कार्य, ऊर्जा और शक्ति

भौतिकी में किसी पिंड पर बल आरोपित करने पर यदि बल की दिशा में पिंड का विस्थापन होता है, तो बल द्वारा कार्य (Work) किया जाना माना जाता है। यदि एक नियत बल $\vec{F}$ किसी पिंड को $\vec{s}$ विस्थापित करता है, तो किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश (डॉट) गुणनफल होता है:

जहाँ $F = |\vec{F}|$, $s = |\vec{s}|$ तथा $\theta$ बल व विस्थापन सदिशों के मध्य का कोण है ($0 \le \theta \le \pi$)।

कार्तीय घटकों के रूप में, यदि $\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j} + F_z\hat{k}$ तथा $\vec{s} = \Delta x\hat{i} + \Delta y\hat{j} + \Delta z\hat{k}$ हो:

• धनात्मक कार्य ($0 \le \theta < 90^\circ$, $\cos\theta > 0$): जब बल का घटक विस्थापन की दिशा में हो। उदाहरण: गुरुत्व के अधीन नीचे गिरती वस्तु पर गुरुत्वीय बल द्वारा कार्य; इंजन द्वारा ट्रेन को खींचने में किया गया कार्य।
• ऋणात्मक कार्य ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$, $\cos\theta < 0$): जब बल विस्थापन का विरोध करे। उदाहरण: खुरदरी सतह पर फिसलती वस्तु पर गतिक घर्षण द्वारा कार्य ($W_f = -f_k s$); किसी वस्तु को ऊपर उठाते समय गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ($W_g = -mgh$)।
• शून्य कार्य (कार्यहीन बल, $W = 0$): निम्नलिखित तीन दशाओं में किया गया कार्य शून्य होता है:
  1. विस्थापन शून्य हो ($s = 0$): किसी दृढ़ दीवार को धक्का देना।
  2. बल शून्य हो ($F = 0$): अंतरिक्ष में नियत वेग से गतिमान पिंड।
  3. बल और विस्थापन परस्पर लंबवत हों ($\theta = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$): एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्रीय बल द्वारा कार्य सदैव शून्य होता है; क्षैतिज मेज पर फिसलते गुटके पर अभिलंब प्रतिक्रिया द्वारा कार्य शून्य होता है; कुली द्वारा सिर पर बोझ लेकर क्षैतिज प्लेटफार्म पर चलने पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है ($W = mg \cdot s \cdot \cos 90^\circ = 0$)।

जब बल का परिमाण या दिशा स्थिति के साथ परिवर्तित होती है (जैसे स्प्रिंग बल $F = -kx$ या गुरुत्वाकर्षण बल), तो स्थिति $\vec{r}_i$ से $\vec{r}_f$ तक कुल कार्य समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem): किसी पिंड पर कार्यरत सभी बाह्य बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उस पिंड की गतिज ऊर्जा में होने वाले परिवर्तन के ठीक बराबर होता है।

कलन विधि द्वारा प्रमाण:

गतिज ऊर्जा की परिभाषा: $K = \frac{1}{2}mv^2$। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:

न्यूटन के द्वितीय नियम से $F = ma$ तथा $v = \frac{dx}{dt}$। अतः:

प्रारंभिक स्थिति ($x_i, v_i, K_i$) से अंतिम स्थिति ($x_f, v_f, K_f$) तक समाकलन करने पर:

यह प्रमेय संरक्षी और असंरक्षी, नियत और परिवर्ती सभी प्रकार के बलों के लिए प्रत्येक जड़त्वीय निर्देश तंत्र में पूर्णतः सत्य है।

किसी वस्तु में उसकी गति के कारण कार्य करने की क्षमता को गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) कहते हैं। $m$ द्रव्यमान की वस्तु $v$ वेग से गतिमान हो तो:

• अदिश राशि: गतिज ऊर्जा सदैव धनात्मक अदिश राशि होती है ($K \ge 0$)। इसका SI मात्रक जूल ($\text{J} = \text{N}\cdot\text{m}$), CGS मात्रक अर्ग ($\text{erg} = 10^{-7}\,\text{J}$) है।
• रैखिक संवेग ($p$) से संबंध: संवेग $p = mv$ होने के कारण: $$K = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2mK}$$ यदि दो भिन्न द्रव्यमानों का संवेग समान हो ($p = \text{constant}$), तो $K \propto 1/m$ (हल्की वस्तु की गतिज ऊर्जा अधिक होगी)। यदि दो वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान हो ($K = \text{constant}$), तो $p \propto \sqrt{m}$ (भारी वस्तु का संवेग अधिक होगा)।

किसी वस्तु की उसकी स्थिति या विशिष्ट विन्यास के कारण संचित ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा ($U$) कहते हैं। यह केवल संरक्षी बलों के लिए ही मान्य होती है। संरक्षी बल के विरुद्ध किसी संदर्भ तल से वर्तमान स्थिति तक लाने में किया गया कार्य ही स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है:

धरातल पर $h = 0$ को शून्य संदर्भ तल मानने पर, $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:

एक द्रव्यमानहीन आदर्श स्प्रिंग का एक सिरा दृढ़ दीवार से बंधा है तथा दूसरा सिरा $m$ द्रव्यमान के गुटके से जुड़ा है। हुक के नियम (Hooke's Law) के अनुसार, साम्यावस्था ($x = 0$) से लघु विस्थापन $x$ के लिए स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल (Restoring Force):

जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक (Spring Constant) है। इसका SI मात्रक $\text{N/m}$ तथा विमीय सूत्र $[M^1 T^{-2}]$ है।

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का निगमन ($U_s = \frac{1}{2}kx^2$):

स्प्रिंग को $0$ से $x$ तक खींचने में बाह्य बल $F_{\text{ext}} = +kx$ द्वारा किया गया कार्य:

• स्प्रिंग को खींचा जाए ($x > 0$) अथवा दबाया जाए ($x < 0$), स्थितिज ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2}kx^2$ सदैव धनात्मक होती है।
• विस्तार को $x_1$ से $x_2$ तक बढ़ाने में आवश्यक अतिरिक्त कार्य: $$W_{\text{ext}} = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$$

$m$ द्रव्यमान का एक पिंड धरातल से $h$ ऊँचाई पर स्थित बिंदु A से विराम से मुक्त रूप से गिरना प्रारंभ करता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए तीन प्रमुख बिंदुओं पर ऊर्जा की गणना:

1. बिंदु A पर (प्रारंभिक बिंदु, ऊँचाई $= h$, वेग $u = 0$): $$K_A = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0, \quad U_A = mgh$$ $$E_A = K_A + U_A = 0 + mgh = mgh \quad \text{--- (1)}$$
2. बिंदु B पर ($x$ दूरी गिरने के पश्चात, धरातल से ऊँचाई $= h - x$):

   गति के तृतीय समीकरण से: $v_B^2 = 0^2 + 2gx = 2gx$।

   $$K_B = \frac{1}{2}m v_B^2 = \frac{1}{2}m(2gx) = mgx$$ $$U_B = mg(h - x) = mgh - mgx$$ $$E_B = K_B + U_B = mgx + (mgh - mgx) = mgh \quad \text{--- (2)}$$
3. बिंदु C पर (धरातल से टकराने से ठीक पूर्व, ऊँचाई $= 0$, कुल पतन $= h$):

   अंतिम वेग $v_C^2 = 0^2 + 2gh = 2gh$।

   $$K_C = \frac{1}{2}m v_C^2 = \frac{1}{2}m(2gh) = mgh, \quad U_C = mg(0) = 0$$ $$E_C = K_C + U_C = mgh + 0 = mgh \quad \text{--- (3)}$$

समीकरण (1), (2) व (3) से स्पष्ट है कि:

अतः पतन के प्रत्येक बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा पूर्णतः संरक्षित रहती है (प्रमाणित)।

ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति एक असम वृत्तीय गति का उदाहरण है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के स्पर्शरेखीय घटक के कारण ऊंचाई बढ़ने पर पिंड की चाल लगातार घटती है।

$R$ लंबाई की हल्की डोरी से बंधे $m$ द्रव्यमान के कण को निम्नतम बिंदु L पर अनुप्रस्थ रूप से $u$ वेग दिया गया। जब डोरी ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण बनाती है, तो ऊँचाई वृद्धि $h = R(1 - \cos\theta)$ होती है।

ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से:

$\theta$ स्थिति में केंद्र की ओर लगने वाला नेट बल अभिकेंद्रीय त्वरण प्रदान करता है:

समीकरण (1) से $v^2$ का मान रखने पर:

डोरी के ढीले पड़े बिना पूरा चक्कर लगाने के लिए शीर्ष बिंदु ($H$, जहाँ $\theta = 180^\circ, \cos 180^\circ = -1$) पर तनाव अऋणात्मक होना चाहिए ($T_H \ge 0$):

ऊर्जा संरक्षण सूत्र में $v_H^2 = gR$ और $h = 2R$ रखने पर निम्नतम बिंदु का न्यूनतम प्रक्षेप वेग प्राप्त होता है:

क्षैतिज स्थिति पर ($ heta = 90^\circ$): $v_{\text{mid}} = \sqrt{3gR}$।

निम्नतम बिंदु पर तनाव ($T_L$): $T_L = \frac{mu^2}{R} + mg$

उच्चतम बिंदु पर तनाव ($T_H$): $T_H = \frac{mv_H^2}{R} - mg$

तनाव का अंतर:

ऊर्जा संरक्षण से $u^2 - v_H^2 = 4gR$ मान प्रतिस्थापित करने पर:

ऊर्ध्वाधर वृत्त में निम्नतम और उच्चतम बिंदु पर डोरी के तनाव का अंतर सदैव वस्तु के भार का छह गुना ($6mg$) होता है, जो वृत्त की त्रिज्या या प्रक्षेप वेग पर निर्भर नहीं करता।

कार्य करने की समय दर को शक्ति (Power, $P$) कहते हैं। यह एक अदिश राशि है।

• औसत शक्ति: $P_{\text{avg}} = \frac{\Delta W}{\Delta t}$
• तात्क्षणिक शक्ति: $P = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt}$
  चूँकि $dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$, अतः: $$P = \vec{F} \cdot \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos\theta$$ जहाँ $\vec{v}$ तात्क्षणिक वेग है और $\theta$ बल व वेग के मध्य का कोण है।

• SI मात्रक: वाट ($\text{W} = \text{J/s} = \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-3}$)।
• व्यावहारिक मात्रक:
  • $1\,\text{किलोवाट (kW)} = 10^3\,\text{W}$
  • $1\,\text{मेगावाट (MW)} = 10^6\,\text{W}$
  • $1\,\text{अश्वशक्ति (Horsepower, hp)} = 746\,\text{वाट}$
• विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-3}]$।

$1\,\text{kW}$ शक्ति का उपकरण यदि लगातार 1 घंटा कार्य करे, तो उपभुक्त विद्युत ऊर्जा 1 किलोवाट-घंटा या 1 यूनिट (B.O.T. Unit) कहलाती है:

चेतावनी: किलोवाट-घंटा ऊर्जा का मात्रक है, शक्ति का नहीं।

संघट्ट के पश्चात वस्तुओं के दूर हटने का आपेक्षिक वेग और संघट्ट से पूर्व पास आने के आपेक्षिक वेग के अनुपात को प्रत्यवस्थान गुणांक कहते हैं:

$m_1$ व $m_2$ द्रव्यमान के पिंड $u_1$ व $u_2$ वेग से एक सीधी रेखा में गति करते हुए सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर करते हैं:

समान द्रव्यमानों का विशेष केस: यदि $m_1 = m_2 = m$ हो, तो $v_1 = u_2$ तथा $v_2 = u_1$। पिंड अपने वेगों को आपस में पूरी तरह बदल लेते हैं!

टक्कर के पश्चात दोनों पिंड जुड़कर उभयनिष्ठ वेग $V = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$ से गति करते हैं। गतिज ऊर्जा की हानि: