গতির সূত্র

প্রাচীন গ্রিক দার্শনিক অ্যারিস্টটলের ধারণা ছিল: "কোনো বস্তুকে সমবেগে গতিশীল রাখতে সর্বদা একটি বাহ্যিক বল প্রয়োগ করা আবশ্যক।" তিনি চারপাশের ঘর্ষণযুক্ত পরিবেশ দেখে এই সিদ্ধান্তে এসেছিলেন।

বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি তার বিখ্যাত দ্বৈত আনত তলের পরীক্ষার (Double Inclined Plane Experiment) মাধ্যমে এই ভ্রান্তি খণ্ডন করেন:

• একটি মসৃণ আনত তল থেকে গড়িয়ে পড়া বল বিপরীত পাশের অপর একটি আনত তল বেয়ে প্রায় একই উল্লম্ব উচ্চতায় ওঠে।
• দ্বিতীয় তলের ঢাল ক্রমশ হ্রাস করলে বলটিকে একই উচ্চতায় পৌঁছাতে ক্রমান্বয়ে অধিক দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়।
• যদি দ্বিতীয় তলটিকে সম্পূর্ণ অনুভূমিক করা হয়, তবে বলটি পূর্বের উচ্চতা ফিরে পাওয়ার চেষ্টায় সমদ্রুতিতে অনন্ত দূরত্ব ধরে চলতে থাকবে!

গ্যালিলিও এই সিদ্ধান্তে উপনীত হন যে, সরলরেখায় সমবেগে গতিশীল থাকা বস্তুর স্বাভাবিক ধর্ম; ঘর্ষণ ও বায়ুর বাধার মতো প্রতিরোধী বল উপস্থিত থাকায় বস্তু থেমে যায়। বাহ্যিক বাধা সম্পূর্ণ দূর করলে বস্তুর গতি বজায় রাখতে কোনো বলের প্রয়োজন হয় না।

বস্তুর যে ধর্মের জন্য সে তার স্থির অবস্থা বা সরলরেখায় সমবেগে গতির অবস্থার পরিবর্তন ঘটাতে বাধা দেয়, তাকে জাড্য (Inertia) বলে।

• স্থিতিজাড্য (Inertia of Rest): স্থির বস্তুর চিরকাল স্থির থাকার প্রবণতা। উদাহরণ: বাস হঠাৎ চলতে শুরু করলে যাত্রীরা পেছনের দিকে হেলে পড়েন; কম্বলকে লাঠি দিয়ে পেটালে ধূলিকণা স্থির থেকে নিচে ঝরে পড়ে।
• গতিজাড্য (Inertia of Motion): গতিশীল বস্তুর সমবেগে সরলরেখায় চলতে থাকার প্রবণতা। উদাহরণ: চলন্ত বাস হঠাৎ ব্রেক কষলে যাত্রীরা সামনের দিকে ঝুঁকে পড়েন; দীর্ঘ লাফ (Long jump)-এর আগে প্রতিযোগী কিছুটা দূর থেকে দৌড়ে আসে।
• দিকজাড্য (Inertia of Direction): গতির অভিমুখ বজায় রাখার প্রবণতা। উদাহরণ: চলন্ত গাড়ি হঠাৎ বাঁক নিলে যাত্রীরা বাইরের দিকে হেলে যান; ঘূর্ণায়মান চাকার কাদা স্পর্শক বরাবর ছিটকে যায়।
• জাড্যের পরিমাপক: বস্তুর ভর ($m$) হলো তার জাড্যের পরিমাপক। ভারী বস্তুর জাড্য হালকা বস্তুর চেয়ে অনেক বেশি।

প্রথম সূত্র থেকে দুটি মৌলিক ধারণা পাওয়া যায়:

1. বলের গুণগত সংজ্ঞা: যা প্রয়োগ করে কোনো বস্তুর স্থির বা গতিশীল অবস্থার পরিবর্তন করা হয় বা করার চেষ্টা করা হয়, তাকে বল (Force) বলে।
2. জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্রের সংজ্ঞা: যে নির্দেশতন্ত্রে নিউটনের গতিসূত্রগুলো অক্ষরে অক্ষরে প্রযোজ্য হয়, তাকে জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্র (Inertial Frame) বলে।

যে নির্দেশতন্ত্র কোনো জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্রের সাপেক্ষে ত্বরান্বিত বা ঘূর্ণায়মান থাকে, তাকে অজড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্র বলে। এই নির্দেশতন্ত্রে নিউটনের সূত্র প্রয়োগ করতে একটি কাল্পনিক বল বা অলিক বল ($ec{F}_{ ext{pseudo}}$) বিবেচনা করতে হয়:

