भौतिक जगत एवं मापन

भौतिकी प्रकृति के मूल नियमों और विभिन्न प्राकृतिक परिघटनाओं में उनकी अभिव्यक्ति का व्यवस्थित अध्ययन है। इसका विस्तार खगोलीय स्तर से लेकर उप-परमाण्विक कणों तक फैला है:

• स्थूल प्रभावक्षेत्र (Macroscopic Domain): इसके अंतर्गत प्रयोगशाला, पार्थिव और खगोलीय स्तर की परिघटनाएं आती हैं। इसमें चिरसम्मत यांत्रिकी (गति, तरल, प्रत्यास्थता), विद्युतगतिकी (विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र, विद्युतचुंबकीय तरंगें), प्रकाशिकी (परावर्तन, अपवर्तन, व्यतिकरण), और ऊष्मागतिकी (ऊष्मा, ताप, एंट्रॉपी, ऊष्मा इंजन) शामिल हैं।
• सूक्ष्म प्रभावक्षेत्र (Microscopic Domain): इसके अंतर्गत परमाणु, नाभिक, क्वार्क और फोटॉन जैसे सूक्ष्म कणों का संविधान और संरचना आती है, जिसका अध्ययन क्वांटम यांत्रिकी द्वारा किया जाता है।
• मेसोस्कोपिक प्रभावक्षेत्र (Mesoscopic Domain): यह स्थूल और सूक्ष्म के बीच का सेतु है, जिसमें कुछ दर्जन से लेकर हजारों परमाणुओं का समुच्चय होता है (जैसे नैनोटेक्नोलॉजी, क्वांटम डॉट्स)।

ब्रह्मांड में पाए जाने वाले सभी बल केवल चार मूलभूत बलों की ही विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं:

किसी भी मापने योग्य गुणधर्म को भौतिक राशि (Physical Quantity) कहते हैं। प्रत्येक भौतिक राशि को उसके संख्यात्मक मान ($n$) और मानक मात्रक ($u$) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है: भौतिक राशि = n × u। एक नियत राशि के लिए $n \propto 1/u$, अर्थात् मात्रक जितना बड़ा होगा, संख्यात्मक मान उतना ही छोटा होगा (उदा. $1 ext{ m} = 100 ext{ cm}$)।

• मूल राशियाँ (Base Quantities): वे राशियाँ जो परस्पर स्वतंत्र होती हैं और किसी अन्य राशि के पदों में व्यक्त नहीं की जा सकतीं (जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय)।
• व्युत्पन्न राशियाँ (Derived Quantities): वे राशियाँ जिन्हें मूल राशियों के संयोजन (घातों या गुणनफल) द्वारा प्राप्त किया जाता है (जैसे वेग, बल, कार्य, घनत्व)।

20 मई 2019 से अंतरराष्ट्रीय बाट एवं माप समिति (CIPM) ने भौतिक नमूनों (जैसे प्लेटिनम-इरिडियम मानक) को समाप्त कर सभी 7 मूल मात्रकों को प्रकृति के 7 सार्वत्रिक क्वांटम स्थिरांकों के निश्चित मानों पर पुनर्परिभाषित किया:

SI पद्धति में दो संपूरक मात्रक मान्य हैं, जिन्हें अब विमाहीन व्युत्पन्न मात्रक माना जाता है:

• समतल कोण (Plane Angle): मात्रक रेडियन (rad) है। $ heta = rac{ ext{चाप } s}{ ext{त्रिज्या } r}$। विमीय सूत्र: $[M^0 L^0 T^0]$। संबंध: $2\pi ext{ rad} = 360^\circ \implies 1 ext{ rad} pprox 57.3^\circ$।
• ठोस कोण / घन कोण (Solid Angle): मात्रक स्टेरेडियन (sr) है। $\Omega = rac{ ext{अंतरित क्षेत्रफल } A}{r^2}$। विमीय सूत्र: $[M^0 L^0 T^0]$। संपूर्ण गोले का केंद्र पर ठोस कोण $4\pi ext{ sr}$ होता है।

व्यावहारिक खगोलीय एवं नाभिकीय मात्रक:

• खगोलीय मात्रक (AU): सूर्य और पृथ्वी के बीच की औसत दूरी $pprox 1.496 imes 10^{11} ext{ m}$।
• प्रकाश वर्ष (ly): निर्वात में प्रकाश द्वारा 1 वर्ष में तय की गई दूरी $pprox 9.461 imes 10^{15} ext{ m}$।
• पारसेक (pc): वह दूरी जिस पर 1 खगोलीय मात्रक लंबा चाप 1 आर्कसेकंड का कोण अंतरित करे $pprox 3.086 imes 10^{16} ext{ m} pprox 3.26 ext{ ly}$।
• फर्मी (fm): $1 ext{ fm} = 10^{-15} ext{ m}$ (नाभिक की त्रिज्या व्यक्त करने हेतु)।
• ऐंग्स्ट्रॉम (Å): $1 ext{ \AA} = 10^{-10} ext{ m} = 0.1 ext{ nm}$ (प्रकाश की तरंगदैर्घ्य एवं परमाणु आकार)।
• चंद्रशेखर सीमा (CSL): खगोलभौतिकी में द्रव्यमान का सबसे बड़ा व्यावहारिक मात्रक $= 1.4 imes ext{सूर्य का द्रव्यमान} pprox 2.8 imes 10^{30} ext{ kg}$।

किसी भौतिक राशि को व्यक्त करने के लिए मूल राशियों पर जो घातांक (powers) लगाए जाते हैं, उन्हें उस राशि की विमाएँ (Dimensions) कहते हैं। मूल मात्रकों के प्रतीकों के रूप में राशि की संरचना दर्शाने वाले व्यंजक को विमीय सूत्र (Dimensional Formula) कहते हैं, जिसे सदैव बड़े कोष्ठक $[M^a L^b T^c \dots]$ में लिखा जाता है।

इस सिद्धांत के अनुसार, किसी भी सही भौतिक समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए। भिन्न विमाओं वाली राशियों को न तो आपस में जोड़ा जा सकता है और न ही घटाया जा सकता है (उदा. 5 मीटर में 3 किलोग्राम जोड़ना अर्थहीन है)।

उदाहरण के लिए, गति के समीकरण $s = ut + rac{1}{2}at^2$ में:

• $[s] = [L]$
• $[ut] = [L T^{-1}][T] = [L]$
• $[rac{1}{2}at^2] = [1][L T^{-2}][T^2] = [L]$

चूँकि प्रत्येक पद की विमा $[L]$ है, अतः यह समीकरण विमीय दृष्टि से समांग एवं शुद्ध है।

1. भौतिक समीकरण की शुद्धता की जाँच: वामपक्ष एवं दक्षिणपक्ष के प्रत्येक पद की विमाओं की तुलना करना। ध्यान दें: विमीय रूप से सही समीकरण वास्तव में संख्यात्मक रूप से गलत हो सकता है (विमाहीन स्थिरांक जैसे $1/2$ विमीय जाँच में नहीं दिखते), परंतु विमीय रूप से गलत समीकरण भौतिक रूप से सदैव अशुद्ध होता है।
2. विभिन्न मात्रक पद्धतियों में रूपांतरण: चूँकि भौतिक राशि $Q = n_1 u_1 = n_2 u_2$, अतः नवीन पद्धति में संख्यात्मक मान:
   $$n_2 = n_1 \left[rac{M_1}{M_2} ight]^a \left[rac{L_1}{L_2} ight]^b \left[rac{T_1}{T_2} ight]^c$$
3. विभिन्न भौतिक राशियों में संबंध स्थापित करना (सूत्र निगमन): जब किसी राशि की निर्भरता अन्य राशियों पर ज्ञात हो, तो अज्ञात घातांक मानकर $M, L, T$ की घातों की तुलना करके सूत्र व्युत्पन्न किया जाता है (जैसे सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi\sqrt{l/g}$)।

प्रत्येक प्रायोगिक मापन में कुछ अनिश्चितता अवश्य होती है, जिसे त्रुटि (Error) कहते हैं। इनमें मूलभूत अंतर है:

• यथार्थता (Accuracy): यह दर्शाती है कि मापा गया मान वास्तविक या स्वीकृत मान के कितना निकट है। यह क्रमबद्ध त्रुटियों को न्यूनतम करने पर निर्भर करती है।
• परिशुद्धता (Precision): यह मापक यंत्र की विभेदन क्षमता (अल्पतमांक) दर्शाती है, अर्थात बार-बार मापन करने पर मान आपस में कितने संकीर्ण अंतर पर रहते हैं।

1. क्रमबद्ध त्रुटियाँ (Systematic Errors): ये त्रुटियाँ सदैव एक ही दिशा में होती हैं (या तो धनात्मक या ऋणात्मक)। स्रोत:
   • यंत्रगत त्रुटियाँ: वर्नियर या स्क्रू गेज में शून्यांक त्रुटि या अंशांकन दोष।
   • प्रायोगिक तकनीक की अपूर्णता: विकिरण से ऊष्मा क्षय अथवा वायु के उत्प्लावन बल की उपेक्षा करना।
   • व्यक्तिगत त्रुटियाँ: लंबन त्रुटि (दृष्टि का सही संरेखण न होना)।
   • निवारण: सही अंशांकन एवं कार्यप्रणाली में सुधार करके इन्हें पूर्णतः समाप्त किया जा सकता है।
2. यादृच्छिक त्रुटियाँ (Random Errors): प्रायोगिक परिस्थितियों (तापमान, वोल्टता, कंपन) में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव के कारण अनियमित रूप से उत्पन्न होती हैं।
   • सांख्यिकीय निवारण: गॉसियन प्रसामान्य बंटन का पालन करती हैं। $n$ प्रेक्षण लेकर उनका समांतर माध्य निकालने पर यादृच्छिक त्रुटि $\sqrt{n}$ गुना घट जाती है ($\sigma_{ ext{mean}} = \sigma / \sqrt{n}$)।
3. स्थूल त्रुटियाँ (Gross Errors): प्रेक्षक की अत्यधिक असावधानी, गलत पाठ्यांक लिखने अथवा गणना की भूल से होती हैं।

किसी राशि के $n$ प्रेक्षणों $a_1, a_2, \dots, a_n$ के लिए:

• माध्य मान (वास्तविक मान का सर्वोत्तम सन्निकटन): $ar{a} = a_{ ext{mean}} = rac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i$।
• निरपेक्ष त्रुटि (Absolute Error): $\Delta a_i = |a_i - ar{a}|$ (सदैव धनात्मक मान)।
• माध्य निरपेक्ष त्रुटि: $\overline{\Delta a} = rac{1}{n}\sum_{i=1}^n \Delta a_i$। मापन का स्वरूप: $a = ar{a} \pm \overline{\Delta a}$।
• आपेक्षिक (भिन्नात्मक) त्रुटि: $ ext{Relative Error} = rac{\overline{\Delta a}}{ar{a}}$।
• प्रतिशत त्रुटि (Percentage Error): $\delta a = rac{\overline{\Delta a}}{ar{a}} imes 100\%$।

किसी मापन में विश्वासपूर्वक ज्ञात सभी अंकों तथा प्रथम अनिश्चित अंक को मिलाकर सार्थक अंक कहते हैं। नियम:

1. सभी अशून्य अंक सार्थक होते हैं: $287.5 ext{ cm}$ में 4 सार्थक अंक हैं।
2. दो अशून्य अंकों के मध्य आने वाले सभी शून्य सार्थक होते हैं: $4008 ext{ kg}$ में 4 तथा $1.0003 ext{ s}$ में 5 सार्थक अंक हैं।
3. प्रथम अशून्य अंक के बाईं ओर स्थित शून्य कभी सार्थक नहीं होते: ये केवल दशमलव बिंदु की स्थिति बताते हैं। $0.0052 ext{ m}$ में 2 तथा $0.030 ext{ g}$ में 2 सार्थक अंक हैं।
4. दशमलव युक्त संख्या में अंतिम अशून्य अंक के दाईं ओर के अनुगामी शून्य सार्थक होते हैं: $4.800 ext{ s}$ में 4 तथा $35.0 ext{ mL}$ में 3 सार्थक अंक हैं।
5. दशमलव रहित पूर्णांक संख्या के अंतिम अनुगामी शून्य संदिग्ध होते हैं: जैसे 4700 संख्या में 2, 3 या 4 सार्थक अंक हो सकते हैं। वैज्ञानिक संकेतन में लिखने से यह स्पष्ट हो जाता है: $4.7 imes 10^3$ (2 सार्थक अंक), $4.70 imes 10^3$ (3 सार्थक अंक)।
6. यथार्थ संख्याओं अथवा परिभाषाओं में अनंत सार्थक अंक होते हैं: जैसे $2\pi r$ में $2$, अथवा $1 ext{ इंच} = 2.54 ext{ cm}$।

• नियम 1: यदि छोड़े जाने वाला अंक 5 से कम है, तो पूर्ववर्ती अंक अपरिवर्तित रहता है (जैसे $7.82$ का 2 अंकों में सन्निकटन $7.8$ होगा)।
• नियम 2: यदि छोड़े जाने वाला अंक 5 से अधिक है, तो पूर्ववर्ती अंक में 1 जोड़ दिया जाता है (जैसे $6.87$ का 2 अंकों में सन्निकटन $6.9$ होगा)।
• नियम 3 (सम संख्या सन्निकटन नियम): यदि छोड़े जाने वाला अंक ठीक 5 (या 5 के बाद शून्य) हो:
  • यदि पूर्ववर्ती अंक सम है, तो वह अपरिवर्तित रहेगा (जैसे $4.650$ का सन्निकटन $4.6$ होगा)।
  • यदि पूर्ववर्ती अंक विषम है, तो उसमें 1 की वृद्धि की जाएगी (जैसे $4.750$ का सन्निकटन $4.8$ होगा)।

• योग एवं अंतर में: अंतिम परिणाम में दशमलव के बाद केवल उतने ही अंक रखे जाते हैं, जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या में होते हैं।
  उदाहरण: $4.327 ext{ g} + 2.1 ext{ g} = 6.427 ext{ g} \implies$ सन्निकटन से $6.4 ext{ g}$ (दशमलव के बाद 1 अंक)।
• गुणन एवं भाग में: अंतिम परिणाम में केवल उतने ही सार्थक अंक होने चाहिए, जितने कि न्यूनतम सार्थक अंक वाली दी गई राशि में हैं।
  उदाहरण: द्रव्यमान $= 4.237 ext{ g}$ (4 सार्थक अंक), आयतन $= 2.5 ext{ cm}^3$ (2 सार्थक अंक)।
  $ ext{घनत्व} = rac{4.237}{2.5} = 1.6948 ext{ g/cm}^3 \implies$ सन्निकटन से $1.7 ext{ g/cm}^3$ (2 सार्थक अंक)।

1631 ईस्वी में पियरे वर्नियर द्वारा आविष्कृत वर्नियर कैलिपर्स साधारण मीटर पैमाने की तुलना में 10 गुना अधिक परिशुद्धता से लंबाई, आंतरिक/बाह्य व्यास तथा गहराई मापने का यंत्र है।

• मूल सिद्धांत: वर्नियर पैमाने के $n$ भाग मुख्य पैमाने के $(n - 1)$ भागों के बराबर होते हैं: $$n ext{ VSD} = (n-1) ext{ MSD} \implies 1 ext{ VSD} = rac{n-1}{n} ext{ MSD}$$
• वर्नियर स्थिरांक (VC) / अल्पतमांक (Least Count): इस यंत्र द्वारा मापी जा सकने वाली न्यूनतम लंबाई: $$ ext{VC} = 1 ext{ MSD} - 1 ext{ VSD} = rac{1 ext{ MSD}}{n}$$ साधारण मीट्रिक पैमाने पर $1 ext{ MSD} = 1 ext{ mm}$ और $n = 10 ext{ भाग}$ होने पर: $$ ext{VC} = rac{1 ext{ mm}}{10} = 0.1 ext{ mm} = 0.01 ext{ cm}$$
• प्रेक्षित पाठ्यांक (Observed Reading): $$ ext{कुल पाठ} = ext{मुख्य पैमाना पाठ्यांक (MSR)} + ( ext{मिलने वाला वर्नियर भाग } m imes ext{VC})$$
• शून्यांक त्रुटि संशोधन (Zero Error Correction): जब जबड़े परस्पर स्पर्श करते हैं:
  • धनात्मक शून्यांक त्रुटि: वर्नियर का शून्य मुख्य पैमाने के शून्य के दाईं ओर स्थित हो। $ ext{Error} = +p imes ext{VC}$। इसे प्रेक्षित पाठ्यांक से घटाया जाता है।
  • ऋणात्मक शून्यांक त्रुटि: वर्नियर का शून्य मुख्य पैमाने के शून्य के बाईं ओर स्थित हो। $ ext{Error} = -(n - q) imes ext{VC}$। इसके संख्यात्मक मान को प्रेक्षित पाठ्यांक में जोड़ा जाता है।
  • शुद्ध पाठ्यांक = प्रेक्षित पाठ्यांक - (चिह्न सहित शून्यांक त्रुटि)।

स्क्रू गेज स्क्रू और नट के यांत्रिक सिद्धांत पर आधारित यंत्र है जो वृत्ताकार घूर्णन गति को रेखीय गति में बदलकर 0.01 मिमी की सूक्ष्मता से मापन करता है।

• चूड़ी अंतराल (Pitch): वृत्ताकार पैमाने को एक पूरा चक्कर ($360^\circ$) घुमाने पर स्क्रू द्वारा रेखीय पैमाने पर चली गई दूरी: $$ ext{चूड़ी अंतराल} = rac{ ext{रेखीय पैमाने पर चली गई दूरी}}{ ext{पूर्ण घूर्णनों की संख्या}}$$ सामान्यतः पिच का मान $1.0 ext{ mm}$ अथवा $0.5 ext{ mm}$ होता है।
• अल्पतमांक (Least Count, LC): वृत्ताकार पैमाने के केवल 1 भाग घुमाने पर स्क्रू का रेखीय विस्थापन: $$ ext{LC} = rac{ ext{चूड़ी अंतराल (Pitch)}}{ ext{वृत्ताकार पैमाने पर कुल भागों की संख्या } (N)}$$ यदि $ ext{Pitch} = 0.5 ext{ mm}$ और $N = 50$ भाग हों: $ ext{LC} = rac{0.5 ext{ mm}}{50} = 0.01 ext{ mm} = 0.001 ext{ cm}$।
• प्रेक्षित पाठ्यांक: $$ ext{कुल पाठ} = ext{पिच पैमाना पाठ्यांक (PSR)} + ( ext{संपाती वृत्ताकार भाग } n imes ext{LC})$$
• शून्यांक त्रुटि संशोधन: जब स्टड परस्पर स्पर्श करते हैं:
  • धनात्मक शून्यांक त्रुटि: वृत्ताकार पैमाने का शून्य संदर्भ रेखा के नीचे रह जाता है। $ ext{Error} = +k imes ext{LC}$।
  • ऋणात्मक शून्यांक त्रुटि: वृत्ताकार पैमाने का शून्य संदर्भ रेखा के ऊपर निकल जाता है। $ ext{Error} = -(N - k) imes ext{LC}$।
  • शुद्ध पाठ्यांक = प्रेक्षित पाठ्यांक - (चिह्न सहित शून्यांक त्रुटि)।
• पश्चघात त्रुटि (Backlash Error): स्क्रू की चूड़ियों में घिसाव या ढीलेपन के कारण टोपी घुमाने पर स्क्रू तुरंत आगे नहीं बढ़ता। निवारण: मापन के दौरान रैचेट को सदैव एक ही दिशा में एकसमान घुमाएँ।