) + \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \text{ধ্রুবক}$$

• অণুভূমিক ও উল্লম্ব স্প্রিং দোলক: $k$ বল ধ্রুবকের স্প্রিং-এ $m$ ভর যুক্ত করলে পর্যায়কাল হয় $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$। উল্লম্ব স্প্রিং-এ অভিকর্ষজ বলের কারণে কেবল সাম্যাবস্থানটি $y_0 = \frac{mg}{k}$ পরিমাণ নিচে নেমে আসে; দোলনের কম্পাঙ্ক ও পর্যায়কাল সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে।
• স্প্রিং-এর শ্রেণি সমবায়: দুটি স্প্রিং $k_1$ ও $k_2$ পর পর যুক্ত থাকলে প্রত্যয়ক বল সমান থাকে ($F_1 = F_2 = F$) কিন্তু মোট প্রসারণ যোগ হয় ($x = x_1 + x_2$):$$\frac{1}{k_s} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \implies k_s = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \implies T_s = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$$
• স্প্রিং-এর সমান্তরাল সমবায়: দুটি স্প্রিং পাশাপাশি যুক্ত থাকলে প্রসারণ সমান হয় কিন্তু মোট বল যোগ হয়:$$k_p = k_1 + k_2 \implies \frac{1}{T_p^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$$
• স্প্রিং খণ্ডীকরণ: স্প্রিং ধ্রুবক তার স্বাভাবিক দৈর্ঘ্যের ব্যস্তানুপাতিক ($k \propto 1/L$)। একটি স্প্রিংকে $m:n$ দৈর্ঘ্যের অনুপাতে কাটলে টুকরো দুটির স্প্রিং ধ্রুবক হবে:$$k_1 = \frac{m+n}{m}k \quad \text{এবং} \quad k_2 = \frac{m+n}{n}k$$

একটি অপ্রসারণশীল, ওজনহীন ও নমনীয় সুতো দিয়ে কোনো দৃঢ় অবলম্বন থেকে একটি ক্ষুদ্র ভারী ধাতব গোলক (বব) ঝুলিয়ে দিলে যে ব্যবস্থা তৈরি হয় তাকে সরল দোলক বলে।

দোলকটিকে উলম্বের সাথে ক্ষুদ্র কৌণিক সরণ $\theta$-তে নিয়ে গেলে অবলম্বন বিন্দুর সাপেক্ষে প্রত্যয়ক টর্ক হয়:

ঘূর্ণন গতিবিদ্যা অনুসারে $\tau = I \alpha = (m L^2) \frac{d^2\theta}{dt^2}$:$$m L^2 \frac{d^2\theta}{dt^2} + mg L \theta = 0 \implies \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0$$

কৌণিক SHM সমীকরণ $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:

• সেকেণ্ড দোলক: যে দোলকের পর্যায়কাল ঠিক ২ সেকেন্ড ($T = 2.0\,\text{s}$)। ভূ-পৃষ্ঠে এর দৈর্ঘ্য: $L = \frac{g T^2}{4\pi^2} = \frac{9.8 \times 4}{4\pi^2} \approx 0.993\,\text{m} \approx 1\,\text{মিটার}$।
• ত্বরণশীল লিফটে সরল দোলক:
  • $a$ ত্বরণে ওপরে উঠলে: $g_{\text{eff}} = g + a \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ (পর্যায়কাল হ্রাস পায়, ঘড়ি দ্রুত চলে)।
  • $a$ ত্বরণে নিচে নামলে: $g_{\text{eff}} = g - a \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g-a}}$ (পর্যায়কাল বৃদ্ধি পায়, ঘড়ি ধীরে চলে)।
  • অবাধ পতনকালে ($a = g$): $g_{\text{eff}} = 0 \implies T \to \infty$ (দোলক দোদুল্যমান হয় না)।

বাস্তব মাধ্যমে সান্দ্রতা বা ঘর্ষণের কারণে দোলকের যান্ত্রিক শক্তি ক্রমশ হ্রাস পায়। বেগ-সমানুপাতিক অবমন্দন বল $F_d = -b v = -b \frac{dx}{dt}$ বিবেচনা করলে গতির সমীকরণ দাঁড়ায়:

ক্ষীণ অবমন্দনের ক্ষেত্রে সমাধানটি হলো একটি বিস্তার-ক্ষয়িষ্ণু দোলন:

