তাপগতিবিদ্যা

একটি নির্দিষ্ট ভৌত সীমানা দ্বারা পরিবেষ্টিত এবং পারিপার্শ্বিক থেকে পৃথকীকৃত কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ পদার্থকে তাপগতীয় ব্যবস্থা (Thermodynamic System) বলে। সীমানার প্রকৃতির উপর ভিত্তি করে ব্যবস্থাকে তিন ভাগে ভাগ করা যায়:

• মুক্ত ব্যবস্থা (Open System): পারিপার্শ্বিকের সাথে ভর ও শক্তি (তাপ/কার্য) উভয়ই বিনিময় করতে পারে (যেমন খোলা পাত্রে ফুটন্ত জল)।
• বদ্ধ ব্যবস্থা (Closed System): পারিপার্শ্বিকের সাথে শক্তি বিনিময় করে কিন্তু ভরের কোনো বিনিময় হয় না (যেমন পিস্টনযুক্ত আবদ্ধ চোঙে গ্যাস)।
• বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থা (Isolated System): পারিপার্শ্বিকের সাথে ভর বা শক্তি কোনোটিরই বিনিময় ঘটে না (যেমন আদর্শ থার্মোফ্লাস্কে রাখা তরল)।

ডায়াথার্মিক দেয়াল (Diathermic Wall): যে দেয়ালের মধ্য দিয়ে তাপ সহজে চলাচল করতে পারে (তাপ পরিবাহী দেয়াল)। রুদ্ধতাপীয় দেয়াল (Adiabatic Wall): যে দেয়ালের মধ্য দিয়ে তাপের কোনো আদান-প্রদান হতে পারে না (আদর্শ তাপ নিরোধক দেয়াল)।

সাম্যাবস্থায় থাকা কোনো ব্যবস্থার ভৌত অবস্থাকে নির্দেশকারী ম্যাক্রোস্কোপিক রাশিগুলিকে তাপগতীয় চলরাশি বা স্থানাঙ্ক বলে:

• গাঢ়ত্ব-স্বাধীন চল (Intensive Variables): যা ব্যবস্থার আকার বা ভরের উপর নির্ভর করে না (যেমন চাপ $P$, তাপমাত্রা $T$, ঘনত্ব $\rho$)।
• গাঢ়ত্ব-নির্ভর চল (Extensive Variables): যা ব্যবস্থার আকার বা ভরের সাথে সমানুপাতিক (যেমন আয়তন $V$, অভ্যন্তরীণ শক্তি $U$, এনট্রপি $S$, ভর $M$)।

সাম্যাবস্থায় এই চলরাশিগুলির মধ্যকার গাণিতিক সম্পর্ককে অবস্থার সমীকরণ (Equation of State) বলে। $n$ মোল আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে:

যেখানে $R = 8.314\,\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})$ সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক।

যদি দুটি ব্যবস্থা পরস্পরের সংস্পর্শে থাকা সত্ত্বেও তাদের মধ্যে কোনো নিট তাপ সঞ্চালন না ঘটে এবং তাদের তাপগতীয় স্থানাঙ্কগুলি সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে, তবে ব্যবস্থা দুটি পরস্পর তাপীয় সাম্যাবস্থায় (Thermal Equilibrium) রয়েছে বলা হয়।

ভৌত তাৎপর্য: শূন্যতম সূত্র এমন একটি স্কেলার তাপগতীয় ধর্মের অস্তিত্ব নিশ্চিত করে যার নাম তাপমাত্রা (Temperature, $T$)। দুটি ব্যবস্থা তাপীয় সাম্যাবস্থায় থাকার একমাত্র শর্ত হলো তাদের তাপমাত্রা সমান হওয়া। এটিই থার্মোমিতি বা তাপমাত্রা পরিমাপক যন্ত্রের (থার্মোমিটার) মূল তাত্ত্বিক ভিত্তি: ব্যবস্থা $C$ হলো থার্মোমিটার যার সাহায্যে অপর দুটি ব্যবস্থা $A$ ও $B$-এর তাপীয় সমতা নির্ধারণ করা যায়।

কোনো তাপগতীয় ব্যবস্থার অন্তর্গত অণুগুলির সমস্ত প্রকার গতিশক্তি (রৈখিক, ঘূর্ণন ও কম্পন গতি) এবং অণুগুলির মধ্যকার আন্তঃআণবিক আকর্ষণ বলের দরুন স্থিতিশক্তির সমষ্টিকে ওই ব্যবস্থার অভ্যন্তরীণ শক্তি (Internal Energy, $U$) বলে:

আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে অণুগুলির মধ্যে কোনো আকর্ষণ বল নেই ($E_P = 0$), তাই আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি সম্পূর্ণভাবে গতিশক্তি এবং এটি কেবল তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে (জুলের সূত্র):

অবস্থা অপেক্ষক (State Function): অভ্যন্তরীণ শক্তি কেবল ব্যবস্থার বর্তমান অবস্থার উপর নির্ভর করে, কোনো পথ ধরে সেই অবস্থায় পৌঁছানো হয়েছে তার উপর নয়। যেকোনো চক্রীয় প্রক্রিয়ায় আদি অবস্থায় ফিরে এলে অভ্যন্তরীণ শক্তির নিট পরিবর্তন শূন্য হয়: $\oint dU = 0$।

$A$ প্রস্থচ্ছেদের চোঙে আবদ্ধ কোনো গ্যাস যদি $P$ চাপের বিরুদ্ধে পিস্টনকে $dx$ দূরত্ব ঠেলে প্রসারিত করে, তবে গ্যাস দ্বারা সম্পাদিত ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র যান্ত্রিক কার্য:

আয়তন $V_1$ থেকে $V_2$-তে প্রসারিত হলে মোট কৃতকার্য:

চিহ্ন সংক্রান্ত নিয়মাবলী (পদার্থবিদ্যায়):

• $W > 0$ (ধণাত্মক): গ্যাস দ্বারা পারিপার্শ্বিকের উপর সম্পাদিত কার্য (প্রসারণ, $dV > 0$)।
• $W < 0$ (ঋণাত্মক): পারিপার্শ্বিক দ্বারা গ্যাসের উপর সম্পাদিত কার্য (সংকোচন, $dV < 0$)।
• $Q > 0$ (ধণাত্মক): ব্যবস্থায় তাপ সরবরাহ করা হলে।
• $Q < 0$ (ঋণাত্মক): ব্যবস্থা থেকে তাপ নিষ্কাশিত বা বর্জিত হলে।

তাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্রটি তাপীয় প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে শক্তির সংরক্ষণ সূত্রের আনুষ্ঠানিক গাণিতিক রূপ:

ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পরিবর্তনের ক্ষেত্রে অবকলন রূপ:

মৌলিক তাৎপর্য: তাপ ($dQ$) এবং কার্য ($dW$) উভয়ই পথ-নির্ভর (Path Functions), কিন্তু তাদের অন্তরফল $dU = dQ - dW$ সম্পূর্ণ পথ-স্বাধীন এবং একটি যথাযথ অবকলন (Exact Differential) যা ব্যবস্থার অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন নির্দেশ করে।

যে প্রক্রিয়া অত্যন্ত ধীর গতিতে সম্পন্ন হয় যাতে ব্যবস্থার প্রতিটি অন্তর্বর্তী অবস্থা সর্বদা সাম্যাবস্থায় থাকে, তাকে স্থিরকল্প প্রক্রিয়া বলে।

আয়তন $V$-এর সাপেক্ষে প্রক্রিয়ার সমীকরণকে অবকলন করে নতি পাওয়া যায়:

• সমোষ্ণ রেখার নতি: $P V = \text{ধ্রুবক} \implies P\,dV + V\,dP = 0 \implies \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{P}{V}$
• রুদ্ধতাপীয় রেখার নতি: $P V^\gamma = \text{ধ্রুবক} \implies V^\gamma\,dP + \gamma P V^{\gamma-1}\,dV = 0 \implies \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\text{adi}} = -\gamma \frac{P}{V}$

আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ $P = nRT/V$ ব্যবহার করে রুদ্ধতাপীয় সমীকরণকে তিনটি রূপে প্রকাশ করা যায়:

মোলার তাপগ্রাহিতা ($C$): ১ মোল পদার্থের তাপমাত্রা ১ কেলভিন ($১^\circ\text{C}$) বৃদ্ধি করতে প্রয়োজনীয় তাপের পরিমাণ:

• স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ ($C_v$): যেহেতু $dV = 0 \implies dW = 0$, তাই প্রদত্ত সমস্ত তাপ কেবল অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধি করে: $C_v = \frac{1}{n}\left(\frac{dU}{dT}\right)_V$।
• স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ ($C_p$): স্থির চাপে উত্তপ্ত করলে গ্যাসের তাপমাত্রা বৃদ্ধির সাথে সাথে আয়তনও বৃদ্ধি পায়। ফলে প্রদত্ত তাপ কেবল অভ্যন্তরীণ শক্তি বাড়ায় না, সাথে পারিপার্শ্বিক চাপের বিরুদ্ধে বাহ্যিক যান্ত্রিক কার্য ($P\,dV$) সম্পাদন করে: $C_p = \frac{1}{n}\left(\frac{dQ}{dT}\right)_P$। তাই $C_p > C_v$।