যেখানে $m$ হলো পর্যবেক্ষণাধীন বস্তুর ভর এবং $ec{a}_0$ হলো নির্দেশতন্ত্রের নিজস্ব ত্বরণ। অলিক বল সর্বদা নির্দেশতন্ত্রের ত্বরণের বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।

একটি ধীরগতির ভারী ট্রাক এবং একটি দ্রুতগতির হালকা বুলেট—উভয়কেই থামাতে বিপুল বলের প্রয়োজন হয়। কোনো গতিশীল বস্তুর ভর ও বেগের সমন্বয়ে যে গতির পরিমাণের সৃষ্টি হয়, তাকে রৈখিক ভরবেগ (Linear Momentum) বলে:

• এটি একটি ভেক্টর রাশি এবং এর অভিমুখ বেগের অভিমুখে থাকে।
• SI একক: $ ext{kg}\cdot ext{m/s}$ বা $ ext{N}\cdot ext{s}$; CGS একক: $ ext{g}\cdot ext{cm/s}$ বা $ ext{dyn}\cdot ext{s}$।
• মাত্রা সংকেত: $[M L T^{-1}]$।

গাণিতিক রূপ: $$ec{F} \propto rac{dec{p}}{dt} \implies ec{F} = krac{dec{p}}{dt}$$ এসআই ও সিজিএস এককে ধ্রুবক $k = 1$ ধরে: $$ec{F} = rac{dec{p}}{dt} = rac{d(mec{v})}{dt} = mrac{dec{v}}{dt} + ec{v}rac{dm}{dt}$$

যদি বস্তুর ভর ধ্রুবক থাকে ($rac{dm}{dt} = 0$), তবে সমীকরণটি হয়: $$\mathbf{ec{F} = mec{a}}$$

উপাংশ আকারে: $F_x = m a_x = mrac{d^2x}{dt^2}$, $F_y = m a_y$, $F_z = m a_z$।

খুব অল্প সময়ের জন্য কোনো বস্তুর ওপর একটি বৃহৎ মানের বল প্রযুক্ত হলে তাকে ঘাত বল বলে। বল এবং ক্রিয়াকালের গুণফলকে বলের ঘাত (Impulse, $ec{J}$) বলে:

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে পাই $ec{F}\,dt = dec{p}$। নির্দিষ্ট সমাকলন করলে পাওয়া যায় ঘাত-ভরবেগ উপপাদ্য (Impulse-Momentum Theorem): $$\mathbf{ec{J} = \Deltaec{p} = ec{p}_2 - ec{p}_1 = mec{v}_2 - mec{v}_1}$$

• বলের ঘাত বস্তুর রৈখিক ভরবেগের পরিবর্তনের সমান।
• বল-সময় ($F ext{--}t$) লেখচিত্রের আবদ্ধ ক্ষেত্রফল বলের ঘাত অর্থাৎ ভরবেগের পরিবর্তন নির্দেশ করে।
• বাস্তব প্রয়োগ ($F_{ ext{avg}} = rac{\Delta p}{\Delta t}$):
  • ক্রিকেটার ক্যাচ নেওয়ার সময় হাত পেছনে টেনে নেয়: সময়কাল $\Delta t$ বৃদ্ধি করে বলের আঘাতের তীব্রতা বা গড় বল $F_{ ext{avg}}$ বহুলাংশে কমিয়ে ফেলা হয়।
  • গাড়ির এয়ারব্যাগ ও ক্র্যাম্পল জোন যাত্রীর মাথায় ও বুকে আঘাতের সময়কাল বাড়িয়ে দেয়।
  • পাকা মেঝের চেয়ে বালির ওপর লাফ দিলে কম আঘাত লাগে।

রকেটে জ্বালানি দহনের ফলে নির্গত গ্যাস পেছন দিক দিয়ে $v_{ ext{rel}}$ আপেক্ষিক বেগে বের হয়ে যায়, ফলে রকেটের ভর অনবরত কমতে থাকে ($-rac{dm}{dt}$):

• রকেটের ওপর প্রযুক্ত ঊর্ধ্বমুখী ধাক্কা বল (Thrust): $$F_{ ext{thrust}} = -v_{ ext{rel}}rac{dm}{dt}$$
• $t$ সময়ে রকেটের নিট ঊর্ধ্বমুখী ত্বরণ: $$a = rac{v_{ ext{rel}}}{m}\left(-rac{dm}{dt} ight) - g$$
• বার্ন-আউট বেগ (সিয়োলকোভস্কি সমীকরণ): $$v = u + v_{ ext{rel}}\ln\left(rac{m_0}{m} ight) - gt$$

