दोलन एवं तरंगें

जब कोई गति एक निश्चित समय अंतराल के पश्चात बार-बार दोहराई जाती है, तो उसे आवर्ती गति (Periodic Motion) कहते हैं। यदि कोई कण किसी निश्चित साम्यावस्था के दोनों ओर उसी पथ पर आगे-पीछे गति करता है, तो उसे दोलनी अथवा कंपनिक गति (Oscillatory Motion) कहते हैं। प्रत्येक दोलनी गति आवर्ती होती है, परंतु प्रत्येक आवर्ती गति (जैसे सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति) दोलनी नहीं होती।

सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM): यह दोलन गति का सबसे सरल एवं आधारभूत रूप है। यदि दोलन करते कण पर कार्यरत प्रत्यानयन बल (या त्वरण) साम्यावस्था से कण के विस्थापन के सीधे अनुक्रमानुपाती हो तथा उसकी दिशा सदैव साम्यावस्था की ओर हो, तो कण की गति सरल आवर्त गति कहलाती है:

यहाँ $k$ बल नियतांक (Force Constant या Spring Constant) है तथा $\omega = \sqrt{k/m}$ कोणीय आवृत्ति है।

सरल आवर्त गति कर रहे कण का तात्क्षणिक विस्थापन $x(t)$ ज्यावक्रीय (Sinusoidal) फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है:

• आयाम ($A$): साम्यावस्था से कण का किसी एक ओर अधिकतम विस्थापन।
• आवर्तकाल ($T$): एक पूर्ण दोलन पूरा करने में लगा न्यूनतम समय: $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$।
• आवृत्ति ($\nu$ अथवा $f$): प्रति सेकंड पूर्ण किए गए दोलनों की संख्या: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$ (मात्रक: हर्ट्ज़ $\text{Hz} = \text{s}^{-1}$)।
• कला ($(\omega t + \phi)$): त्रिकोणमितीय फलन का कोणीय मान, जो किसी क्षण कण की स्थिति एवं गति की दिशा को पूर्णतः व्यक्त करता है।
• प्रारंभिक कला या कला नियतांक ($\phi$): समय $t = 0$ पर कण की कला।

विस्थापन का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर कण का तात्क्षणिक वेग ($v$) प्राप्त होता है:

• साम्यावस्था पर ($x = 0$): वेग अधिकतम होता है: $v_{\max} = \omega A$।
• चरम स्थिति पर ($x = \pm A$): वेग शून्य होता है: $v = 0$।

वेग का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर कण का तात्क्षणिक त्वरण ($a$) प्राप्त होता है:

• साम्यावस्था पर ($x = 0$): त्वरण शून्य होता है: $a = 0$।
• चरम स्थिति पर ($x = \pm A$): त्वरण का परिमाण अधिकतम होता है: $a_{\max} = \omega^2 A$।

न्यूटन के द्वितीय नियम ($F = m \frac{d^2 x}{dt^2}$) एवं प्रत्यानयन बल ($F = -kx$) से:

जहाँ $\omega^2 = \frac{k}{m}$। यह सरल आवर्त गति का मानक अवकल समीकरण है। इसका व्यापक हल $x(t) = c_1 \cos(\omega t) + c_2 \sin(\omega t) = A \sin(\omega t + \phi)$ होता है।

सरल आवर्त गति में घर्षणहीन माध्यम में कुल यांत्रिक ऊर्जा सदैव संरक्षित रहती है, जो गतिज एवं स्थितिज ऊर्जा के रूप में निरंतर परिवर्तित होती रहती है:

• गतिज ऊर्जा ($K$):
  $$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$$साम्यावस्था ($x = 0$) पर गतिज ऊर्जा अधिकतम $K_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$ तथा चरम स्थिति ($x = \pm A$) पर शून्य होती है।
• स्थितिज ऊर्जा ($U$):
  प्रत्यानयन बल के विरुद्ध किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है:
  $$U = \int_0^x k x \, dx = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$$साम्यावस्था ($x = 0$) पर $U = 0$ तथा चरम स्थिति ($x = \pm A$) पर अधिकतम $U_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$ होती है।
• कुल यांत्रिक ऊर्जा ($E$):
  $$E = K + U = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) + \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 2\pi^2 m \nu^2 A^2$$कुल ऊर्जा समय और विस्थापन दोनों से स्वतंत्र एवं नियत रहती है।

1. एक पूर्ण आवर्तकाल में समय औसत: $\langle K \rangle_t = \frac{1}{4} k A^2$, $\langle U \rangle_t = \frac{1}{4} k A^2$। अतः $\langle K \rangle_t = \langle U \rangle_t = \frac{1}{2} E$।

2. $-\text{A}$ से $+\text{A}$ तक स्थान औसत: $\langle K \rangle_x = \frac{1}{3} k A^2 = \frac{2}{3} E$, $\langle U \rangle_x = \frac{1}{6} k A^2 = \frac{1}{3} E$।

क्षैतिज अथवा ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग से बंधे द्रव्यमान $m$ का आवर्तकाल गुरुत्वीय त्वरण से स्वतंत्र होता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$।

किसी स्प्रिंग का बल नियतांक उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है ($k \cdot L = \text{नियतांक}$)। यदि स्प्रिंग को $m:n$ अनुपात में दो भागों में काटा जाए, तो उनके बल नियतांक क्रमशः $k_1 = k \frac{m+n}{m}$ तथा $k_2 = k \frac{m+n}{n}$ होंगे। आधा करने पर प्रत्येक भाग का नियतांक $2k$ हो जाता है।

प्रभावी लंबाई $L$ के भारहीन धागे से लटके द्रव्यमान $m$ के गोलक को अल्प कोणीय विस्थापन $\theta$ देकर छोड़ने पर प्रत्यानयन बल आघूर्ण प्राप्त होता है:

चूंकि $\tau = I \alpha = (m L^2) \frac{d^2 \theta}{dt^2}$, अतः:

अतः सरल लोलक का आवर्तकाल:

सेकंड लोलक (Seconds Pendulum): वह लोलक जिसका आवर्तकाल ठीक 2 सेकंड होता है (प्रत्येक अर्ध दोलन 1 सेकंड)। पृथ्वी पर इसकी प्रभावी लंबाई $L = \frac{g}{\pi^2} \approx 0.993 \text{ m} \approx 100 \text{ cm}$ होती है।

त्वरित लिफ्ट में लोलक: यदि लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरण $a$ से जा रही हो, तो $g_{\text{eff}} = g + a$ ($T$ घटता है); यदि लिफ्ट नीचे $a$ से आ रही हो, तो $g_{\text{eff}} = g - a$ ($T$ बढ़ता है); मुक्त रूप से गिरती लिफ्ट में $g_{\text{eff}} = 0$ अतः $T = \infty$ (दोलन बंद हो जाता है)।

1. मुक्त दोलन (Free Oscillations): जब निकाय बिना किसी बाह्य बल या घर्षण के अपनी प्राकृतिक आवृत्ति $\omega_0$ से नियत आयाम के साथ दोलन करता है।

2. अवमंदित दोलन (Damped Oscillations): श्यानता या घर्षण बल ($F_d = -b v$) के कारण यांत्रिक ऊर्जा का निरंतर क्षय होता है और आयाम समय के साथ चरघातांकी रूप से घटता है:

अवमंदित आवृत्ति: $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$।

3. प्रणोदित दोलन एवं अनुनाद (Forced Oscillations & Resonance): जब निकाय पर बाह्य आवर्ती बल $F(t) = F_0 \sin(\omega_d t)$ आरोपित किया जाता है, तो प्रारंभिक संक्रमण काल के पश्चात निकाय बाह्य चालक की आवृत्ति $\omega_d$ से दोलन करने लगता है। इसका आयाम होता है:

अनुनाद (Resonance): जब बाह्य चालक आवृत्ति निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर हो जाती है ($\omega_d \approx \omega_0$), तो दोलन का आयाम तीव्र वृद्धि कर अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है। शून्य अवमंदन ($b = 0$) की आदर्श स्थिति में आयाम अनंत हो जाता है। उदाहरण: सैनिकों का पुल पर कदम मिलाकर न चलना, रेडियो ट्यूनिंग, एमआरआई (MRI)।

तरंग गति किसी माध्यम में उत्पन्न वह आवर्ती विक्षोभ है जो माध्यम के कणों के वास्तविक स्थानांतरण के बिना केवल ऊर्जा एवं संवेग का एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक संचरण करता है।

तनाव $T$ तथा प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान (रैखिक द्रव्यमान घनत्व) $\mu$ वाली डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग:

किसी प्रत्यास्थ माध्यम में अनुदैर्ध्य (ध्वनि) तरंग की चाल प्रत्यास्थता गुणांक $E$ एवं घनत्व $\rho$ पर निर्भर करती है: $v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$।

1. न्यूटन की परिकल्पना (समतापी प्रक्रम): न्यूटन ने माना कि गैस में संपीडन एवं विरलन के समय उत्पन्न ऊष्मा का आदान-प्रदान इतनी मंद गति से होता है कि माध्यम का तापमान स्थिर रहता है। समतापी आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $E_T = P$ (वायुमंडलीय दाब) होता है:

NTP पर वायु हेतु ($P = 1.013 \times 10^5 \text{ N/m}^2$, $\rho = 1.293 \text{ kg/m}^3$): $v = \sqrt{\frac{1.013 \times 10^5}{1.293}} \approx 280 \text{ m/s}$। यह प्रायोगिक मान ($332 \text{ m/s}$) से लगभग $16\%$ कम था।

2. लाप्लास का रुद्धोष्म संशोधन (Adiabatic Correction): लाप्लास ने बताया कि संपीडन व विरलन इतनी तीव्रता से होते हैं और वायु ऊष्मा की इतनी दुर्बल सुचालक है कि ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं हो पाता। अतः प्रक्रम रुद्धोष्म (Adiabatic) है, जहाँ रुद्धोष्म आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $E_s = \gamma P$ होता है (जहाँ $\gamma = C_p / C_v$):

वायु के लिए $\gamma = 1.41$ रखने पर $v = \sqrt{1.41 \times \frac{1.013 \times 10^5}{1.293}} \approx 332.5 \text{ m/s}$, जो प्रायोगिक मान से पूर्णतः मेल खाता है।

• दाब का प्रभाव: स्थिर ताप पर दाब बढ़ाने से घनत्व भी उसी अनुपात में बढ़ता है ($P/\rho = \text{const}$)। अतः स्थिर ताप पर ध्वनि का वेग दाब पर निर्भर नहीं करता।
• तापमान का प्रभाव: $v \propto \sqrt{T}$ (केल्विन ताप के वर्गमूल के अनुक्रमानुपाती)। ताप में $1^\circ\text{C}$ वृद्धि से वेग लगभग $0.61 \text{ m/s}$ बढ़ जाता है ($v_t \approx v_0 + 0.61 t$)।
• आर्द्रता (Humidity) का प्रभाव: आर्द्र वायु का घनत्व शुष्क वायु से कम होता है ($\rho_{\text{moist}} < \rho_{\text{dry}}$)। अतः आर्द्र वायु में ध्वनि की चाल बढ़ जाती है।

धनात्मक $x$-दिशा में वेग $v$ से संचरित होने वाली प्रगामी तरंग का विस्थापन समीकरण:

यहाँ तरंग संचरण नियतांक $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ तथा तरंग वेग $v = \frac{\omega}{k} = \nu \lambda$ है।

जब समान आयाम $A$ और समान आवृत्ति $\nu$ की दो प्रगामी तरंगें एक ही सरल रेखा में परस्पर विपरीत दिशाओं में संचरित होकर अध्यारोपित होती हैं, तो माध्यम में अप्रगामी तरंगें (Standing / Stationary Waves) बनती हैं:

यहाँ परिणामी आयाम $R(x) = 2A \sin(kx)$ स्थान $x$ पर निर्भर करता है:

• निस्पंद (Nodes - N): जहाँ परिणामी आयाम शून्य होता है ($kx = n\pi \implies x = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \dots$)। यहाँ दाब परिवर्तन अधिकतम होता है।
• प्रस्पंद (Antinodes - A): जहाँ परिणामी आयाम अधिकतम ($2A$) होता है ($kx = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \dots$)। यहाँ दाब परिवर्तन शून्य होता है।
• दो क्रमागत निस्पंदों अथवा दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
• एक निस्पंद और निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है।

लंबाई $L$ की डोरी के दोनों सिरे दृढ़ होने के कारण वहाँ निस्पंद बनते हैं ($L = n \frac{\lambda_n}{2}$):

• मूल स्वरक / प्रथम संनादी ($n=1$): $\nu_1 = \frac{v}{2L}$
• द्वितीय संनादी / प्रथम अधिस्वरक ($n=2$): $\nu_2 = 2 \nu_1$
• तृतीय संनादी / द्वितीय अधिस्वरक ($n=3$): $\nu_3 = 3 \nu_1$
• आवृत्तियों का अनुपात: $\nu_1 : \nu_2 : \nu_3 : \dots = 1 : 2 : 3 : 4 : \dots$ (सभी संनादी उपस्थित)।

अंत्य संशोधन (End Correction - $e$): खुले सिरे पर प्रस्पंद पाइप के सिरे से थोड़ा बाहर ($e = 0.6 r$, जहाँ $r$ आंतरिक त्रिज्या है) बनता है। अतः बंद पाइप हेतु प्रभावी लंबाई $L' = L + 0.6 r$ तथा खुले पाइप हेतु $L' = L + 1.2 r$ होती है।

जब लगभग समान आवृत्ति (अंतर $\le 10 \text{ Hz}$) और समान आयाम की दो ध्वनि तरंगें एक ही दिशा में संचरित होकर अध्यारोपित होती हैं, तो ध्वनि की तीव्रता में नियमित आवर्ती चढ़ाव-उतार (Waxing and Waning) सुनाई देता है। इस परिघटना को विस्पंद (Beats) कहते हैं।

यदि दो तरंगें $y_1 = A \sin(2\pi \nu_1 t)$ तथा $y_2 = A \sin(2\pi \nu_2 t)$ हों, तो अध्यारोपण से:

परिणामी आयाम का मॉडुलन $f_{\text{mod}} = \frac{|\nu_1 - \nu_2|}{2}$ है, परंतु तीव्रता आयाम के वर्ग ($I \propto R^2$) के अनुक्रमानुपाती होती है, अतः तीव्रता के अधिकतम होने की विस्पंद आवृत्ति (Beat Frequency):

प्रति सेकंड सुने जाने वाले विस्पंदों की संख्या दोनों स्रोतों की आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। मानव कान के श्रवण स्थायित्व (Persistence of Hearing = $0.1 \text{ s}$) के कारण विस्पंद स्पष्ट सुनने के लिए $|\nu_1 - \nu_2| \le 10 \text{ Hz}$ होना आवश्यक है।

जब ध्वनि स्रोत और प्रेक्षक के मध्य आपेक्षिक गति होती है, तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई ध्वनि की आभासी आवृत्ति उसकी वास्तविक आवृत्ति से भिन्न प्रतीत होती है। इस परिघटना को डॉप्लर प्रभाव कहते हैं।

डॉप्लर प्रभाव का व्यापक सूत्र:

जहाँ $v$ माध्यम में ध्वनि की चाल, $v_s$ स्रोत का वेग, $v_o$ प्रेक्षक का वेग तथा $\nu$ वास्तविक आवृत्ति है।