ধরি ১ মোল ($n = 1$) আদর্শ গ্যাস নেওয়া হলো। তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্রানুসারে:

স্থির আয়তনে: $dV = 0 \implies dQ_v = dU = C_v\,dT$।

যেহেতু আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি কেবল তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে, তাই $dU = C_v\,dT$ রাশিটি যেকোনো প্রক্রিয়ায় $dT$ তাপমাত্রা পরিবর্তনের জন্য সর্বদাই প্রযোজ্য।

স্থির চাপে: $dQ_p = C_p\,dT$। প্রথম সূত্রে মান বসালে:

১ মোল আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ: $P V = R T$। স্থির চাপে অবকলন করলে:

এই মানটি প্রথম সূত্রের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে:

উভয়পক্ষকে $dT$ দিয়ে ভাগ করলে মেয়ারের সম্পর্ক প্রমাণিত হয়:

শক্তির সমবণ্টন নীতি: পরম তাপমাত্রা $T$-এ তাপীয় সাম্যাবস্থায় থাকা কোনো ব্যবস্থার প্রতিটি স্বাধীন স্বাতন্ত্র্য মাত্রার সাথে যুক্ত গড় গতিশক্তি $\frac{1}{2} k_B T$।

$f$ স্বাতন্ত্র্য মাত্রাবিশিষ্ট ১ মোল গ্যাসের ক্ষেত্রে ($N_A k_B = R$):

১ম সূত্র শক্তির সংরক্ষণ নিশ্চিত করে কিন্তু ভৌত প্রক্রিয়ার স্বতঃস্ফূর্ত দিক নির্ধারণ করতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, কাঠের গুঁড়িতে গুলি বিধে থেমে গেলে সম্পূর্ণ গতিশক্তি তাপে পরিণত হয়; কিন্তু সেই তাপ পুনরায় একত্রিত হয়ে গুলিকে পেছনে ছুড়ে মারতে পারে না, যদিও তা ১ম সূত্র লঙ্ঘন করে না। তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্র বাস্তব পরিবর্তনের অভিমুখ নির্দেশ করে।

উভয় বিবৃতির সমতুল্যতা: কেলভিন-প্লাঙ্কের বিবৃতি লঙ্ঘিত হলে ক্লসিয়াসের বিবৃতিও লঙ্ঘিত হয় এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য। এগুলি একই মহাজাগতিক নিয়মের দুটি রূপ মাত্র।

তাপীয় ইঞ্জিন (Heat Engine): এমন একটি চক্রীয় ব্যবস্থা যা তাপশক্তিকে অবিচ্ছিন্নভাবে যান্ত্রিক কার্যে রূপান্তরিত করে:

1. উচ্চ তাপমাত্রার ($T_1$) উৎস থেকে $Q_1$ তাপ শোষণ করে।
2. কিছু পরিমাণ যান্ত্রিক কার্য $W$ সম্পাদন করে।
3. অবশিষ্ট অপচয়ী তাপ $Q_2$ নিম্ন তাপমাত্রার ($T_2$) গ্রাহকে বর্জন করে।

পূর্ণ চক্রে $\Delta U = 0$ হওয়ায়: $W = Q_1 - Q_2$। ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা (Efficiency, $\eta$):

রেফ্রিজারেটর: এটি একটি বিপরীত তাপীয় ইঞ্জিন। চক্রাকারে কার্য করে এটি নিম্ন তাপমাত্রার ($T_2$) শীতল চেম্বার থেকে $Q_2$ তাপ গ্রহণ করে এবং মোটর চালিত বাহ্যিক কার্য $W$-এর সাহায্যে উচ্চ তাপমাত্রার ($T_1$) পারিপার্শ্বিকে $Q_1 = Q_2 + W$ তাপ বর্জন করে।

রেফ্রিজারেটরের দক্ষতা নির্দেশক রাশি হলো কার্যকারিতা গুণাঙ্ক (Coefficient of Performance, COP, $\beta$):

ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা $\eta$ ও রেফ্রিজারেটরের $\beta$-র সম্পর্ক:

১৮২৪ সালে ফরাসি প্রকৌশলী সাদি কার্নো একটি আদর্শ ঘর্ষণহীন পরাবর্ত চক্রীয় তাপ ইঞ্জিনের কল্পনা করেন যা $T_1$ তাপমাত্রার উৎস এবং $T_2$ তাপমাত্রার গ্রাহকের মাঝে কার্য সম্পাদন করে। এতে ১ মোল আদর্শ গ্যাস চারটি পরাবর্ত পর্যায় অতিক্রম করে:

1. ১ম পর্যায় (১ $\to$ ২): পরাবর্ত সমোষ্ণ প্রসারণ (উৎস তাপমাত্রা $T_1$-এ):
   সিলিন্ডারটিকে $T_1$ তাপমাত্রার উৎসের উপর রাখা হয়। গ্যাসটি ধীরে ধীরে $(P_1, V_1)$ থেকে $(P_2, V_2)$-তে প্রসারিত হয়। $\Delta T = 0 \implies \Delta U = 0$ হওয়ায় শোষিত তাপই কৃতকার্য:$$Q_1 = W_{1\to 2} = R T_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$
2. ২য় পর্যায় (২ $\to$ ৩): পরাবর্ত রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ ($T_1$ থেকে গ্রাহক $T_2$-এ):
   সিলিন্ডারটিকে তাপ নিরোধক বেদীর উপর রাখা হয় ($dQ = 0$)। গ্যাসটি প্রসারিত হয়ে $(P_3, V_3)$ অবস্থায় পৌঁছায় এবং তাপমাত্রা $T_1$ থেকে $T_2$-তে নেমে আসে:$$W_{2\to 3} = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}, \quad \text{শর্ত: } T_1 V_2^{\gamma-1} = T_2 V_3^{\gamma-1}$$
3. ৩য় পর্যায় (৩ $\to$ ৪): পরাবর্ত সমোষ্ণ সংকোচন (গ্রাহক তাপমাত্রা $T_2$-এ):
   সিলিন্ডারটিকে $T_2$ তাপমাত্রার গ্রাহকের উপর রাখা হয়। গ্যাসকে ধীরে ধীরে সংকুচিত করে $(P_4, V_4)$ অবস্থায় আনা হয় এবং $Q_2$ তাপ গ্রাহকে বর্জিত হয়:$$Q_2 = -W_{3\to 4} = R T_2 \ln\left(\frac{V_3}{V_4}\right)$$
4. ৪র্থ পর্যায় (৪ $\to$ ১): পরাবর্ত রুদ্ধতাপীয় সংকোচন ($T_2$ থেকে পুনরায় $T_1$-এ):
   সিলিন্ডারটিকে পুনরায় তাপ নিরোধক বেদীতে রাখা হয় ($dQ = 0$)। গ্যাসকে সংকুচিত করে আদি অবস্থা $(P_1, V_1)$-এ ফিরিয়ে আনা হয় এবং তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেয়ে $T_1$ হয়:$$W_{4\to 1} = -\frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}, \quad \text{শর্ত: } T_2 V_4^{\gamma-1} = T_1 V_1^{\gamma-1}$$

সম্পূর্ণ চক্রে নিট কৃতকার্য চারটি অংশের সমষ্টির সমান:
$$W_{\text{net}} = W_{1\to 2} + W_{2\to 3} + W_{3\to 4} + W_{4\to 1}$$
যেহেতু রুদ্ধতাপীয় কার্য দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী ($W_{2\to 3} + W_{4\to 1} = 0$), তাই নিট কার্য:$$W_{\text{net}} = Q_1 - Q_2 = R T_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) - R T_2 \ln\left(\frac{V_3}{V_4}\right)$$
রুদ্ধতাপীয় সম্পর্ক দুটি থেকে পাই: $T_1 V_2^{\gamma-1} = T_2 V_3^{\gamma-1}$ এবং $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_4^{\gamma-1}$। ভাগ করলে:$$\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1} \implies \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4}$$
অতএব তাপের অনুপাত দাঁড়ায়: $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$।

কার্নোর উপপাদ্য (Carnot's Theorem):

1. দুটি নির্দিষ্ট তাপমাত্রার উৎসের মধ্যে কার্যরত কোনো বাস্তব ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা ওই একই তাপমাত্রাদ্বয়ের মাঝে কার্যরত পরাবর্ত কার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতার চেয়ে বেশি হতে পারে না ($\eta_{\text{real}} \le \eta_{\text{Carnot}}$)।
2. একই তাপমাত্রাদ্বয়ের মধ্যে কার্যরত সমস্ত পরাবর্ত ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা সমান, তা কার্যকরী পদার্থের প্রকৃতির উপর একেবারেই নির্ভর করে না।

যেহেতু দক্ষতা কেবল তাপমাত্রার অনুপাত $T_2/T_1$-এর উপর নির্ভর করে, লর্ড কেলভিন এই সম্পর্কের ভিত্তিতে পদার্থের প্রকৃতি-নিরপেক্ষ পরম তাপগতীয় তাপমাত্রা স্কেল (Absolute Thermodynamic Scale) প্রবর্তন করেন।