কণাসমূহ ও দৃঢ় বস্তুর ঘূর্ণন গতি

কোনো কণা-সংস্থার ভরকেন্দ্র (Centre of Mass - CM) হলো এমন একটি অনন্য কাল্পনিক বিন্দু, যেখানে সংস্থাটির সমগ্র ভর পুঞ্জীভূত আছে বলে বিবেচনা করা যায় এবং সংস্থাটির ওপর প্রযুক্ত সমস্ত বাহ্যিক বলের লব্ধি সরাসরি ওই বিন্দুতেই প্রযুক্ত হলে যে চলন গতি সৃষ্টি হতো, সমগ্র সংস্থাটি ঠিক সেই চলন গতি প্রদর্শন করে।

যদি কোনো সংস্থায় $m_1, m_2, \dots, m_N$ ভরের $N$-সংখ্যক কণার অবস্থান ভেক্টর কোনো মূলবিন্দুর সাপেক্ষে যথাক্রমে $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_N$ হয়, তবে ভরকেন্দ্রের অবস্থান ভেক্টর $\vec{R}_{\text{cm}}$ হবে:

যেখানে $M = \sum m_i$ হলো সমগ্র সংস্থার মোট ভর। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে:

অবিচ্ছিন্ন বিস্তীর্ণ বস্তুর ক্ষেত্রে সমষ্টি চিহ্নের পরিবর্তে সমাকলন (integration) ব্যবহৃত হয়: $\vec{R}_{\text{cm}} = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm$। কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ প্রতিসম বস্তুর ভরকেন্দ্রের অবস্থান:

• সুষম সরু দণ্ড (দৈর্ঘ্য $L$): দণ্ডের মধ্যবিন্দুতে ($x_{\text{cm}} = L/2$)।
• অর্ধবৃত্তাকার সরু রিং বা তার (ব্যাসার্ধ $R$): প্রতিসাম্য অক্ষ বরাবর কেন্দ্র থেকে $y_{\text{cm}} = \frac{2R}{\pi}$ দূরত্বে।
• অর্ধবৃত্তাকার পাত বা চাকতি (ব্যাসার্ধ $R$): প্রতিসাম্য অক্ষ বরাবর কেন্দ্র থেকে $y_{\text{cm}} = \frac{4R}{3\pi}$ দূরত্বে।
• ফাঁপা গোলকার্ধ বা বাটি (ব্যাসার্ধ $R$): কেন্দ্রবিন্দু থেকে অক্ষ বরাবর $y_{\text{cm}} = \frac{R}{2}$ দূরত্বে।
• নিরেট গোলকার্ধ (ব্যাসার্ধ $R$): কেন্দ্রবিন্দু থেকে অক্ষ বরাবর $y_{\text{cm}} = \frac{3R}{8}$ দূরত্বে।
• নিরেট শঙ্কু (উচ্চতা $h$): বৃত্তাকার ভূমির কেন্দ্র থেকে অক্ষ বরাবর $y_{\text{cm}} = \frac{h}{4}$ দূরত্বে।

সময় $t$-এর সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টরকে অবকলন করলে ভরকেন্দ্রের বেগ পাওয়া যায়:

পুনরায় অবকলন করলে ভরকেন্দ্রের ত্বরণ পাওয়া যায়:

নিউটনীয় তৃতীয় সূত্র অনুসারে সংস্থার কণাগুলির মধ্যকার সমস্ত অভ্যন্তরীণ পারস্পরিক ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া বল পরস্পর সমান ও বিপরীতমুখী হওয়ায় তাদের ভেক্টর সমষ্টি শূন্য: $\sum \vec{F}_{\text{int}} = 0$। অতএব:

ভরকেন্দ্রের ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র: যদি সংস্থার ওপর কোনো বাহ্যিক বল ক্রিয়া না করে ($\vec{F}_{\text{ext}} = 0$), তবে $\vec{A}_{\text{cm}} = 0$ এবং ভরকেন্দ্রের বেগ $\vec{V}_{\text{cm}}$ চিরকাল ধ্রুবক থাকে। যেমন, আকাশে প্রক্ষিপ্ত কোনো বোমা অভ্যন্তরীণ বিস্ফোরণে শত টুকরো হয়ে বিভিন্ন দিকে ছিটকে গেলেও, তার ভরকেন্দ্রটি পূর্বনির্ধারিত অধিবৃত্তাকার পথেই গতিশীল থাকে।

ভরকেন্দ্র (Centre of Mass): যে বিন্দুতে বস্তুর সমস্ত ভর পুঞ্জীভূত থাকে। ভারকেন্দ্র (Centre of Gravity): যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে বস্তুর ওপর পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বলের লব্ধি বা ওজন ক্রিয়া করে। সুষম অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে CM ও CG হুবহু একই বিন্দুতে অবস্থান করে। কিন্তু মহাকাশে বা বহুকিলোমিটার দীর্ঘ কোনো সুবিশাল কাঠামোর ক্ষেত্রে পৃথিবীর অভিকর্ষজ ক্ষেত্র সুষম না হওয়ায় নিচের অংশ বেশি অভিকর্ষ বল অনুভব করে, ফলে ভারকেন্দ্রটি ভরকেন্দ্রের কিছুটা নিচে অবস্থান করে।

$\vec{A}$ ও $\vec{B}$ দুটি ভেক্টর পরস্পরের সাথে $\theta$ কোণে আনত থাকলে তাদের ভেক্টর গুণফল হলো এমন একটি ভেক্টর $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$, যার মান:

এবং যার অভিমুখ ডানহাতের করতল নিয়ম অনুসারে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ উভয় ভেক্টরের তলের সাথে লম্ব ($C = AB\sin\theta\,\hat{n}$)।

মূল বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না: $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
• সমান্তরাল ভেক্টর: দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে $\theta = 0^\circ \implies \vec{A} \times \vec{B} = 0$। ফলে $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$।
• পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$।
• নির্ণায়ক (Determinant) রূপ:$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = \hat{i}(A_y B_z - A_z B_y) - \hat{j}(A_x B_z - A_z B_x) + \hat{k}(A_x B_y - A_y B_x)$$
• জ্যামিতিক তাৎপর্য: $|\vec{A} \times \vec{B}|$-এর মান $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ বাহু দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}|\vec{A} \times \vec{B}|$।

কোনো ঘূর্ণন অক্ষ বা নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বলের ঘূর্ণন প্রবণতার পরিমাপকে টর্ক বা বলের ভ্রামক বলে। মূলবিন্দুর সাপেক্ষে $\vec{r}$ অবস্থান ভেক্টরে $\vec{F}$ বল ক্রিয়াশীল হলে টর্ক:

টর্কের মান $\tau = r F \sin\theta = F (r\sin\theta) = F \cdot r_\perp$, যেখানে $r_\perp = r\sin\theta$ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের ক্রিয়াশীল রেখার লম্ব দূরত্ব বা বাহু (lever arm)। একক: নিউটন-মিটার ($\text{N}\cdot\text{m}$), মাত্রা: $[ML^2T^{-2}]$।

কোনো ঘূর্ণন অক্ষ বা বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো গতিশীল কণার রৈখিক ভরবেগের ভ্রামককে কণাটির কৌণিক ভরবেগ বলে। রৈখিক ভরবেগ $\vec{p} = m\vec{v}$ এবং অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}$ হলে:

মান: $L = r p \sin\theta = m v r \sin\theta = p \cdot r_\perp$। একক: $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ বা জুল-সেকেন্ড ($\text{J}\cdot\text{s}$), মাত্রা: $[ML^2T^{-1}]$ (প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক $h$-এর সমতুল্য)।

সময়ের সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগ $\vec{L}$-কে অবকলন করে পাই:

যেহেতু $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ এবং $\vec{p} = m\vec{v}$, তাই প্রথম পদটি $\vec{v} \times (m\vec{v}) = m(\vec{v} \times \vec{v}) = 0$। আবার নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রানুসারে $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}_{\text{net}}$। সুতরাং:

এটি আবর্তন গতিতে নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রের সমতুল্য: সময়ের সাপেক্ষে কোনো কণার মোট কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার কণাটির ওপর প্রযুক্ত বাহ্যিক টর্কের সমান।

একটি দৃঢ় বস্তু সম্পূর্ণ যান্ত্রিক সাম্যাবস্থায় থাকার জন্য দুটি স্বতন্ত্র শর্ত পূরণ হতে হয়:

1. চলন সাম্যাবস্থা (Translational Equilibrium): বস্তুর ওপর প্রযুক্ত সমস্ত বাহ্যিক বলের ভেক্টর সমষ্টি শূন্য হতে হবে:$$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = 0 \iff \sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum F_z = 0$$এর ফলে ভরকেন্দ্রের রৈখিক ত্বরণ শূন্য হয় ($\vec{a}_{\text{cm}} = 0$)।
2. ঘূর্ণন সাম্যাবস্থা (Rotational Equilibrium): যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে বস্তুর ওপর প্রযুক্ত সমস্ত বাহ্যিক টর্কের ভেক্টর সমষ্টি শূন্য হতে হবে:$$\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = 0 \iff \sum \tau_x = 0, \quad \sum \tau_y = 0, \quad \sum \tau_z = 0$$এর ফলে বস্তুর কৌণিক ত্বরণ শূন্য হয় ($\vec{\alpha} = 0$)।

একই রেখায় ক্রিয়াশীল নয় এমন দুটি সমান ও বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল কোনো দৃঢ় বস্তুর ভিন্ন বিন্দুতে ক্রিয়া করলে তাকে দ্বন্দ্ব বা যুগল বলে। দ্বন্দ্বের মোট লব্ধি বল সর্বদা শূন্য ($\vec{F} + (-\vec{F}) = 0$), ফলে এটি কোনো রৈখিক চলন তৈরি করতে পারে না। কিন্তু এর ঘূর্ণন প্রভাব বা টর্ক অশূন্য হয়:

যেখানে $d$ হলো বল দুটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা দ্বন্দ্বের বাহু।

ঘূর্ণন সাম্যাবস্থায় কোনো আলম্বের (fulcrum) সাপেক্ষে সমস্ত ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী টর্কের সমষ্টি সমস্ত ঘড়ির কাঁটার মুখী টর্কের সমষ্টির সমান হয়:

লিভারের ক্ষেত্রে প্রযুক্ত বল $E$ (Effort) এবং ভার $L$ (Load) হলে $L \cdot d_L = E \cdot d_E$। অতএব যান্ত্রিক সুবিধা (Mechanical Advantage - MA):

বল বাহু ভার বাহুর চেয়ে দীর্ঘ হলে ($d_E > d_L$), যান্ত্রিক সুবিধা একের বেশি হয়, অর্থাৎ সামান্য বল প্রয়োগ করে অত্যন্ত ভারী বস্তু তোলা যায়।

রৈখিক গতিতে ভর ($M$) যেমন বস্তুর চলন জড়তার পরিমাপ, ঠিক তেমনি আবর্তন গতিতে কোনো নির্দিষ্ট ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুর ঘূর্ণন জড়তার পরিমাপকে জড়তা ভ্রামক ($I$) বলে। এটি বস্তুর ঘূর্ণন অবস্থার পরিবর্তনের বিরোধিতাকে প্রকাশ করে।

ঘূর্ণন অক্ষ থেকে $r_i$ লম্ব দূরত্বে অবস্থিত $m_i$ ভরের কণা সংস্থার জড়তা ভ্রামক:

একক: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$, মাত্রা: $[ML^2]$। এটি টেনসর রাশি, তবে নির্দিষ্ট স্থির অক্ষের ঘূর্ণনে ধনাত্মক স্কেলার হিসেবে আচরণ করে।

জড়তা ভ্রামক যে বিষয়গুলির ওপর নির্ভর করে: (১) বস্তুর মোট ভর, (২) বস্তুর আকার ও আকৃতি, (৩) ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে ভরের বিন্যাস বা বণ্টন, এবং (৪) ঘূর্ণন অক্ষের অবস্থান ও দিক। মনে রেখো: জড়তা ভ্রামক কৌণিক বেগ $\omega$ বা প্রযুক্ত টর্ক $\tau$-এর ওপর একেবারেই নির্ভর করে না।

কোনো নির্দিষ্ট ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে কোনো দৃঢ় বস্তুর চক্রগতির ব্যাসার্ধ ($k$) হলো অক্ষ থেকে এমন একটি লম্ব দূরত্ব, যেখানে বস্তুর সমগ্র ভর কেন্দ্রীভূত আছে বলে কল্পনা করলে বস্তুর জড়তা ভ্রামকের মান অপরিবর্তিত থাকে:

যদি সমান ভর $m$-এর $n$-সংখ্যক কণা অক্ষ থেকে $r_1, r_2, \dots, r_n$ দূরত্বে থাকে, তবে:

অর্থাৎ, চক্রগতির ব্যাসার্ধ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে কণাগুলির লম্ব দূরত্বের মূল-গড়-বর্গ (RMS) মান। এর SI একক মিটার ($\text{m}$)।

১. সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য (Steiner's Theorem of Parallel Axes): যেকোনো ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তা ভ্রামক ($I$) হলো ভরকেন্দ্রগামী সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক ($I_{\text{cm}}$) এবং বস্তুর মোট ভর ($M$) ও অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের ($d$) বর্গের গুণফলের সমষ্টির সমান:

প্রযোজ্যতা: যেকোনো ত্রিমাত্রিক, দ্বিমাত্রিক বা একমাত্রিক বস্তুর ক্ষেত্রে সার্বজনীনভাবে প্রযোজ্য।

২. লম্ব অক্ষ উপপাদ্য (Theorem of Perpendicular Axes): কোনো সমতলীয় পাতের (Planar 2D Lamina) তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ $x$ ও $y$-এর সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক যথাক্রমে $I_x$ ও $I_y$ হলে, তাদের ছেদবিন্দুগামী এবং পাতটির তলের ওপর লম্ব অক্ষ $z$-এর সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হবে:

সতর্কতা: এই উপপাদ্যটি কেবলমাত্র দ্বিমাত্রিক পাতলা পাতের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; ত্রিমাত্রিক নিরেট গোলক বা চোঙের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

ধ্রুবক কৌণিক ত্বরণ $\alpha$ নিয়ে আবর্তনশীল কোনো দৃঢ় বস্তুর গতি সমীকরণসমূহ রৈখিক গতির সাথে সরাসরি তুলনীয়:

• $\omega = \omega_0 + \alpha t$ (রৈখিক $v = u + at$-এর অনুরূপ)
• $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ (রৈখিক $s = ut + \frac{1}{2}at^2$-এর অনুরূপ)
• $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha \theta$ (রৈখিক $v^2 = u^2 + 2as$-এর অনুরূপ)
• $\theta_n = \omega_0 + \frac{\alpha}{2}(2n - 1)$ ($n$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ)

নিউটনের ঘূর্ণন সূত্রানুসারে $\vec{\tau}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt}$। যদি কোনো ঘূর্ণন সংস্থার ওপর প্রযুক্ত মোট বাহ্যিক টর্ক শূন্য হয় ($\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = 0$):

বিবৃতি: কোনো ব্যবস্থার ওপর কার্যকর মোট বাহ্যিক টর্কের মান শূন্য হলে ব্যবস্থাটির সামগ্রিক কৌণিক ভরবেগ মান ও অভিমুখে অপরিবর্তিত বা সংরক্ষিত থাকে।

বাস্তব উদাহরণসমূহ:

• ব্যালেরিনা বা স্কেটারের ঘূর্ণন: ঘূর্ণায়মান স্কেটার যখন প্রসারিত হাত দুটি বুকের কাছে টেনে আনেন, তখন ঘূর্ণন অক্ষের কাছে ভর চলে আসায় চক্রগতির ব্যাসার্ধ $k$ ও জড়তা ভ্রামক $I$ হ্রাস পায়। কৌণিক ভরবেগ $I\omega$ ধ্রুবক থাকায় তার ঘূর্ণন বেগ $\omega$ নাটকীয়ভাবে বৃদ্ধি পায়।
• ডাইভারের ডিগবাজি: স্প্রিংবোর্ড থেকে লাফানোর পর ডাইভার শরীর কুঁকড়ে গোলকাকার করে ফেলেন, ফলে জড়তা ভ্রামক $I$ কমে যায় এবং বায়ুতে দ্রুত একাধিক ডিগবাজি সম্পূর্ণ করেন। পানিতে প্রবেশের ঠিক আগে হাত-পা সোজা করে $I$ বৃদ্ধি করে কৌণিক দ্রুতি কমিয়ে ফেলেন।
• কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র: সূর্যের মহাকর্ষীয় বল একটি কেন্দ্রাভিমুখী বল হওয়ায় এর কোনো টর্ক নেই ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g = 0$)। ফলে গ্রহটির কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে ($L = m r v_\perp = \text{ধ্রুবক}$), যা প্রমাণ করে যে গ্রহের ক্ষেত্রীয় বেগ $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ ধ্রুবক থাকে। গ্রহটি যখন সূর্যের সবচেয়ে কাছে (অনুসূর অবস্থানে) আসে, তখন তার গতিবেগ সর্বাধিক হয়।

বিশুদ্ধ ঘূর্ণন গতি হলো মূলত দুটি স্বতন্ত্র গতির উপরিপাতন (superposition): (১) ভরকেন্দ্রের রৈখিক চলন বেগ $v_{\text{cm}}$ নিয়ে অনুবাদী গতি, এবং (২) ভরকেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে কৌণিক বেগ $\omega$ নিয়ে ঘূর্ণন গতি।

একটি সমতল মেঝের ওপর দিয়ে $R$ ব্যাসার্ধের কোনো গোলাকার বস্তু পিছলে না গিয়ে গড়িয়ে চললে মেঝের সংস্পর্শ বিন্দুর আপেক্ষিক বেগ শূন্য হতে হয়:

• মেঝের স্পর্শবিন্দু ($P$): ঘূর্ণন বেগ পেছনের দিকে ($-R\omega$) এবং চলন বেগ সামনের দিকে ($v_{\text{cm}}$)। পিছলে না যাওয়ার শর্ত হলো স্পর্শবিন্দুর তাৎক্ষণিক বেগ শূন্য: $v_P = v_{\text{cm}} - \omega R = 0 \implies v_{\text{cm}} = \omega R$ এবং $a_{\text{cm}} = \alpha R$।
• শীর্ষবিন্দু ($T$): চলন বেগ ও ঘূর্ণন বেগ একই দিকে হওয়ায় বেগ দ্বিগুণ: $v_T = v_{\text{cm}} + \omega R = 2v_{\text{cm}}$।
• ভরকেন্দ্র ($C$): কেবল চলন বেগ কার্যকর: $v_C = v_{\text{cm}}$।

গড়িয়ে চলা কোনো বস্তুর মোট গতিশক্তি হলো তার ভরকেন্দ্রের রৈখিক চলন গতিশক্তি ও ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ঘূর্ণন গতিশক্তির সমষ্টি:

$I_{\text{cm}} = M k^2$ এবং $\omega = v_{\text{cm}}/R$ বসিয়ে পাই:

চলন গতিশক্তির ভগ্নাংশ: $\frac{K_{\text{trans}}}{K_{\text{total}}} = \frac{1}{1 + k^2/R^2}$ এবং ঘূর্ণন গতিশক্তির ভগ্নাংশ: $\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{k^2/R^2}{1 + k^2/R^2}$।

$\theta$ নতিবিশিষ্ট এবং $h$ উলম্ব উচ্চতার একটি অমসৃণ নততলের শীর্ষবিন্দু থেকে $M$ ভর ও $R$ ব্যাসার্ধের একটি গোলাকার বস্তু স্থির অবস্থা থেকে পিছলে না গিয়ে গড়িয়ে নিচে নামলে:

১. নততলের পাদদেশে প্রান্তিক বেগ ($v$): যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ সূত্রানুসারে (স্থিতিশক্তি সম্পূর্ণ গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়):

২. নততল বরাবর রৈখিক ত্বরণ ($a$):

৩. ঘূর্ণনের জন্য প্রয়োজনীয় স্থিতি ঘর্ষণ বল ($f_s$): ঘূর্ণন সৃষ্টি করতে স্পর্শবিন্দুতে ঘর্ষণ বল নততল বরাবর উপরের দিকে ক্রিয়া করে:

৪. পিছলে না যাওয়ার জন্য ন্যূনতম ঘর্ষণ গুণাঙ্ক:

যে বস্তুর $k^2/R^2$-এর মান যত কম, তার ত্বরণ $a$ এবং পাদদেশে পৌঁছানোর বেগ $v$ তত বেশি হবে এবং সে সবচেয়ে কম সময়ে নিচে পৌঁছাবে:

• নিরেট গোলক: $k^2/R^2 = 2/5 = 0.40 \implies a = \frac{5}{7}g\sin\theta \approx 0.714\,g\sin\theta$ (প্রথম স্থান, সবচেয়ে দ্রুততম)
• নিরেট চোঙ / চাকতি: $k^2/R^2 = 1/2 = 0.50 \implies a = \frac{2}{3}g\sin\theta \approx 0.667\,g\sin\theta$ (দ্বিতীয় স্থান)
• ফাঁপা গোলক: $k^2/R^2 = 2/3 \approx 0.67 \implies a = \frac{3}{5}g\sin\theta = 0.600\,g\sin\theta$ (তৃতীয় স্থান)
• রিং বা বলয় / ফাঁপা চোঙ: $k^2/R^2 = 1.00 \implies a = \frac{1}{2}g\sin\theta = 0.500\,g\sin\theta$ (চতুর্থ স্থান, সবচেয়ে ধীরতম)