যেখানে $ec{F}_{AB}$ হলো $B$ বস্তু কর্তৃক $A$ বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বল, এবং $ec{F}_{BA}$ হলো $A$ কর্তৃক $B$-এর ওপর প্রতিক্রিয়া বল।

গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগত স্তম্ভ:

• প্রকৃতিতে বল সর্বদা জোড়ায় জোড়ায় (in pairs) উৎপন্ন হয়; কোনো একক বিচ্ছিন্ন বলের অস্তিত্ব নেই।
• ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া সর্বদা যুগপৎ (simultaneous) ঘটে; এদের মধ্যে কোনো কার্যকারণ বা সময়ের ব্যবধান থাকে না।
• ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া সর্বদা দুটি ভিন্ন বস্তুর ওপর কাজ করে। অতএব, তারা কখনোই পরস্পরকে প্রশমিত বা বাতিল করে সাম্যাবস্থা তৈরি করতে পারে না! সাম্যাবস্থার জন্য বলগুলিকে একই বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল হতে হয়।

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রকে আসল গতিসূত্র বলা হয় কারণ প্রথম ও তৃতীয় উভয় সূত্রই দ্বিতীয় সূত্রের ভেতরে নিহিত থাকে।

১. দ্বিতীয় সূত্র থেকে প্রথম সূত্র প্রতিপাদন:

দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে $ec{F} = mec{a}$। যদি বস্তুর ওপর কোনো বাহ্যিক বল কাজ না করে ($ec{F} = ec{0}$): $$mec{a} = ec{0} \implies ec{a} = ec{0} \quad (ecause ext{ভর } m eq 0)$$ $$rac{dec{v}}{dt} = ec{0} \implies ec{v} = ext{ধ্রুবক}$$ অর্থাৎ বাহ্যিক বল শূন্য হলে স্থির বস্তু স্থির থাকে এবং গতিশীল বস্তু সমবেগে সরলরেখায় চলে। এটিই নিউটনের প্রথম সূত্র!

২. দ্বিতীয় সূত্র থেকে তৃতীয় সূত্র প্রতিপাদন:

ধরা যাক, বাহ্যিক বলমুক্ত একটি বিচ্ছিন্ন সংস্থায় দুটি কণা $A$ ও $B$ পরস্পরের ওপর বল প্রয়োগ করছে ($\sumec{F}_{ ext{ext}} = ec{0}$)।

$B$ কর্তৃক $A$-এর ওপর প্রযুক্ত বল $ec{F}_{AB} = rac{dec{p}_A}{dt}$, এবং $A$ কর্তৃক $B$-এর ওপর প্রযুক্ত বল $ec{F}_{BA} = rac{dec{p}_B}{dt}$।

সমগ্র সংস্থার ওপর প্রযুক্ত মোট বল: $$ec{F}_{ ext{net}} = rac{d}{dt}(ec{p}_A + ec{p}_B) = ec{F}_{AB} + ec{F}_{BA}$$ যেহেতু কোনো বাহ্যিক বল নেই, তাই $ec{F}_{ ext{net}} = ec{0}$: $$ec{F}_{AB} + ec{F}_{BA} = ec{0} \implies \mathbf{ec{F}_{AB} = -ec{F}_{BA}}$$ এটিই নিউটনের তৃতীয় সূত্র!

গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ:

• বন্দুকের প্রতিক্ষেপ (Recoil of a Gun): গুলির ভর $m$ ও বেগ $ec{v}$, বন্দুকের ভর $M$ ও প্রতিক্ষেপ বেগ $ec{V}$ হলে: $$mec{v} + Mec{V} = ec{0} \implies \mathbf{ec{V} = -rac{m}{M}ec{v}}$$ যেহেতু বন্দুকের ভর গুলির চেয়ে অনেক বেশি ($M \gg m$), তাই বন্দুকের পেছনমুখী প্রতিক্ষেপ বেগ অনেক কম হয় ($V \ll v$)।
• স্থির বোমার বিস্ফোরণ: $M$ ভরের স্থির বোমা বিস্ফোরিত হয়ে $m_1$ ও $m_2$ ভরের দুটি খণ্ডে বিভক্ত হলে: $$m_1ec{v}_1 + m_2ec{v}_2 = ec{0} \implies m_1ec{v}_1 = -m_2ec{v}_2$$ টুকরো দুটি ঠিক বিপরীত দিকে তাদের ভরের ব্যস্তানুপাতে ছিটকে যায়।

যেসব বলের ক্রিয়াশীল রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়, তাদের সমবিন্দু বল (Concurrent Forces) বলে। সমবিন্দু বলসমূহের অধীনে কোনো কণা স্থানান্তরণ সাম্যাবস্থায় (Translational Equilibrium) থাকবে যদি বলগুলির ভেক্টর যোগফল শূন্য হয়:

লামির উপপাদ্য: কোনো কণার ওপর ক্রিয়াশীল তিনটি সমতলীয় সমবিন্দু বল $ec{P}, ec{Q}, ec{R}$ সাম্যাবস্থায় থাকলে, প্রতিটি বল অপর দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইন (sine)-এর সমানুপাতিক হয়:

একটি জটিল সংস্থায় নির্দিষ্ট কোনো বস্তুকে তার চারপাশের সংযোগ বিচ্ছিন্ন করে কেবল তার ওপর প্রযুক্ত সমস্ত প্রত্যক্ষ স্পর্শ বল (লম্ব প্রতিক্রিয়া $N$, টান $T$, ঘর্ষণ $f$) এবং দূরবর্তী বল (ওজন $mg$) ভেক্টর আকারে উপস্থাপন করার প্রক্রিয়াকে Free Body Diagram (FBD) বলে।

একটি ঘর্ষণহীন ভরহীন কপিকলের ওপর দিয়ে বিস্তৃত অপ্রসার্য সুতোর দুই প্রান্তে $m_1$ ও $m_2$ দুটি ভর ঝুলন্ত ($m_1 > m_2$):

• ভারী ভর $m_1$-এর FBD: $m_1 g - T = m_1 a$
• হালকা ভর $m_2$-এর FBD: $T - m_2 g = m_2 a$
• সংস্থার সাধারণ ত্বরণ ($a$): $$\mathbf{a = \left(rac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} ight)g}$$
• সুতোর টান ($T$): $$\mathbf{T = \left(rac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2} ight)g}$$
• কপিকলের অ্যাক্সেলে চাপ বল: $2T = rac{4m_1 m_2}{m_1 + m_2}g$।

লিফটের মেঝেতে রাখা স্প্রিং তুলাযন্ত্রের ওপর $m$ ভরের ব্যক্তি দাঁড়ালে তুলাযন্ত্রটি মেঝের লম্ব প্রতিক্রিয়া $R$ পাঠ করে:

দুটি সংস্পর্শে থাকা তলের মধ্যে আপেক্ষিক গতি বা গতির চেষ্টা থাকলে তাদের স্পর্শতল বরাবর যে বিরোধিতাকারী বলের সৃষ্টি হয়, তাকে ঘর্ষণ বল (Frictional Force) বলে।

• প্রাচীন ধারণা: স্পর্শতলের আণুবীক্ষণিক অসমান্তরাল খাঁজের (asperities) যান্ত্রিক ইন্টারলকিং।
• আধুনিক আণবিক ধারণা: আণুবীক্ষণিক স্তরে প্রকৃত স্পর্শ ক্ষেত্রফল মোট দৃশ্যমান ক্ষেত্রফলের মাত্র ০.০১% অংশ। এই ক্ষুদ্র স্পর্শবিন্দুগুলোতে বিপুল চাপের কারণে পদার্থের অণুগুলির মধ্যে শক্তিশালী কোল্ড-ওয়েল্ডিং (Cold welding) বন্ধন তৈরি হয়। তল দুটিকে সরাতে হলে এই আণবিক বন্ধনগুলো ছিন্ন করতে হয়, যার ফলস্বরূপ ঘর্ষণ বলের উদ্ভব ঘটে।

• স্থিত ঘর্ষণ ($f_s$): দুটি তলের আপেক্ষিক গতি সৃষ্টির চেষ্টার বিরুদ্ধে যে ঘর্ষণ কাজ করে। এটি একটি স্ব-নিয়ন্ত্রণকারী বল (Self-adjusting force), যা প্রযুক্ত বলের সমান হয় ($0 \le f_s \le f_L$)।
• সীমাস্ত ঘর্ষণ ($f_L$): স্থিত ঘর্ষণের সর্বোচ্চ মান, যার অতিরিক্ত বল প্রয়োগ করলে বস্তুটি গতিশীল হয়ে পড়ে।
• চল ঘর্ষণ ($f_k$): বস্তু যখন বাস্তবে পিছলে চলতে থাকে, তখন যে ঘর্ষণ বল গতিকে বাধা দেয় ($f_k < f_L$)।
• আবর্ত ঘর্ষণ ($f_r$): চাকা বা গোলক গড়িয়ে চলার সময় উৎপন্ন ঘর্ষণ। তলের সামান্য বিকৃতির কারণে উৎপন্ন হয় এবং $f_r \ll f_k \ll f_L$।

সীমাস্ত ঘর্ষণের সূত্রাবলী (Amontons-Coulomb Laws):

1. সীমাস্ত ঘর্ষণ সর্বদা লম্ব প্রতিক্রিয়ার সমানুপাতিক: $\mathbf{f_L = \mu_s N}$।
2. স্পর্শতলের আপাত ক্ষেত্রফলের ওপর নির্ভর করে না।
3. স্পর্শতলের প্রকৃতি ও উপাদানের ওপর নির্ভর করে।

অনুরূপভাবে চল ঘর্ষণ: $\mathbf{f_k = \mu_k N}$ (যেখানে $\mu_k < \mu_s$)। গুণাঙ্কদ্বয় মাত্রাহীন ও এককহীন সংখ্যা।

• লম্ব প্রতিক্রিয়া: $N = mg\cos heta$। তলের সমান্তরাল অভিকর্ষজ উপাংশ: $mg\sin heta$।
• তলের নতি স্থিতি কোণের বেশি হলে ($ heta > ext{স্থিতি কোণ}$), নিচে নামার ত্বরণ: $$a = g(\sin heta - \mu_k\cos heta)$$
• বস্তুকে আনত তল বেয়ে সমবেগে ওপরের দিকে টানার ন্যূনতম বল: $$F_{ ext{up}} = mg(\sin heta + \mu_s\cos heta)$$

$r$ ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে $v$ সমদ্রুতিতে ঘূর্ণায়মান $m$ ভরের কোনো কণার অভিকেন্দ্র ত্বরণ $a_c = v^2/r$ বজায় রাখতে যে কেন্দ্রাভিমুখী বল প্রয়োজন, তাকে অভিকেন্দ্র বল ($F_c$) বলে:

সমতল অনুভূমিক রাস্তায় গাড়ি ঘোরার সময় কেবল টায়ার ও রাস্তার মধ্যবর্তী স্থিত ঘর্ষণ বলই কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করে:

অতএব, সমতল রাস্তায় সর্বোচ্চ নিরাপদ দ্রুতি: $$\mathbf{v_{\max} = \sqrt{\mu_s r g}}$$ গাড়ির দ্রুতি এর বেশি হলে ঘর্ষণ বল কেন্দ্রাভিমুখী বলের চাহিদা মেটাতে পারে না এবং গাড়িটি বৃত্তের বাইরের দিকে ছিটকে যায়।

বৃষ্টি, বরফ বা টায়ার ক্ষয়ের কারণে ঘর্ষণের ওপর সম্পূর্ণ নির্ভর করা অনিরাপদ। তাই বাঁকা রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভেতরের প্রান্তের তুলনায় অনুভূমিকের সাথে $ heta$ কোণে কিছুটা উঁচু করা হয়, একে ব্যাংকিং বলে।

১. ঘর্ষণহীন ব্যাংকিং (অনুকূল বা ডিজাইন দ্রুতি $v_{ ext{opt}}$):

লম্ব প্রতিক্রিয়া $N$-এর উল্লম্ব উপাংশ গাড়ির ওজনকে এবং অনুভূমিক উপাংশ অভিকেন্দ্র বলের যোগান দেয়:

• $N\cos heta = mg$
• $N\sin heta = rac{mv^2}{r}$
• ভাগ করে পাই: $\mathbf{ an heta = rac{v^2}{rg}}$
• অনুকূল দ্রুতি (যেখানে টায়ারের কোনো ক্ষয় হয় না): $$\mathbf{v_{ ext{opt}} = \sqrt{rg an heta}}$$

২. অমসৃণ ব্যাংকড রাস্তায় ঘর্ষণযুক্ত নিরাপদ দ্রুতির সীমা:

• বাইরের দিকে ছিটকে না পড়ার সর্বোচ্চ নিরাপদ দ্রুতি ($v_{\max}$): $$\mathbf{v_{\max} = \sqrt{rg\left(rac{\mu_s + an heta}{1 - \mu_s an heta} ight)}}$$
• ভেতরের দিকে পিছলে না পড়ার সর্বনিম্ন দ্রুতি ($v_{\min}$): $$\mathbf{v_{\min} = \sqrt{rg\left(rac{ an heta - \mu_s}{1 + \mu_s an heta} ight)}}$$

বাঁক নেওয়ার সময় সাইকেল আরোহী নিজেকে উল্লম্বের সাথে ভেতরের দিকে $ heta$ কোণে হেলিয়ে দেন, যার ফলে ভূমির প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক উপাংশ অভিকেন্দ্র বল সরবরাহ করে: