স্মৃতিবিজ্ঞান

গতি একটি সম্পূর্ণ আপেক্ষিক ধারণা; সময়ের পরিবর্তনের সাথে যদি কোনো নির্দিষ্ট রেফারেন্স বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন ঘটে, তবে বস্তুটিকে গতিশীল বলা হয়। একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (যেমন কার্তেসীয় অক্ষ $x, y, z$) এবং সময়ের পরিমাপক ঘড়ির সমন্বয়ে গঠিত সংস্থাকে নির্দেশতন্ত্র (Frame of Reference) বলে:

• জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্র (Inertial Frame): যে নির্দেশতন্ত্র স্থির থাকে অথবা সমবেগে সরলরেখায় গতিশীল থাকে (ত্বরণ শূন্য)। এই নির্দেশতন্ত্রে নিউটনের গতিসূত্রসমূহ সরাসরি প্রযোজ্য হয়।
• অজড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্র (Non-Inertial Frame): কোনো ত্বরান্বিত বা ঘূর্ণায়মান নির্দেশতন্ত্র, যেখানে গতি সমীকরণ প্রয়োগের জন্য একটি কাল্পনিক বা অলিক বল (Pseudo-force, যেমন অপকেন্দ্র বল) বিবেচনা করতে হয়।

সরলরেখায় গতিশীল কোনো কণার ক্ষেত্রে:

• গড় দ্রুতি ($v_{ ext{avg}}$): মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মোট গৃহীত সময় দিয়ে ভাগ করলে গড় দ্রুতি পাওয়া যায়: $$v_{ ext{avg}} = rac{ ext{মোট দূরত্ব}}{ ext{মোট সময়}} = rac{\Delta s}{\Delta t}$$
• গড় বেগ ($ec{v}_{ ext{avg}}$): মোট সরণকে মোট সময় ব্যবধান দ্বারা ভাগ করলে গড় বেগ পাওয়া যায়: $$ec{v}_{ ext{avg}} = rac{\Delta ec{x}}{\Delta t} = rac{ec{x}_f - ec{x}_i}{t_f - t_i}$$
• তাৎক্ষণিক বেগ ($ec{v}$): সময় ব্যবধান যখন শূন্যের নিকটবর্তী ($\Delta t o 0$), তখন সরণের পরিবর্তনের হারকে তাৎক্ষণিক বেগ বলে (অবস্থানের প্রথম অবকলন): $$ec{v} = \lim_{\Delta t o 0} rac{\Delta ec{x}}{\Delta t} = rac{dec{x}}{dt}$$
• তাৎক্ষণিক ত্বরণ ($ec{a}$): সময়ের সাপেক্ষে তাৎক্ষণিক বেগের পরিবর্তনের হার: $$ec{a} = rac{dec{v}}{dt} = rac{d^2ec{x}}{dt^2} = vrac{dv}{dx}$$

ধরা যাক, একটি কণা সরলরেখায় সুষম ত্বরণ $a$ নিয়ে গতিশীল। সময় $t = 0$-তে তার প্রারম্ভিক বেগ $u$, এবং $t = t$ সময়ে অন্তিম বেগ $v$ এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব $s$:

১ম গতি সমীকরণ ($v = u + at$):

সংজ্ঞানুসারে তাৎক্ষণিক ত্বরণ: $$a = rac{dv}{dt} \implies dv = a\,dt$$ সীমা $t = 0$-তে বেগ $u$ এবং $t = t$-তে বেগ $v$ নিয়ে উভয়পক্ষে নির্দিষ্ট সমাকলন করে পাই: $$\int_u^v dv = a \int_0^t dt \implies [v]_u^v = a [t]_0^t \implies v - u = at \implies \mathbf{v = u + at}$$

২য় গতি সমীকরণ ($s = ut + rac{1}{2}at^2$):

সংজ্ঞানুসারে তাৎক্ষণিক বেগ: $$v = rac{ds}{dt} \implies ds = v\,dt = (u + at)\,dt$$ সীমা $t = 0$-তে $s = 0$ এবং $t = t$-তে $s = s$ নিয়ে সমাকলন করে পাই: $$\int_0^s ds = \int_0^t (u + at)\,dt = u\int_0^t dt + a\int_0^t t\,dt \implies [s]_0^s = u[t]_0^t + a\left[rac{t^2}{2} ight]_0^t \implies \mathbf{s = ut + rac{1}{2}at^2}$$

৩য় গতি সমীকরণ ($v^2 = u^2 + 2as$):

চেইন রুল প্রয়োগ করে: $$a = rac{dv}{dt} = rac{dv}{ds} \cdot rac{ds}{dt} = vrac{dv}{ds} \implies v\,dv = a\,ds$$ সীমা $s = 0$-তে বেগ $u$ এবং $s = s$-তে বেগ $v$ নিয়ে সমাকলন করে পাই: $$\int_u^v v\,dv = a \int_0^s ds \implies \left[rac{v^2}{2} ight]_u^v = a [s]_0^s \implies rac{v^2 - u^2}{2} = as \implies \mathbf{v^2 = u^2 + 2as}$$

৪র্থ সমীকরণ: $n$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব ($s_n$):

$n$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s(n)$ এবং $(n-1)$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s(n-1)$-এর বিয়োগফলই হলো $n$-তম সেকেন্ডের দূরত্ব: $$s_n = s(n) - s(n-1) = \left[un + rac{1}{2}an^2 ight] - \left[u(n-1) + rac{1}{2}a(n-1)^2 ight]$$ $$s_n = un + rac{1}{2}an^2 - un + u - rac{1}{2}a(n^2 - 2n + 1) = u + rac{1}{2}a(2n - 1) \implies \mathbf{s_n = u + rac{a}{2}(2n - 1)}$$

বায়ুর বাধা অগ্রাহ্য করলে ভূপৃষ্ঠের কাছাকাছি সমস্ত বস্তু একই অভিকর্ষজ ত্বরণ $g pprox 9.8 ext{ m/s}^2$ নিয়ে উল্লম্বভাবে নেমে আসে। ঊর্ধ্বমুখী দিককে ধনাত্মক ধরলে $a = -g$:

• $u$ বেগে খাড়া ওপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে:
  • সর্বোচ্চ উচ্চতায় ($H$) অন্তিম বেগ সাময়িকভাবে শূন্য হয় ($v = 0$): $$0 = u^2 - 2gH \implies \mathbf{H = rac{u^2}{2g}}$$
  • আরোহণ কাল (Time of ascent, $t_a$): $0 = u - gt_a \implies \mathbf{t_a = rac{u}{g}}$।
  • পতন কাল (Time of descent, $t_d$): শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে আরোহণ কাল ও পতন কাল সমান, $\mathbf{t_d = rac{u}{g}}$।
  • মোট উড্ডয়নকাল ($T$): $\mathbf{T = t_a + t_d = rac{2u}{g}}$।
  • ভূমিতে প্রত্যাবর্তনের বেগ: $v = -u$ (মান সমান কিন্তু দিক বিপরীত)।
• স্থির অবস্থা থেকে মুক্তভাবে পতনশীল বস্তুর ক্ষেত্রে ($u = 0$):
  • $h$ উচ্চতা পতনের পর বেগ: $\mathbf{v = \sqrt{2gh}}$।
  • ভূমিতে পৌঁছানোর সময়: $\mathbf{t = \sqrt{rac{2h}{g}}}$।

স্থির অবস্থা থেকে মুক্তভাবে পতনশীল কোনো বস্তু কর্তৃক পরপর সমান সময় ব্যবধানে ($ au$) অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত পরপর ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার সমান হয়:

অতএব, $\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \Delta s_4 : \dots = ১ : ৩ : ৫ : ৭ : \dots$

• স্কেলার রাশি: যে সমস্ত ভৌত রাশিকে কেবল মান ও এককের সাহায্যে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায় (যেমন ভর, সময়, দ্রুতি, দূরত্ব, কার্য)।
• ভেক্টর রাশি: যে সমস্ত রাশির মান ও দিক উভয়ই আছে এবং যা ভেক্টর যোগের সূত্র মেনে চলে (যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, রৈখিক ভরবেগ)।
• একক ভেক্টর ($\hat{n}$): যে ভেক্টরের পরম মান ১ এবং যার কাজ কেবল দিক নির্দেশ করা: $\hat{A} = rac{ec{A}}{|ec{A}|}$। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে ধনাত্মক $x, y, z$ অক্ষ বরাবর একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$।

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টর $ec{P}$ এবং $ec{Q}$-কে যদি একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত করা যায়, তবে তাদের ছেদবিন্দুগামী কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি $ec{R} = ec{P} + ec{Q}$-কে মানে ও দিকে নির্দেশ করবে।

• লব্ধির মান ($R$): $$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos heta}$$ যেখানে $ heta$ হলো ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ।
• লব্ধির দিক ($ec{P}$-এর সাপেক্ষে কোণ $lpha$): $$ anlpha = rac{Q\sin heta}{P + Q\cos heta}$$
• বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ:
  • $ heta = 0^\circ$ (একই দিকে): $R_{\max} = P + Q$
  • $ heta = 180^\circ$ (বিপরীতমুখী): $R_{\min} = |P - Q|$
  • $ heta = 90^\circ$ (পরস্পর লম্ব): $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$ এবং $ anlpha = Q/P$

দ্বিমাত্রিক তলে একটি ভেক্টর $ec{A}$-কে দুটি পরস্পর লম্ব উপাংশে বিভাজিত করলে: $$ec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$$ যেখানে $A_x = A\cos heta$ (অনুভূমিক উপাংশ), $A_y = A\sin heta$ (উল্লম্ব উপাংশ) এবং $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$।

ত্রিমাত্রিক দেশে: $$ec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$$ $$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$ যদি ভেক্টরটি $x, y, z$ অক্ষের সাথে যথাক্রমে $lpha, eta, \gamma$ কোণ উৎপন্ন করে, তবে দিক কোসাইনগুলি (Direction Cosines) হলো: $$l = \coslpha = rac{A_x}{A}, \quad m = \coseta = rac{A_y}{A}, \quad n = \cos\gamma = rac{A_z}{A}$$ এর অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কটি হলো: $$\mathbf{\cos^2lpha + \cos^2eta + \cos^2\gamma = 1} \quad ext{বা} \quad \mathbf{\sin^2lpha + \sin^2eta + \sin^2\gamma = 2}$$

কোনো গতিশীল পর্যবেক্ষক $B$-এর সাপেক্ষে অপর কোনো বস্তু $A$-এর অবস্থানের পরিবর্তনের হারকে $B$-এর সাপেক্ষে $A$-এর আপেক্ষিক বেগ ($ec{v}_{AB}$) বলা হয়:

• ১ মাত্রায়:
  • উভয়ে একই দিকে চললে: $v_{AB} = v_A - v_B$।
  • পরস্পর বিপরীত দিকে চললে: $v_{AB} = v_A - (-v_B) = v_A + v_B$।
• ২ মাত্রায়: $$|ec{v}_{AB}| = \sqrt{v_A^2 + v_B^2 - 2v_A v_B \cos heta}$$

ধরা যাক, বৃষ্টি খাড়া নিচের দিকে $ec{v}_r = -v_r\hat{j}$ বেগে পড়ছে এবং এক পথচারী পূর্ব দিকে অনুভূমিকভাবে $ec{v}_m = v_m\hat{i}$ বেগে হাঁটছেন বা সাইকেল চালাচ্ছেন।

• পথচারীর সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ হবে: $$ec{v}_{rm} = ec{v}_r - ec{v}_m = -v_m\hat{i} - v_r\hat{j}$$
• বৃষ্টির আপাত দ্রুতি: $$v_{rm} = \sqrt{v_m^2 + v_r^2}$$
• বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে হলে ছাতাটিকে বৃষ্টির আপেক্ষিক গতির ঠিক বিপরীত দিকে ($-ec{v}_{rm}$) ধরতে হবে, যা উল্লম্বের সাথে গতির দিকে সামনের দিকে $\phi$ কোণে আনত থাকবে: $$\mathbf{ an\phi = rac{v_m}{v_r}}$$

ধরা যাক, একটি নদীর প্রস্থ $d$ এবং স্রোতের বেগ $u$ (তীর বরাবর $+x$ দিকে)। স্থির জলে সাঁতারুর বেগ $v$।

১. সংক্ষিপ্ততম পথে নদী পারাপার (তীরের লম্ব বরাবর পারাপার / Drift শূন্য):

সাঁতারু যাতে স্রোতে ভেসে না গিয়ে সরাসরি বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে, তার জন্য তাকে স্রোতের বিপরীত দিকে উল্লম্বের সাথে $lpha$ কোণে সাঁতার কাটতে হবে:

• শর্ত: $v\sinlpha = u \implies \mathbf{\sinlpha = rac{u}{v}}$ (যেখানে $v > u$ হওয়া বাধ্যতামূলক)।
• নদী পারাপারের লব্ধি বেগ: $v_{ ext{res}} = \sqrt{v^2 - u^2}$।
• গৃহীত সময়: $$\mathbf{t = rac{d}{v_{ ext{res}}} = rac{d}{\sqrt{v^2 - u^2}}}$$

২. ন্যূনতম সময়ে নদী পারাপার ($t_{\min}$):

নদী পার হতে সবচেয়ে কম সময় নিতে হলে সাঁতারুকে স্রোতের দিকের সাথে ঠিক $90^\circ$ কোণে অর্থাৎ তীরের লম্ব বরাবর সাঁতার শুরু করতে হবে:

• ন্যূনতম সময়: $$\mathbf{t_{\min} = rac{d}{v}}$$
• এই সময়ের মধ্যে নদীর স্রোত সাঁতারুকে ভাটির দিকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে ভাসিয়ে নিয়ে যায়, যাকে Drift ($x$) বলে: $$\mathbf{x = u \cdot t_{\min} = rac{u d}{v}}$$

কোনো বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে কোনো কোণে ওপরের দিকে ছুড়ে দিলে বস্তুটির ওপর কেবল অভিকর্ষ বল ক্রিয়াশীল থাকে (বায়ুর বাধা অগ্রাহ্য করলে)। এটি দুটি স্বাধীন গতির উপরিপাতন:

• অনুভূমিক অক্ষ বরাবর: কোনো বল বা ত্বরণ নেই ($a_x = 0$), ফলে বেগ সর্বদা ধ্রুবক থাকে ($v_x = u\cos heta$)।
• উল্লম্ব অক্ষ বরাবর: সুষম অভিকর্ষজ মন্দন বা ত্বরণ কার্যকর থাকে ($a_y = -g$)।

ভূমি থেকে অনুভূমিকের সাথে $ heta$ কোণে $u$ প্রারম্ভিক বেগে কোনো বস্তুকে প্রক্ষিপ্ত করা হলে $t$ সময় পর কণার স্থানাঙ্ক হয়: $$x = (u\cos heta)t \implies t = rac{x}{u\cos heta}$$ $$y = (u\sin heta)t - rac{1}{2}gt^2$$ $t$-এর মান বসিয়ে পাই: $$y = (u\sin heta)\left(rac{x}{u\cos heta} ight) - rac{1}{2}g\left(rac{x}{u\cos heta} ight)^2$$ $$\mathbf{y = x an heta - rac{g}{2u^2\cos^2 heta}x^2}$$ যেহেতু সমীকরণটি $y = Ax - Bx^2$ আকারের, তাই প্রমাণিত হয় যে প্রক্ষেপকের গতিপথ একটি অধিবৃত্ত (Parabola)।

অনুভূমিক পাল্লা $R$-এর মাধ্যমে সমীকরণটিকে অন্যভাবে লেখা যায়: $$\mathbf{y = x an heta\left(1 - rac{x}{R} ight)}$$

যেহেতু $\sin(2(90^\circ - heta)) = \sin(180^\circ - 2 heta) = \sin 2 heta$, তাই একই প্রারম্ভিক বেগে $ heta$ এবং $(90^\circ - heta)$ কোণে প্রক্ষিপ্ত দুটি প্রক্ষেপকের অনুভূমিক সীমা সর্বদা সমান হয় ($R_1 = R_2$)!

• সর্বোচ্চ উচ্চতার অনুপাত: $rac{H_1}{H_2} = rac{\sin^2 heta}{\sin^2(90^\circ - heta)} = \mathbf{ an^2 heta}$।
• উড্ডয়নকালের গুণফল: $T_1 T_2 = \left(rac{2u\sin heta}{g} ight)\left(rac{2u\cos heta}{g} ight) = \mathbf{rac{2R}{g}}$।
• উচ্চতাদ্বয়ের যোগফল: $H_1 + H_2 = \mathbf{rac{u^2}{2g}}$।

$h$ উচ্চতার কোনো মিনার থেকে $u$ বেগে অনুভূমিকভাবে কোনো বস্তুকে ছুড়লে ($u_x = u, u_y = 0$):

• ভূমিতে পৌঁছানোর সময়: $h = rac{1}{2}gt^2 \implies \mathbf{t = \sqrt{rac{2h}{g}}}$ (যা অনুভূমিক বেগের ওপর নির্ভর করে না)।
• অনুভূমিক পাল্লা: $\mathbf{R = u\sqrt{rac{2h}{g}}}$।
• ভূমিতে আঘাত হানার সময় মোট বেগ: $v = \sqrt{u^2 + 2gh}$।

$r$ ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে আবর্তনরত কোনো কণার ক্ষেত্রে:

• কৌণিক সরণ ($ heta$): অবস্থান ভেক্টর কর্তৃক কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (একক: রেডিয়ান বা $ ext{rad}$): $ heta = rac{s}{r}$ (যেখানে $s$ হলো বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য)।
• কৌণিক বেগ ($\omega$): সময়ের সাপেক্ষে কৌণিক সরণের পরিবর্তনের হার: $$\omega = \lim_{\Delta t o 0} rac{\Delta heta}{\Delta t} = rac{d heta}{dt} = rac{2\pi}{T} = 2\pi f$$ যেখানে $T$ হলো পর্যায়কাল এবং $f$ হলো কম্পাঙ্ক।
• রৈখিক বেগ ও কৌণিক বেগের সম্পর্ক: $$ec{v} = ec{\omega} imes ec{r} \implies \mathbf{v = \omega r}$$ রৈখিক বেগ সর্বদা বৃত্তের স্পর্শক বরাবর ক্রিয়া করে।
• কৌণিক ত্বরণ ($lpha$): সময়ের সাপেক্ষে কৌণিক বেগের পরিবর্তনের হার: $$lpha = rac{d\omega}{dt} = rac{d^2 heta}{dt^2} \implies \mathbf{a_t = lpha r}$$ যেখানে $a_t$ হলো স্পর্শকীয় রৈখিক ত্বরণ।

সমবৃত্তীয় গতিতে (Uniform Circular Motion) দ্রুতি $v$ ধ্রুবক থাকে, কিন্তু গতির দিক প্রতিটি মুহূর্তে ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। বেগের অভিমুখ পরিবর্তনের ফলে একটি ত্বরণ সৃষ্টি হয়, যার অভিমুখ সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্রাভিমুখী হয়—একে অভিকেন্দ্র ত্বরণ ($a_c$) বলে।

ভেক্টর কলনবিদ্যার সাহায্যে প্রতিপাদন:

বৃত্তের কেন্দ্রকে মূলবিন্দু $(0,0)$ ধরে $t$ সময়ে কণাটির অবস্থান ভেক্টর: $$ec{r}(t) = r\cos(\omega t)\hat{i} + r\sin(\omega t)\hat{j}$$ সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করে বেগ ভেক্টর পাওয়া যায়: $$ec{v}(t) = rac{dec{r}}{dt} = -r\omega\sin(\omega t)\hat{i} + r\omega\cos(\omega t)\hat{j}$$ এর মান: $v = |ec{v}| = \omega r$।

বেগ ভেক্টরকে পুনরায় সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করে ত্বরণ ভেক্টর পাওয়া যায়: $$ec{a}(t) = rac{dec{v}}{dt} = -r\omega^2\cos(\omega t)\hat{i} - r\omega^2\sin(\omega t)\hat{j} = -\omega^2\left[r\cos(\omega t)\hat{i} + r\sin(\omega t)\hat{j} ight]$$ $$\mathbf{ec{a} = -\omega^2ec{r} = -rac{v^2}{r}\hat{r}}$$

ঋণাত্মক চিহ্নটি নিশ্চিত করে যে ত্বরণের অভিমুখ অবস্থান ভেক্টর $ec{r}$-এর বিপরীত দিকে, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ বরাবর বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে নিবদ্ধ।

অভিকেন্দ্র ত্বরণের বিভিন্ন রূপ: $$\mathbf{a_c = rac{v^2}{r} = \omega^2 r = rac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 f^2 r}$$

যদি বৃত্তপথে কণার দ্রুতিও সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় ($rac{dv}{dt} eq 0$), তবে কণাটির দুটি লম্ব ত্বরণ উপাংশ থাকে:

• অভিকেন্দ্র ত্বরণ ($a_c = v^2/r$): কেন্দ্রের দিকে নিবদ্ধ; যা বেগের দিক পরিবর্তনের জন্য দায়ী।
• স্পর্শকীয় ত্বরণ ($a_t = rac{dv}{dt} = lpha r$): স্পর্শক বরাবর ক্রিয়ারত; যা বেগের মানের (দ্রুতির) পরিবর্তনের জন্য দায়ী।

যেহেতু $ec{a}_c \perp ec{a}_t$, তাই মোট লব্ধি ত্বরণের মান: $$\mathbf{a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(rac{v^2}{r} ight)^2 + \left(rac{dv}{dt} ight)^2}}$$ ব্যাসার্ধের সাপেক্ষে লব্ধি ত্বরণের কোণ $\phi$: $$\mathbf{ an\phi = rac{a_t}{a_c} = rac{lpha r}{v^2 / r}}$$