গ্যাসের গতীয় তত্ত্ব

জন ডাল্টনের পরমাণুবাদ এবং পরবর্তীতে রবার্ট ব্রাউনের (১৮২৭) ব্রাউনীয় গতি ও আলবার্ট আইনস্টাইনের (১৯০৫) গাণিতিক তত্ত্বের মাধ্যমে প্রমাণিত হয়েছে যে পদার্থ অবিচ্ছিন্ন নয়, বরং ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র অসংখ্য কণার দ্বারা গঠিত। একটি গ্যাসীয় নমুনার মধ্যে কোটি কোটি স্বাধীন কণা থাকে যাদের অণু (Molecules) বলা হয়। অণুর সাধারণ ব্যাস প্রায় $10^{-10}\,\text{m} = 1\,\text{\AA}$, কিন্তু সাধারণ চাপ ও তাপমাত্রায় ($1\,\text{atm}, 0\,^\circ\text{C}$) দুটি অণুর মধ্যকার গড় দূরত্ব প্রায় $3 \times 10^{-9}\,\text{m}$, যা অণুর নিজস্ব ব্যাসের প্রায় ৩০ গুণ।

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা ($N_A$): যে কোনো পদার্থের এক মোলে সর্বদা নির্দিষ্ট সংখ্যক মৌলিক উপাদান বা অণু উপস্থিত থাকে:

গ্যাসের স্থূল তাপগতীয় চলক—চাপ ($P$), আয়তন ($V$), পরম তাপমাত্রা ($T$) এবং পদার্থের পরিমাণ ($n$) এর মধ্যকার সম্পর্ক চারটি মৌলিক সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

• বয়েলের সূত্র (রবার্ট বয়েল, ১৬৬২): স্থির তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের আয়তন তার চাপের সাথে ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়: $P V = \text{ধ্রুবক} \iff P_1 V_1 = P_2 V_2$।
• চার্লসের সূত্র (জ্যাক চার্লস, ১৭৮৭): স্থির চাপে নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের আয়তন তার পরম তাপমাত্রার সাথে সরলানুপাতে পরিবর্তিত হয়: $\frac{V}{T} = \text{ধ্রুবক} \iff \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
• গে-লুসাকের চাপ সূত্র (১৮০২): স্থির আয়তনে নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের চাপ তার পরম তাপমাত্রার সাথে সরলানুপাতে পরিবর্তিত হয়: $\frac{P}{T} = \text{ধ্রুবক} \iff \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
• অ্যাভোগাড্রোর সূত্র (১৮১১): একই তাপমাত্রা ও চাপে সমআয়তনের সকল গ্যাসে সমান সংখ্যক অণু থাকে: $V \propto n$।

এই চারটি সূত্রকে একত্রিত করলে পাওয়া যায় আদর্শ গ্যাসের অবস্থার সমীকরণ:

যেখানে:

• $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$ হলো মোলের সংখ্যা ($m = \text{গ্যাসের ভর}$, $M = \text{মোলার ভর}$)।
• $R = 8.314\,\text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})$ হলো সর্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক (Universal Gas Constant)।
• $k_B = \frac{R}{N_A} = 1.3806 \times 10^{-23}\,\text{J}/\text{K}$ হলো বোল্টজম্যান ধ্রুবক (Boltzmann Constant), যা মূলত একটি অণুর গ্যাস ধ্রুবক।
• $N$ হলো পাত্রে উপস্থিত মোট অণুর সংখ্যা।

1. কণাধর্মী গঠন: প্রতিটি গ্যাস সমধর্মী, ক্ষুদ্র, কঠিন ও স্থিতিস্থাপক গোলকাকার অসংখ্য কণার সমন্বয়ে গঠিত, যাদের অণু বলা হয়।
2. নগণ্য নিজস্ব আয়তন: গ্যাসীয় অণুগুলির মোট প্রকৃত আয়তন গ্যাস দ্বারা অধিকৃত পাত্রের সামগ্রিক আয়তনের তুলনায় সম্পূর্ণ নগণ্য।
3. বিরামহীন বিশৃঙ্খল গতি: অণুগুলি সব সময় সম্ভাব্য সকল অভিমুখে এবং সব রকম গতিবেগে অবিরাম ও এলোমেলোভাবে সরলরেখায় ছুটে চলে।
4. আন্তঃআণবিক বলের অনুপস্থিতি: অণুগুলির মধ্যে পারস্পরিক কোনো মহাকর্ষীয় বা স্থিরতড়িৎ আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বল ক্রিয়া করে না; এরা কেবল সংঘর্ষের সময় পরস্পরকে স্পর্শ করে।
5. পূর্ণ স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ: অণুগুলির মধ্যকার পারস্পরিক সংঘর্ষ এবং পাত্রের দেয়ালের সাথে সংঘর্ষ সম্পূর্ণরূপে পূর্ণ স্থিতিস্থাপক। অর্থাৎ সংঘর্ষে কোনো গতিশক্তি নষ্ট হয় না।
6. নগণ্য সংঘর্ষকাল: দুটি সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়ের তুলনায় একটি একক সংঘর্ষের স্থিতিকাল একেবারেই নগণ্য।
7. অভিকর্ষের প্রভাবহীনতা: অণুগুলির অতি উচ্চ বেগের কারণে তাদের গতিবিধির ওপর অভিকর্ষজ বলের প্রভাব সম্পূর্ণ অগ্রাহ্য করা যায়।

ধরা যাক, $L$ বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনকাকার পাত্রে $m$ ভরযুক্ত $N$ সংখ্যক অভিন্ন গ্যাসীয় অণু আবদ্ধ রয়েছে। পাত্রের মোট আয়তন $V = L^3$।

একটি নির্দিষ্ট অণুর বেগ $\vec{v}_1 = (v_{x1}, v_{y1}, v_{z1})$ বিবেচনা করি। এর বেগের মান: $v_1^2 = v_{x1}^2 + v_{y1}^2 + v_{z1}^2$।

১. একক সংঘর্ষে দেয়ালের ওপর ভরবেগের পরিবর্তন:
অণুটি যখন $x$-অক্ষের লম্বতলে অবস্থিত $A_1$ দেয়ালে ($x = L$) স্থিতিস্থাপক ধাক্কা খায়, তখন সংঘর্ষের পূর্বে ভরবেগ ছিল $+m v_{x1}$ এবং প্রতিক্ষেপের পর ভরবেগ হয় $-m v_{x1}$।
সুতরাং, অণুটির ভরবেগের পরিবর্তন: $\Delta p_x = (-m v_{x1}) - (m v_{x1}) = -2 m v_{x1}$।
ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি অনুযায়ী, দেয়াল কর্তৃক গৃহীত ভরবেগ $= +2 m v_{x1}$।

২. দুটি পরপর সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়:
একই দেয়ালে পুনরায় ধাক্কা খাওয়ার জন্য অণুটিকে বিপরীত দেয়ালে গিয়ে আবার ফিরে আসতে হবে, অর্থাৎ অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 2L$।
দুটি সংঘর্ষের সময় ব্যবধান: $\Delta t = \frac{2L}{v_{x1}}$।

৩. বল এবং মোট চাপের গণনা:
দেয়ালের ওপর প্রযুক্ত বল হলো প্রতি সেকেন্ডে ভরবেগ পরিবর্তনের হার:
$$F_{x1} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2 m v_{x1}}{2L / v_{x1}} = \frac{m v_{x1}^2}{L}$$

পাত্রের সমস্ত $N$ সংখ্যক অণুর জন্য দেয়ালের ওপর মোট প্রযুক্ত বল:
$$F_x = \sum_{i=1}^N \frac{m v_{xi}^2}{L} = \frac{m}{L} \sum_{i=1}^N v_{xi}^2 = \frac{m N}{L} \overline{v_x^2}$$

দেয়ালের ক্ষেত্রফল $A = L^2$। সুতরাং দেয়ালের ওপর চাপ:
$$P = \frac{F_x}{A} = \frac{m N}{L^3} \overline{v_x^2} = \frac{m N}{V} \overline{v_x^2}$$

গ্যাসীয় অণুগুলির গতি সম্পূর্ণ বিশৃঙ্খল ও দিক-নিরপেক্ষ (Isotropic), তাই তিনটি অক্ষ বরাবর গড় বর্গবেগ সমান:
$$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3} \overline{v^2} = \frac{1}{3} v_{\text{rms}}^2$$

অতএব, গ্যাসের মৌলিক চাপ সমীকরণ দাঁড়ায়:

যেখানে $\rho = \frac{m N}{V}$ হলো গ্যাসের ঘনত্ব এবং $v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}}$ হলো গড় বর্গবেগের বর্গমূল (RMS বেগ)।

গ্যাসের চাপের সমীকরণ থেকে আমরা পাই:
$$P V = \frac{1}{3} m N v_{\text{rms}}^2 = \frac{2}{3} N \left(\frac{1}{2} m v_{\text{rms}}^2\right) = \frac{2}{3} E_{\text{total}}$$

যেখানে $E_{\text{total}} = N \times \overline{E_k}$ হলো গ্যাসের মোট রৈখিক গতিশক্তি।
আদর্শ গ্যাস সমীকরণ $P V = n R T = N k_B T$ এর সাথে তুলনা করে পাই:

১ মোল গ্যাসের জন্য মোট রৈখিক গতিশক্তি:
$$E_{\text{molar}} = \frac{3}{2} R T$$

আণবিক বেগের ক্রম ও অনুপাত:

কোনো গতিশীল কণা বা অণুর মহাকাশে সম্পূর্ণ অবস্থান ও কনফিগারেশন সুনির্দিষ্ট করতে যতগুলি স্বাধীন স্থানাঙ্ক বা বেগের উপাংশের প্রয়োজন হয়, তাকে ঐ অণুর স্বাধীনতার মাত্রা ($f$) বলা হয়।

যদি কোনো অণুতে $N$ সংখ্যক পরমাণু থাকে এবং তাদের মধ্যকার স্বাধীন দূরত্বের শর্ত বা বন্ধনীর সংখ্যা $k$ হয়, তবে স্বাধীনতার মাত্রা:
$$f = 3N - k$$

• একপরমাণুক গ্যাস (Monoatomic Gas - যেমন He, Ne, Ar): অণুটি কেবল একটি বিন্দু ভরের মতো $x, y, z$ তিনটি অক্ষ বরাবর স্বাধীনভাবে স্থানান্তরিত হতে পারে। ঘূর্ণন বা কম্পন নেই ($N=1, k=0$)।
  রৈখিক স্থানান্তরীয় স্বাধীনতার মাত্রা $= 3$। মোট $f = 3$।
• অনমনীয় দ্বিপরমাণুক গ্যাস (Rigid Diatomic Gas - যেমন $H_2, N_2, O_2$ সাধারণ তাপমাত্রায়): দুটি পরমাণুর মধ্যবর্তী বন্ধন দৈর্ঘ্য স্থির ($N=2, k=1$)।
  রৈখিক স্থানান্তরীয় $= 3$, আণবিক অক্ষের সাথে লম্ব দুটি অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণন $= 2$ (আণবিক অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক নগণ্য হওয়ায় ঐ অক্ষের ঘূর্ণন অগ্রাহ্য)।
  মোট $f = 3 + 2 = 5$।
• উচ্চ তাপমাত্রায় দ্বিপরমাণুক গ্যাস (Non-rigid Diatomic Gas at High T): উচ্চ তাপমাত্রায় ($T > 1000\,\text{K}$) পরমাণুদ্বয়ের মধ্যে অক্ষ বরাবর কম্পন শুরু হয়। একটি কম্পন পদ্ধতিতে দুটি শক্তি পদ থাকে (গতিশক্তি $\frac{1}{2}m\dot{r}^2$ এবং স্থিতিশক্তি $\frac{1}{2}kr^2$), ফলে কম্পন মাত্রা $= 2$ যোগ হয়।
  মোট $f = 3 + 2 + 2 = 7$।
• বহুপরমাণুক গ্যাস (Non-linear Polyatomic Gas - যেমন $H_2O, NH_3, CH_4$): তিনটি পরমাণু রৈখিক নয় ($N=3, k=3$)। তিনটি স্থানান্তরণ এবং তিনটি ঘূর্ণন অক্ষ বিদ্যমান।
  মোট $f = 3 + 3 = 6$ (কম্পনহীন অবস্থায়)।

ম্যাক্সওয়েল ও বোল্টজম্যানের সূত্রানুযায়ী: তাপীয় সাম্যাবস্থায় থাকা কোনো গতিশীল গ্যাসীয় সংস্থার প্রতিটি স্বাধীন স্বাধীনতার মাত্রার সাথে সম্পর্কিত গড় শক্তি সর্বদা সমান হয় এবং এর মান $\frac{1}{2} k_B T$।

অতএব, $f$ স্বাধীনতার মাত্রা বিশিষ্ট একটি গ্যাসীয় অণুর মোট গড় অভ্যন্তরীণ শক্তি:
$$\overline{\epsilon} = f \times \left(\frac{1}{2} k_B T\right) = \frac{f}{2} k_B T$$

এবং ১ মোল গ্যাসের জন্য মোট অভ্যন্তরীণ শক্তি:
$$U = N_A \times \overline{\epsilon} = N_A \left(\frac{f}{2} k_B T\right) = \frac{f}{2} R T$$

তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির সমীকরণ $U = \frac{f}{2} R T$ থেকে আমরা স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ ($C_v$) পাই:
$$C_v = \left(\frac{dU}{dT}\right)_V = \frac{d}{dT}\left(\frac{f}{2} R T\right) = \frac{f}{2} R$$

মেয়ারের সম্পর্ক ($C_p - C_v = R$) প্রয়োগ করে স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ ($C_p$) পাই:
$$C_p = C_v + R = \frac{f}{2} R + R = \left(\frac{f}{2} + 1\right) R$$

রুদ্ধতাপীয় সূচক বা আপেক্ষিক তাপদ্বয়ের অনুপাত ($\gamma$):
$$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{\left(\frac{f}{2} + 1\right) R}{\frac{f}{2} R} = 1 + \frac{2}{f}$$

সংজ্ঞা: কোনো গ্যাসীয় অণু অন্যান্য অণুগুলির সাথে পরপর দুটি স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়ে গড়ে যে দূরত্ব সরলরেখায় অতিক্রম করে, তাকে ঐ অণুর গড় মুক্ত পথ (Mean Free Path) বলা হয়।

যদি $N$ সংখ্যক সংঘর্ষের সময় অতিক্রান্ত মুক্ত পথগুলি যথাক্রমে $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N$ হয়, তবে গড় মুক্ত পথ:
$$\lambda = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_N}{N}$$

ক্লাউসিয়াস-ম্যাক্সওয়েল সমীকরণ:
ধরা যাক অণুর সংঘর্ষ ব্যাস $d$ এবং প্রতি একক আয়তনে অণুর সংখ্যা (ঘনত্ব) $n_0 = N/V$। অণুগুলির আপেক্ষিক গতির ম্যাক্সওয়েলীয় বিন্যাস বিবেচনা করে প্রাপ্ত সমীকরণ:

আদর্শ গ্যাস সমীকরণ $P = n_0 k_B T \implies n_0 = \frac{P}{k_B T}$ বসিয়ে পাই:

গড় মুক্ত পথের নির্ভরশীলতা:

• চাপের ওপর: স্থির তাপমাত্রায় চাপ বাড়লে ঘনত্ব বাড়ে, ফলে গড় মুক্ত পথ কমে ($\lambda \propto \frac{1}{P}$)।
• তাপমাত্রার ওপর: স্থির চাপে তাপমাত্রা বাড়লে প্রসারণের ফলে অণুগুলির ঘনত্ব কমে, ফলে গড় মুক্ত পথ সরলানুপাতে বাড়ে ($\lambda \propto T$)।
• স্থির আয়তনে আবদ্ধ পাত্রে: $n_0 = N/V = \text{ধ্রুবক}$ হওয়ায় তাপমাত্রা বা চাপ পরিবর্তন করলেও গড় মুক্ত পথ $\lambda$ সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে।

বাস্তব গ্যাসসমূহ (যেমন $H_2, N_2, CO_2$) উচ্চ চাপ ও নিম্ন তাপমাত্রায় আদর্শ আচরণ থেকে বিচ্যুত হয়। গতীয় তত্ত্বের দুটি ত্রুটিপূর্ণ স্বীকার্যই এর মূল কারণ:

1. উচ্চ চাপে গ্যাস সংকুচিত হলে অণুগুলির মোট প্রকৃত নিজস্ব আয়তন পাত্রের মোট আয়তনের তুলনায় নগণ্য থাকে না।
2. নিম্ন তাপমাত্রায় অণুগুলির গতিশক্তি কমে যাওয়ায় আন্তঃআণবিক আকর্ষণ বল (ভ্যান ডার ওয়ালস বল) আর উপেক্ষা করা যায় না।

এবং $n$ মোল বাস্তব গ্যাসের জন্য:

যেখানে:

• $\frac{a}{V^2}$: আন্তঃআণবিক আকর্ষণ বলের জন্য চাপ সংশোধন পদ (Pressure Correction Term) ($a$-এর একক: $\text{N}\cdot\text{m}^4/\text{mol}^2$ বা $\text{atm}\cdot\text{L}^2/\text{mol}^2$)।
• $b$: অণুগুলির সসীম নিজস্ব আয়তনের জন্য আয়তন সংশোধন পদ বা সহ-আয়তন (Co-volume), যা অণুর নিজস্ব প্রকৃত আয়তনের ৪ গুণ ($b = 4 \times N_A \times \frac{4}{3}\pi r^3$) ($b$-এর একক: $\text{m}^3/\text{mol}$ বা $\text{L}/\text{mol}$)।