মোট শক্তি সময়ের সাথে সূচকীয় হারে কমে যায়: $E(t) = E_0 e^{-\frac{b t}{m}}$।

যখন কোনো দোলক ব্যবস্থার ওপর একটি বাহ্যিক পর্যাবৃত্ত চালক বল $F(t) = F_0 \cos(\omega_d t)$ প্রয়োগ করা হয়, তখন স্থায়ী অবস্থায় তার বিস্তার হয়:

অনুনাদ (Resonance): চালক বলের কৌণিক কম্পাঙ্ক যখন দোলকটির নিজস্ব স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের সমান হয় ($\omega_d \approx \omega_0$), তখন দোলকটির বিস্তার অস্বাভাবিকভাবে অত্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অবমন্দন যত কম হয়, অনুনাদের বিস্তার তত বেশি তীক্ষ্ণ হয় ($Q$-গুণক)।

তরঙ্গ হলো কোনো স্থিতিস্থাপক মাধ্যমের মধ্য দিয়ে শক্তির এক স্থান থেকে অন্য স্থানে সঞ্চালন, যেখানে মাধ্যমের কণাগুলির স্থায়ী স্থানচ্যুতি ঘটে না।

• তির্যক তরঙ্গ (Transverse Wave): মাধ্যমের কণাগুলির স্পন্দনের দিক তরঙ্গের অগ্রগমনের দিকের সাথে লম্ব হয়। এটি তরঙ্গশীর্ষ ও তরঙ্গপাদ সৃষ্টির মাধ্যমে সঞ্চালিত হয়। এর জন্য মাধ্যমে কৃন্তন স্থিতিস্থাপকতা (Shear Elasticity) থাকা প্রয়োজন; তাই এটি কেবল কঠিন পদার্থ ও তরলের উপরিভাগে সৃষ্টি হতে পারে (যেমন তারের তরঙ্গ, আলোক তরঙ্গ)।
• অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ (Longitudinal Wave): মাধ্যমের কণাগুলির স্পন্দনের দিক তরঙ্গের অগ্রগমনের দিকের সমান্তরাল হয়। এটি ঘনীভবন (Compression) ও তনুভবন (Rarefaction) সৃষ্টির মাধ্যমে এগিয়ে যায়। এর জন্য আয়তন গুণক প্রয়োজন; তাই এটি কঠিন, তরল ও গ্যাসীয় তিন মাধ্যমেই চলাচল করতে পারে (যেমন শব্দতরঙ্গ)।

$T$ টানে রাখা $\mu = \frac{m}{L}$ রৈখিক ভর ঘনত্বের কোনো নমনীয় তারে তির্যক তরঙ্গের গতিবেগ:

যেকোনো স্থিতিস্থাপক মাধ্যমে অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গের দ্রুতি মাধ্যমের স্থিতিস্থাপক গুণক $B$ এবং ঘনত্বের ওপর নির্ভরশীল: $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$।

১. নিউটনের সূত্র (১৬৮৭): নিউটন ধরে নিয়েছিলেন যে শব্দের ঘনীভবন ও তনুভবন অত্যন্ত ধীরগতিতে ঘটে, ফলে বায়ুমণ্ডলের সাথে তাপ আদান-প্রদান হয়ে তাপমাত্রা স্থির থাকে (সমোষ্ণ প্রক্রিয়া)। সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় স্থিতিস্থাপক গুণক $B_{\text{iso}} = P$।

প্রমাণ চাপ ও তাপমাত্রায় ($P = 1.013 \times 10^5\,\text{Pa}, \rho = 1.293\,\text{kg/m}^3$):$$v_{\text{Newton}} = \sqrt{\frac{1.013 \times 10^5}{1.293}} \approx 280\,\text{m/s}$$

কিন্তু পরীক্ষালব্ধ মান হলো $332\,\text{m/s}$। ফলে নিউটনের সূত্রে প্রায় ১৫.৭% ত্রুটি থেকে যায়।

২. ল্যাপলাসের রুদ্ধতাপীয় সংশোধন (১৮১৬): ল্যাপলাস দেখান যে শব্দ সঞ্চালন অত্যন্ত দ্রুত ঘটে এবং বায়ু তাপের কুপরিবাহী, তাই পরিবেশের সাথে তাপ বিনিময়ের সুযোগ থাকে না। ফলে প্রক্রিয়াটি সমোষ্ণ নয়, বরং রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া ($P V^\gamma = \text{ধ্রুবক}$)।

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় আয়তন স্থিতিস্থাপকতা গুণক $B_{\text{ad}} = \gamma P$ (যেখানে $\gamma = C_p/C_v$ হলো রুদ্ধতাপীয় সূচক)।

দ্বিপরমাণুক বাতাসের জন্য ($\gamma = 1.40$):$$v_{\text{Laplace}} = \sqrt{\frac{1.40 \times 1.013 \times 10^5}{1.293}} = 280 \times \sqrt{1.40} \approx 331.3\,\text{m/s}$$

যা পরীক্ষালব্ধ মানের সাথে নিখুঁতভাবে মিলে যায়।

• চাপের প্রভাব: স্থির তাপমাত্রায় $P/\rho = \frac{RT}{M} = \text{ধ্রুবক}$। ফলে স্থির তাপমাত্রায় বায়ুর চাপ দ্বিগুণ বা অর্ধেক করলেও শব্দের দ্রুতি সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে।
• তাপমাত্রার প্রভাব: $v \propto \sqrt{T}$। পরম তাপমাত্রা বাড়লে শব্দের বেগ বাড়ে। সাধারণ তাপমাত্রায়: $v_t \approx v_0 + 0.61\,t\,\text{m/s}$।
• আর্দ্রতার প্রভাব: জলীয় বাষ্পের আণবিক ভর (১৮) শুষ্ক বায়ুর (২৮.৯) চেয়ে কম হওয়ায় আর্দ্র বায়ুর ঘনত্ব শুষ্ক বায়ুর চেয়ে কম ($\rho_{\text{moist}} < \rho_{\text{dry}}$)। সুতরাং আর্দ্র বায়ুতে শব্দের বেগ বেশি হয়।
• বায়ুপ্রবাহের প্রভাব: বায়ুর প্রবাহ $w$ শব্দের গতির সাথে $\theta$ কোণে থাকলে কার্যকর বেগ $v_{\text{eff}} = v \pm w \cos\theta$।

ধনাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর অগ্রসরমান একটি সাইনুসয়ডাল চলতরঙ্গের সমীকরণ:

• কৌণিক তরঙ্গ সংখ্যা: $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ (একক: $\text{rad/m}$)।
• তরঙ্গ দ্রুতি: $v = \frac{\omega}{k} = \nu \lambda$।
• কণার বেগ: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = -\omega A \cos(kx - \omega t)$। সম্পর্ক: $v_p = -v \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right) = -v \times (\text{তরঙ্গের নতি})$।

উপরিস্থিত কণার নিট সরণ হলো পৃথক তরঙ্গগুলির সরণের বীজগাণিতিক যোগফল: $y = y_1 + y_2 + \dots$।

• দৃঢ় প্রান্ত থেকে প্রতিফলন: প্রতিফলিত তরঙ্গে $\pi$ রেডিয়ান ($180^\circ$) দশা পরিবর্তন ঘটে: $y_r = -A \sin(kx + \omega t)$। তরঙ্গশীর্ষ প্রতিফলিত হয়ে তরঙ্গপাদে পরিণত হয়।
• মুক্ত প্রান্ত থেকে প্রতিফলন: কোনো দশা পরিবর্তন ঘটে না: $y_r = A \sin(kx + \omega t)$। তরঙ্গশীর্ষ শীর্ষ রূপেই ফিরে আসে।

একই বিস্তার ও কম্পাঙ্কের দুটি সমরূপ চলতরঙ্গ বিপরীত দিক থেকে এসে উপরিপাতিত হলে যে তরঙ্গের সৃষ্টি হয় তাকে স্থির তরঙ্গ বলে:

• স্থান-নির্ভর বিস্তার: $A_{\text{res}}(x) = 2A |\sin kx|$।
• নিস্পন্দ বিন্দু (Nodes - N): যেসব বিন্দুতে সরণ বিস্তার সর্বদা শূন্য ($A_{\text{res}} = 0$)। এগুলি ঘটে যেখানে $\sin kx = 0 \implies x = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \frac{3\lambda}{2}, \dots$। দুটি পরপর নিস্পন্দ বিন্দুর ব্যবধান $\frac{\lambda}{2}$। নিস্পন্দ বিন্দুতে চাপ ও বিকৃতির পরিবর্তন সর্বোচ্চ হয়।
• সুস্পন্দ বিন্দু (Antinodes - A): যেসব বিন্দুতে সরণ বিস্তার সর্বোচ্চ ($2A$)। এগুলি ঘটে যেখানে $|\sin kx| = 1 \implies x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$। পরপর দুটি সুস্পন্দ বিন্দুর ব্যবধান $\frac{\lambda}{2}$ এবং একটি নিস্পন্দ ও সংলগ্ন সুস্পন্দ বিন্দুর ব্যবধান $\frac{\lambda}{4}$। সুস্পন্দ বিন্দুতে চাপের পরিবর্তন শূন্য।
• স্থির তরঙ্গে মাধ্যমের এক অংশ থেকে অন্য অংশে কোনো নিট শক্তি সঞ্চালিত হয় না।

প্রান্ত সংশোধন ($e$): খোলা প্রান্তে সুস্পন্দ বিন্দুটি পাইপের মুখের চেয়ে সামান্য বাইরে $e \approx 0.6r$ দূরত্বে গঠিত হয় ($r = \text{ব্যাসার্ধ}$)। বদ্ধ নলে কার্যকর দৈর্ঘ্য $L_{\text{eff}} = L + 0.6r$ এবং খোলা নলে $L_{\text{eff}} = L + 1.2r$।

সামান্য ভিন্ন কম্পাঙ্কের $\nu_1$ ও $\nu_2$ ($|\nu_1 - \nu_2| \le 10\,\text{Hz}$) দুটি শব্দতরঙ্গ একই সাথে একই রেখা বরাবর সঞ্চালিত হলে তাদের উপরিপাতনের ফলে শব্দের তীব্রতার যে নিয়মিত হ্রাস-বৃদ্ধি ঘটে তাকে বীট বা স্বরকম্প বলে।

দুটি তরঙ্গের সমীকরণ $y_1 = A \sin(2\pi \nu_1 t)$ ও $y_2 = A \sin(2\pi \nu_2 t)$ হলে উপরিপাতিত তরঙ্গের সরণ:

• বীট কম্পাঙ্ক ($f_{\text{beat}}$): প্রতি সেকেন্ডে যতগুলি বীট উৎপন্ন হয়:$$f_{\text{beat}} = |\nu_1 - \nu_2|$$
• শ্রবণ স্থায়িত্বকাল: মানুষের কানের শব্দানুভূতি প্রায় $0.1\,\text{s}$ স্থায়ী হয়, তাই বীট স্পষ্টভাবে পৃথকভাবে শুনতে হলে $f_{\text{beat}} \le 10\,\text{Hz}$ হতে হবে।
• সুরশলাকার নিয়ম:
  • সুরশলাকার বাহুতে মোম লাগালে (ভর বৃদ্ধি পেলে) কম্পাঙ্ক হ্রাস পায় ($\nu \downarrow$)।
  • সুরশলাকার বাহু ঘষলে (ভর কমলে) কম্পাঙ্ক বৃদ্ধি পায় ($\nu \uparrow$)।

উৎস ও শ্রোতার মধ্যকার আপেক্ষিক গতির কারণে শ্রোতা কর্তৃক শ্রুত শব্দের কম্পাঙ্কের আপাত পরিবর্তনকে ডপলার ক্রিয়া বলে।

সাধারণ ডপলার সমীকরণ:

যেখানে $v$ শব্দের বেগ, $v_o$ শ্রোতার বেগ, $v_s$ উৎসের বেগ এবং $\nu$ উৎসের প্রকৃত কম্পাঙ্ক।

• লব ও হরের ওপরের চিহ্ন ($+v_o, -v_s$) ব্যবহৃত হয় যখন তারা পরস্পরের নিকটবর্তী হয় (আপাত কম্পাঙ্ক বাড়ে: $\nu' > \nu$)।
• নিচের চিহ্ন ($-v_o, +v_s$) ব্যবহৃত হয় যখন তারা পরস্পর থেকে দূরে সরে যায় (আপাত কম্পাঙ্ক কমে: $\nu' < \nu$)।