কার্য, শক্তি ও ক্ষমতা

পদার্থবিজ্ঞানে কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বলের ক্রিয়ায় যদি বলের প্রয়োগবিন্দুর সরণ ঘটে, তবে প্রযুক্ত বল কার্য (Work) সম্পাদন করেছে বলা হয়। যদি একটি ধ্রুবক বল $\vec{F}$ কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত হয়ে বস্তুর $\vec{s}$ সরণ ঘটায়, তবে কৃতকার্য $W$ হলো বল ভেক্টর এবং সরণ ভেক্টরের স্কেলার (ডট) গুণফল:

যেখানে $F = |\vec{F}|$, $s = |\vec{s}|$ এবং $\theta$ হলো বল ও সরণ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ ($0 \le \theta \le \pi$)।

কার্তেসীয় উপাংশ রূপে, যদি $\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j} + F_z\hat{k}$ এবং $\vec{s} = \Delta x\hat{i} + \Delta y\hat{j} + \Delta z\hat{k}$ হয়:

• ধনাত্মক কার্য ($0 \le \theta < 90^\circ$, $\cos\theta > 0$): বলের অভিমুখে সরণের উপাংশ থাকলে। যেমন: অভিকর্ষের অধীনে মুক্তভাবে নিচে পড়ন্ত বস্তুর ওপর অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃতকার্য।
• ঋণাত্মক কার্য ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$, $\cos\theta < 0$): বল সরণের গতির বিরোধিতা করলে। যেমন: গতিশীল বস্তুর ওপর ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকার্য ($W_f = -f_k s$); কোনো বস্তুকে ওপরের দিকে তোলার সময় অভিকর্ষ বলের দ্বারা কৃতকার্য ($W_g = -mgh$)।
• কার্যহীন বল ($W = 0$): নিম্নলিখিত তিনটি ক্ষেত্রে কৃতকার্য শূন্য হয়:
  1. সরণ শূন্য হলে ($s = 0$): কোনো ভারী দেয়ালে ধাক্কা দিলে ($W = 0$)।
  2. বল শূন্য হলে ($F = 0$): মহাশূন্যে ঘর্ষণহীন স্থানে সমবেগে চলমান বস্তু।
  3. বল ও সরণ পরস্পর লম্ব হলে ($\theta = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$): বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান বস্তুর ওপর অভিকেন্দ্র বলের দ্বারা কৃতকার্য সর্বদা শূন্য; অনুভূমিক তলে চলার সময় লম্ব প্রতিক্রিয়া বল দ্বারা কৃতকার্য শূন্য; এক ব্যক্তি মাথায় বোঝা নিয়ে অনুভূমিক রাস্তায় হাঁটলে অভিকর্ষ বলের দ্বারা কৃতকার্য শূন্য ($W = mg \cdot s \cdot \cos 90^\circ = 0$)।

প্রকৃতিতে অধিকাংশ বলই অবস্থানের ওপর নির্ভরশীল (যেমন স্প্রিং বল, মহাকর্ষ বল)। কোনো পরিবর্তনশীল বল $\vec{F}(\vec{r})$ কোনো বস্তুকে $\vec{r}_i$ থেকে $\vec{r}_f$ অবস্থানে স্থানান্তরিত করলে কৃতকার্য সমাকলনের মাধ্যমে নির্ণয় করা হয়:

কার্য-শক্তি উপপাদ্য (Work-Energy Theorem): কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত সমস্ত বাহ্যিক বলের দ্বারা সম্পাদিত মোট কার্য বস্তুর গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।

গাণিতিক প্রমাণ:

সংজ্ঞানুযায়ী গতিশক্তি $K = \frac{1}{2}mv^2$। সময়ের সাপেক্ষে উভয়পক্ষের অবকলন করে পাই:

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে $F = ma$ এবং বেগ $v = \frac{dx}{dt}$। মান বসিয়ে পাই:

প্রারম্ভিক অবস্থা ($x_i, v_i, K_i$) থেকে অন্তিম অবস্থা ($x_f, v_f, K_f$) পর্যন্ত সমাকলন করে:

এই উপপাদ্যটি সকল জড়ত্বীয় নির্দেশতন্ত্রে ধ্রুবক ও পরিবর্তনশীল সকল প্রকার বলের ক্ষেত্রেই সম্পূর্ণরূপে প্রযোজ্য।

কোনো গতিশীল বস্তু তার গতির জন্য যে কার্য করার সামর্থ্য লাভ করে, তাকে তার গতিশক্তি (Kinetic Energy) বলে। $m$ ভরের কোনো বস্তু $v$ বেগে চললে তার গতিশক্তি:

• স্কেলার রাশি: গতিশক্তি সর্বদা একটি ধনাত্মক স্কেলার রাশি ($K \ge 0$)। এর এসআই একক জুল ($\text{J} = \text{N}\cdot\text{m}$), সিজিএস একক আর্গ ($\text{erg} = 10^{-7}\,\text{J}$)।
• রৈখিক ভরবেগের সাথে সম্পর্ক: ভরবেগ $p = mv$ হওয়ায়: $$K = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2mK}$$ যদি দুটি অসম ভরের বস্তুর ভরবেগ সমান হয় ($p = \text{ধ্রুবক}$), তবে $K \propto 1/m$ (হালকা বস্তুর গতিশক্তি ভারী বস্তুর চেয়ে বেশি হবে)। যদি দুটি বস্তুর গতিশক্তি সমান হয় ($K = \text{ধ্রুবক}$), তবে $p \propto \sqrt{m}$ (ভারী বস্তুর ভরবেগ বেশি হবে)।

কোনো বস্তু তার অবস্থান বা আকৃতির পরিবর্তনের জন্য যে কার্য করার সামর্থ্য অর্জন করে, তাকে স্থিতি শক্তি ($U$) বলে। স্থিতি শক্তি কেবল সংরক্ষণশীল বলের ক্ষেত্রেই সংজ্ঞায়িত হয়। কোনো বস্তুকে প্রমাণ অবস্থান থেকে নির্দিষ্ট অবস্থানে আনতে সংরক্ষণশীল বলের বিরুদ্ধে যে কার্য করতে হয়, তাই স্থিতি শক্তি হিসেবে জমা থাকে:

ভূপৃষ্ঠে $h = 0$ অবস্থানে $U = 0$ ধরে, অভিকর্ষের বিরুদ্ধে $h$ উচ্চতায় তুলতে প্রয়োজনীয় কার্য:

একটি ভরহীন আদর্শ স্প্রিং-এর এক প্রান্ত দৃঢ় আবরণে যুক্ত এবং অন্য প্রান্তে $m$ ভরের ব্লক ঘর্ষণহীন মেঝেতে রাখা আছে। হুকের সূত্র (Hooke's Law) অনুযায়ী, সাম্যাবস্থা ($x = 0$) থেকে ক্ষুদ্র সরণ $x$-এর জন্য স্প্রিং-এর প্রত্যয়ক বল (Restoring Force):

যেখানে $k$ হলো স্প্রিং ধ্রুবক (Spring Constant)। এর এসআই একক $\text{N/m}$ এবং মাত্রা $[M^1 T^{-2}]$।

স্থিতি শক্তির রাশিমালা নিগমন ($U_s = \frac{1}{2}kx^2$):

স্প্রিংটিকে $0$ থেকে $x$ দৈর্ঘ্য প্রসারিত করতে বাহ্যিক বল $F_{\text{ext}} = +kx$ দ্বারা কৃতকার্য:

• স্প্রিংকে প্রসারিত ($x > 0$) কিংবা সংকুচিত ($x < 0$) যাই করা হোক না কেন, সঞ্চিত স্থিতি শক্তি $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ সর্বদা ধনাত্মক হয়।
• স্প্রিং-এর প্রসারণ $x_1$ থেকে $x_2$-তে বৃদ্ধি করতে প্রয়োজনীয় কার্য: $$W_{\text{ext}} = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$$

$m$ ভরের একটি বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায় অবস্থিত A বিন্দু থেকে স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। বায়ুর বাধা অগ্রাহ্য করে তিনটি অবস্থানে মোট শক্তি পরীক্ষা করা হলো:

1. A অবস্থানে (শীর্ষবিন্দু, উচ্চতা $= h$, বেগ $u = 0$): $$K_A = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0, \quad U_A = mgh$$ $$E_A = K_A + U_A = 0 + mgh = mgh \quad \text{--- (১)}$$
2. B অবস্থানে (বস্তুটি $x$ দূরত্ব নামার পর, ভূপৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা $= h - x$):

   গতির ৩য় সমীকরণ থেকে: $v_B^2 = 0 + 2gx = 2gx$।

   $$K_B = \frac{1}{2}m v_B^2 = \frac{1}{2}m(2gx) = mgx$$ $$U_B = mg(h - x) = mgh - mgx$$ $$E_B = K_B + U_B = mgx + (mgh - mgx) = mgh \quad \text{--- (২)}$$
3. C অবস্থানে (ভূপৃষ্ঠে আঘাত করার ঠিক পূর্বমুহূর্তে, উচ্চতা $= 0$, মোট পতন $= h$):

   অন্তিম বেগ $v_C^2 = 0 + 2gh = 2gh$।

   $$K_C = \frac{1}{2}m v_C^2 = \frac{1}{2}m(2gh) = mgh, \quad U_C = mg(0) = 0$$ $$E_C = K_C + U_C = mgh + 0 = mgh \quad \text{--- (৩)}$$

অতএব, $E_A = E_B = E_C = mgh = \text{ধ্রুবক}$। এটি প্রমাণ করে যে পতনের প্রতিটি বিন্দুতে যান্ত্রিক শক্তি সম্পূর্ণ সংরক্ষিত থাকে।

উলম্ব তলে বৃত্তীয় গতি একটি অসম বৃত্তীয় গতি কারণ অভিকর্ষের স্পর্শকীয় উপাংশের কারণে উচ্চতার সাথে সাথে বস্তুর দ্রুতি পরিবর্তিত হয়।

$R$ দৈর্ঘ্যের একটি হালকা অপ্রসার্য সুতোয় বাঁধা $m$ ভরের বস্তুকে সর্বনিম্ন বিন্দু L-এ অনুভূমিকভাবে $u$ বেগে নিক্ষেপ করা হলো। যখন সুতোটি উল্লম্বের সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করে, তখন বস্তুর উচ্চতা বৃদ্ধি $h = R(1 - \cos\theta)$।

যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ সূত্রানুযায়ী:

$\theta$ অবস্থানে কেন্দ্রের দিকে লব্ধি বল অভিকেন্দ্র ত্বরণ সৃষ্টি করে:

$v^2$-এর মান বসিয়ে পাই:

সুতো ঢিলে না হয়ে সম্পূর্ণ বৃত্ত সম্পন্ন করার শর্ত হলো শীর্ষবিন্দুতে ($H$, যেখানে $\theta = 180^\circ, \cos 180^\circ = -1$) টান অ-ঋণাত্মক হতে হবে ($T_H \ge 0$):

শক্তি সংরক্ষণ সূত্রে $v_H^2 = gR$ এবং $h = 2R$ বসিয়ে সর্বনিম্ন বিন্দুর ন্যূনতম দ্রুতি পাওয়া যায়:

অনুভূমিক অবস্থানে ($ heta = 90^\circ$): $v_{\text{mid}} = \sqrt{3gR}$।

সর্বনিম্ন বিন্দুতে টান ($T_L$): $T_L = \frac{mu^2}{R} + mg$

সর্বোচ্চ বিন্দুতে টান ($T_H$): $T_H = \frac{mv_H^2}{R} - mg$

টানের বিয়োগফল:

শক্তির সংরক্ষণ থেকে $u^2 - v_H^2 = 4gR$ মান বসিয়ে:

উলম্ব বৃত্তে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ বিন্দুর মধ্যে টানের পার্থক্য সর্বদা বস্তুর ওজনের ছয় গুণের সমান ($6mg$), যা বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা নিক্ষেপ বেগের ওপর নির্ভরশীল নয়।

সময়ের সাপেক্ষে কার্য সম্পাদনের হারকে ক্ষমতা (Power, $P$) বলে। এটি একটি স্কেলার রাশি।

• গড় ক্ষমতা: $P_{\text{avg}} = \frac{\Delta W}{\Delta t}$
• তাৎক্ষণিক ক্ষমতা: $P = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt}$
  যেহেতু $dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$, অতএব: $$P = \vec{F} \cdot \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos\theta$$ যেখানে $\vec{v}$ হলো তাৎক্ষণিক বেগ এবং $\theta$ হলো বল ও বেগের মধ্যবর্তী কোণ।

• এসআই একক: ওয়াট ($\text{W} = \text{J/s} = \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-3}$)।
• ব্যবহারিক বৃহৎ একক:
  • $1\,\text{কিলোওয়াট (kW)} = 10^3\,\text{W}$
  • $1\,\text{মেগাওয়াট (MW)} = 10^6\,\text{W}$
  • $1\,\text{অশ্বক্ষমতা (Horsepower, hp)} = 746\,\text{ওয়াট}$
• মাত্রীয় সংকেত: $[M^1 L^2 T^{-3}]$।

$1\,\text{kW}$ ক্ষমতার কোনো যন্ত্র টানা ১ ঘণ্টা চললে যে পরিমাণ শক্তি ব্যয়িত হয়, তাকে ১ কিলোওয়াট-ঘণ্টা বা ১ ইউনিট (B.O.T. Unit) বলে:

সতর্কতা: কিলোওয়াট-ঘণ্টা হলো শক্তির একক, ক্ষমতার একক নয়।

সংঘর্ষের পর বস্তুদ্বয়ের আপেক্ষিক অপসরণ বেগ এবং সংঘর্ষের পূর্বে আপেক্ষিক আগমন বেগের অনুপাতকে প্রত্যবস্থান গুণাঙ্ক বলে:

$m_1$ ও $m_2$ ভরের দুটি বস্তু $u_1$ ও $u_2$ বেগ নিয়ে সরলরেখায় চলে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ ঘটালে অন্তিম বেগদ্বয়:

বিশেষ ক্ষেত্রে বেগ বিনিময়: যদি $m_1 = m_2 = m$ হয়, তবে $v_1 = u_2$ এবং $v_2 = u_1$। অর্থাৎ সমান ভরের ক্ষেত্রে সংঘর্ষের পর বস্তুদ্বয় নিজেদের মধ্যে বেগ বিনিময় করে।

সংঘর্ষের পর বস্তুদ্বয় যুক্ত হয়ে সাধারণ বেগ $V = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$ নিয়ে চলে। গতিশক্তির অপচয়: